HOMOTOPIGRUPPER OG OVERLEJRINGER

KASPER K. S. ANDERSEN & JESPER GRODAL

Date: Fredag d. 10/12 1993.

Contents

Forord 1 1. Notation 2 2. Homotopibegrebet 2 3. Overlejringer 7 4. Undergrupper og Overlejringer 13 5. De højere homotopigrupper 24 6. Produkter af overlejringer 31 References 37

Forord

Denne rapport er resultatet af et Matematik 3 projekt i algebraisk topologi, skrevet i efterårssemestret 1993 under vejledning af Jesper Michael Møller. Projektet er udført i fælleskab af Jesper Kragh Grodal (311072) og Kasper Klinkby Sonne Andersen (161272).

1. Notation

Vi vil i det følgende med betegnelsen rum underforstå at der er tale om topologiske rum. I betegner altid det afsluttede enhedsinterval [0; 1], vi parametriser alle kurver med dette. En løkke er en kurve, der starter og slutter i samme punkt. Med ϵ_{x} betegnes den konstante sti givet ved ϵ_{x}(s) = x. For en sti σ defineres den ’omvendte’ sti σ^{−1} ved σ^{−1}(s) = σ(1 − s). For kontinuerte afbildninger f : X → Y med f(x_{0}) = y_{0} bruges notationen f : (X, x_{0}) → (Y, y_{0}). Kardinaliteten af en mængde M skrives card(M), og den identiske afbildning fra M ind i sig selv skrives id_{M}. Mængden af kurvesammenhængskomponenter i et topologisk rum X betegnes π_{0}(X).

2. Homotopibegrebet

I dette afsnit indfører vi en ækvivalensrelation på mængden af afbildninger f : X → Y, sådan at vi, løst sagt, identificerer afbildninger der kan deformeres over i hinanden. Specielt vil vi betrage løkker i et rum, startende i et fast punkt. På ækvivalensklasser af disse viser det sig at man kan indføre en gruppestruktur, den såkaldte fundamentalgruppe.

Definition 2.1. Hvis f og g er kontinuerte afbildninger fra X til Y og A ⊆ X, siges f og g at være homotope relativt til A hvis f|_{A} = g|_{A} og der findes en kontinuert afbildning F : X × I → Y sådan at

∀x ∈ X : F (x, 0) = f(x) ∧ F (x, 1) = g(x)
∀(a, t) ∈ A × I : F (a, t) = f(a) = g(a).

To afbildninger siges at være homotope, hvis de er homotope relativt til ∅. At to afbildninger er homotope relativt til A, vil således sige at den ene kan føres kontinuert over i den anden, hvor punkterne i A holdes fast.

Definition 2.2. To kurver siges at være kurvehomotope, hvis de er homotope relativt til {0, 1}.

Sætning 2.3. Homotopi relativt til en fast delmængde er en ækvivalensrelation. Ækvivalensklassen for en afbildning f betegnes [f].

Bevis : Lad den faste delmængde være A. Refleksivitet er klar, idet F (x, t) = f(x) er en homotopi mellem f og sig selv relativt til A. Symmetrien er også klar, thi hvis F : X × I → X er en homotopi mellem f og g relativt til A, er G : X × I → X givet ved G(x, t) = F (x, 1 − t) en homotopi mellem g og f relativt til A. Hvis endelig F er en homotopi mellem f og g og G er en homotopi mellem g og h, begge relativt til A, er H : X × I → X givet ved

H(x, t) = \{ \begin{matrix}F (x, 2t) & for t ∈ [0; \frac{1}{2}] \\ G(x, 2t − 1) & for t ∈ [\frac{1}{2}; 1] \end{matrix}

en homotopi mellem f og h relativt til A, idet den er kontinuert på hver af de afsluttede delmængder, og stemmer overens på randen. □

Definition 2.4. Lad σ være en sti i X fra x_{0} til x_{1}, og τ en sti fra x_{1} til x_{2}. Så defineres den sammensatte sti στ ved

στ(s) = \{ \begin{matrix}σ(2s) & for s ∈ [0; \frac{1}{2}] \\ τ(2s − 1) & for s ∈ [\frac{1}{2}; 1] \end{matrix}

Dette giver virkelig en sti, da σ(1) = τ(0).

Lemma 2.5. Lad σ og σ̃ være kurvehomotope stier fra x_{0} til x_{1} og lad τ og τ̃ være kurvehomotope stier fra x_{1} til x_{2}. Så er στ og σ̃τ̃ kurvehomotope.

Bevis : Lad F være en kurvehomotopi mellem σ og σ̃, og G en kurvehomotopi mellem τ og τ̃. Så er H : I × I → X defineret ved

H(s, t) = \{ \begin{matrix}F (2s, t) & for s ∈ [0; \frac{1}{2}] \\ G(2s − 1, t) & for s ∈ [\frac{1}{2}; 1] \end{matrix}

en kurvehomotopi mellem στ og σ̃τ̃. Den er nemlig veldefineret, og kontinuert på hver af de to afsluttede delmængder. Desuden holdes endepunkterne fast under homotopien. □

Bemærkning 2.6. Lemmaet gør det muligt at tale om sammensætning af ækvivalensklasser af kurvehomotope stier. For to stier σ, τ i X med σ(1) = τ(0) er tilordningen [σ] ∗ [τ] = [στ] altså veldefineret. Nøjes vi med at betragte løkker startende (og sluttende) i et fast punkt, fås altså en komposition. Mængden af ækvivalensklasser af løkker i X startende i x_{0} betegnes π_{1}(X, x_{0}).

Lemma 2.7. Hvis σ er en sti fra x_{0} til x_{1} gælder [σϵ_{x_{1}}] = [ϵ_{x_{0}}σ] = [σ], [σσ^{−1}] = [ϵ_{x_{0}}] og [σ^{−1}σ] = [ϵ_{x_{1}}].

Bevis : Afbildningen F : I × I → X givet ved

F (s, t) = \{ \begin{matrix}σ(\frac{2s}{t+1}) & for s ∈ [0; \frac{t+1}{2}] \\ x_{1} & for s ∈ [\frac{t+1}{2}; 1] \end{matrix}

en kurvehomotopi mellem σϵ_{x_{1}} og σ. Bemærk at dette er veldefineret og kontinuert, og at x_{0} og x_{1} holdes fast. På tilsvarende måde ses at [ϵ_{x_{0}}σ] = [σ]. Definer G : I × I → X ved

G(s, t) = \{ \begin{matrix}σ(2st) & for s ∈ [0; \frac{1}{2}] \\ σ(2(1 − s)t) & for s ∈ [\frac{1}{2}; 1] \end{matrix}

Det ses let at dette er en veldefineret og kontinuert kurvehomotopi mellem σσ^{−1} og ϵ_{x_{0}}. Heraf fås [σ^{−1}σ] = [σ^{−1}(σ^{−1})^{−1}] = [ϵ_{x_{1}}]. □

Sætning 2.8. π_{1}(X, x_{0}) er en gruppe med kompositionen ∗. Det neutrale element er [ϵ_{x_{0}}], og [σ]^{−1} = [σ^{−1}]. Denne gruppe kaldes fundamentalgruppen for X med hensyn til det udvalgte punkt x_{0}.

Bevis : Lad σ, τ og ρ være løkker startende i x_{0}. Så er F givet ved

F (s, t) = \{ \begin{matrix}σ(\frac{4s}{t+1}) & for s ∈ [0; \frac{t+1}{4}] \\ τ(4s − t − 1) & for s ∈ [\frac{t+1}{4}; \frac{t+2}{4}] \\ ρ(\frac{4s−t−2}{2−t}) & for s ∈ [\frac{t+2}{4}; 1] \end{matrix}

en kurvehomotopi mellem (στ)ρ og σ(τρ). Den er nemlig veldefineret, og kontinuert på hver af de passende afsluttede mængder og dermed kontinuert. Desuden ses let at x_{0} holdes fast under homotopien. Dermed er ∗ associativ. Af det foregående lemma ses (med x_{1} = x_{0}) at [ϵ_{x_{0}}] er venstreog højreneutralt, og at [σ^{−1}] er venstre- og højreinvers til [σ]. Samlet fås altså at π_{1}(X, x_{0}) er en gruppe. □

Definition 2.9. Lad α være en sti fra x_{0} til x_{1}. Vi definerer afbildningen

α̂ : π_{1}(X, x_{0}) → π_{1}(X, x_{1})
α̂([σ]) = [α^{−1}] ∗ [σ] ∗ [α]

Bemærk at dette er veldefineret, idet α^{−1}σα er en løkke startende i x_{1}.

Sætning 2.10. α̂ er en gruppe isomorfi.

Bevis : At α̂ er en homomorfi fås direkte af at der for [σ], [τ] ∈ π_{1}(X, x_{0}) gælder α̂([σ] ∗ [τ]) = [α^{−1}στα] = [α^{−1}] ∗ [σ] ∗ [ϵ_{x_{0}}] ∗ [τ] ∗ [α] = [α^{−1}] ∗ [σ] ∗ [αα^{−1}] ∗ [τ] ∗ [α] = α̂([σ]) ∗ α̂([τ]) idet vi har brugt lemma 2.7. Af dette ses også at der gælder α̂^{−1}(α̂([σ])) = [α] ∗ [α^{−1}] ∗ [σ] ∗ [α] ∗ [α^{−1}] = [σ]. Dermed bliver α̂^{−1} venstreinvers til α̂. Heraf fås at { \atop (α^{−1})^{−1}} = α̂ er venstreinvers til α̂^{−1}, dvs α̂^{−1} er højreinvers til α̂. Dermed er α̂ bijektiv, altså en isomorfi. □

Korollar 2.11. Hvis X er kurvesammenhængende og x_{0} og x_{1} er vilkårlige punkter i X er π_{1}(X, x_{0}) ≃ π_{1}(X, x_{1}).

Definition 2.12. Et rum X siges at være enkeltsammenhængende, hvis det er kurvesammenhængende og fundamentalgruppen er den trivielle gruppe {0}.

Definition 2.13. Lad h : (X, x_{0}) → (Y, y_{0}). Definer afbildningen

h_{∗} : π_{1}(X, x_{0}) → π_{1}(Y, y_{0})
h_{∗}([f]) = [h ∘ f]

Afbildningen h_{∗} kaldes homomorfien induceret af h. Den er veldefineret thi hvis F er en kurvehomotopi mellem σ og σ̃, så er h ∘ F en kurvehomotopi mellem h ∘ σ og h ∘ σ̃. At h_{∗} er en homomorfi følger direkte af definitionen på sammensætning af løkker.

Sætning 2.14. Hvis h : (X, x_{0}) → (Y, y_{0}) og k : (Y, y_{0}) → (Z, z_{0}) så er (k ∘ h)_{∗} = k_{∗} ∘ h_{∗}. Hvis id_{X} : (X, x_{0}) → (X, x_{0}) er identitetsafbildningen, så er id_{X}_{∗} identitetshomomorfien.

Bevis : Sætningen følger direkte af definitionen på den inducerede homomorfi. □

Bemærkning 2.15. Sætningen siger at π_{1} er en funktor mellem kategorien af topologiske rum med et udvalgt punkt med de kontinuerte afbildninger som morfier og kategorien af grupper med gruppehomomorfier som morfier. Til det topologiske rum X med udvalgt punkt x_{0} knyttes gruppen π_{1}(X, x_{0}), og til den kontinuerte afbildning h : X → Y knyttes gruppehomomorfien h_{∗} : π_{1}(X, x_{0}) → π_{1}(Y, y_{0}).

Korollar 2.16. Fundamentalgruppen er en topologisk invariant, dvs hvis h : (X, x_{0}) → (Y, y_{0}) er en homeomorfi så er π_{1}(X, x_{0}) ≃ π_{1}(Y, y_{0}).

Bevis : Dette er en direkte konsekvens af bemærkningen. Homeomorfierne er netop de bijektive morfier (for kategorien af topologiske rum med et udvalgt punkt) for hvilke den inverse også er en morfi. Tilsvarende er isomorfierne netop de bijektive morfier (for kategorien af grupper) for hvilke den inverse også er en morfi. □

Sætning 2.17. π_{1}(X × Y, (x_{0}, y_{0})) ≃ π_{1}(X, x_{0}) × π_{1}(Y, y_{0}).

Bevis : Lad p og q være projektionerne af X × Y på hhv X og Y. Da disse er kontinuerte induceres gruppehomomorfier p_{∗} og q_{∗}. Definer

Ψ : π_{1}(X × Y, (x_{0}, y_{0})) → π_{1}(X, x_{0}) × π_{1}(Y, y_{0}), Ψ([ρ]) = (p_{∗}([ρ], q_{∗}([ρ])

Dette er en isomorfi. Det er klart at Ψ er en homomorfi, da p_{∗} og q_{∗} er homomorfier. Ψ er surjektiv : Lad ([σ], [τ]) ∈ π_{1}(X, x_{0})×π_{1}(Y, y_{0}). Lad ρ(s) = (σ(s), τ(s)). Så gælder [ρ] ∈ π_{1}(X × Y, (x_{0}, y_{0})) og Ψ([ρ]) = ([σ], [τ]), som ønsket. Ψ er injektiv : Lad [ρ] ∈ ker(Ψ), dvs [p ∘ ρ] = [ϵ_{x_{0}}] og [q ∘ ρ] = [ϵ_{y_{0}}]. Der findes altså en kurvehomotopi F mellem p ∘ ρ og ϵ_{x_{0}} og en kurvehomotopi G mellem q ∘ ρ og ϵ_{y_{0}}. Da er H(s, t) = (F (s, t), G(s, t)) en kurvehomotopi mellem ρ og ϵ_{(x_{0},y_{0})}. □

Sætning 2.18. Lad h : (X, x_{0}) → (Y, y_{0}) og k : (X, x_{0}) → (Y, y_{1}). Hvis h og k er homotope, så findes en sti α i Y fra y_{0} til y_{1} sådan at k_{∗} = α̂ ∘ h_{∗}. Hvis y_{0} = y_{1} og basispunktet x_{0} holdes fast under homotopien så er k_{∗} = h_{∗}.

\xymatrix{π_{1}(X, x_{0}) \ar[r]^{h_{∗}} \ar[dr]_{k_{∗}} & π_{1}(Y, y_{0}) \ar[d]^{α̂} \\  & π_{1}(Y, y_{1})}

Bevis : Lad F : X × I → Y være en homotopi mellem h og k, og definer stien α ved α(s) = F (x_{0}, s). Vi skal så vise at der for vilkårlige løkker σ i X startende i x_{0} gælder k_{∗}([σ]) = [α^{−1}] ∗ h_{∗}([σ]) ∗ [α], eller om man vil at α(k ∘ σ)α^{−1} og h ∘ σ er kurvehomotope. Definer nu G : I × I → Y ved

G(s, t) = \{ \begin{matrix}α(4st) & for s ∈ [0; \frac{1}{4}] \\ F (f(4s − 1), t) & for s ∈ [\frac{1}{4}; \frac{1}{2}] \\ α(2t)(1 − s) & for s ∈ [\frac{1}{2}; 1] \end{matrix}

Så er G en kurvehomotopi mellem α(k ∘ σ)α^{−1} og ϵ_{y_{0}}(h ∘ σ)ϵ_{y_{0}}, hvoraf det ønskede følger. □

Korollar 2.19. Lad h : (X, x_{0}) → (Y, y_{0}) og k : (X, x_{0}) → (Y, y_{1}). Antag at h og k er homotope. Hvis k_{∗} er injektiv (eller surjektiv eller den trivielle homomorfi) så er h_{∗} det også.

Bevis : Klart ifølge sætning 2.18 da α̂ er en isomorfi. □

Definition 2.20. En kontinuert afbildning f : X → Y kaldes en homotopi ækvivalens, hvis der findes en kontinuert afbildning g : Y → X således at g ∘ f er homotop til identitetsafbildningen id_{X} på X og f ∘ g er homotop til identitetsafbildningen id_{Y} på Y. Afbildningen g siges at være homotopi invers til f. Rummene X og Y siges at være homotopi ækvivalente. Det er let at se at dette virkelig er en ækvivalensrelation.

Sætning 2.21. Lad f : (X, x_{0}) → (Y, y_{0}). Hvis f er en homotopi ækvivalens så er (f_{x_{0}})_{∗} : π_{1}(X, x_{0}) → π_{1}(Y, y_{0}) en isomorfi.

Bevis : Lad g : Y → X være en homotopi invers til f. Betragt afbildningerne

\xymatrix{(X, x_{0}) \ar[r]^{f} & (Y, y_{0}) \ar[r]^{g} & (X, x_{1}) \ar[r]^{f} & (Y, y_{1})}

hvor x_{1} = g(y_{0}) og y_{1} = f(x_{1}). Så har vi de inducerede afbildninger

\xymatrix{π_{1}(X, x_{0}) \ar[r]^{(f_{x_{0}})_{∗}} & π_{1}(Y, y_{0}) \ar[r]^{g_{∗}} & π_{1}(X, x_{1}) \ar[r]^{(f_{x_{1}})_{∗}} & π_{1}(Y, y_{1})}

Vi ved at g ∘ f : (X, x_{0}) → (X, x_{1}) er homotop til identiteten på X, så der findes en sti α fra x_{0} til x_{1} så (g∘f)_{∗} = α̂∘(id_{X})_{∗} = α̂, så (g∘f)_{∗} = g_{∗}∘(f_{x_{0}})_{∗} er en isomorfi. Heraf ses at g_{∗} er surjektiv. Tilsvarende fås at (f ∘ g)_{∗} = (f_{x_{1}})_{∗} ∘ g_{∗} er en isomorfi, så g_{∗} er injektiv. Samlet fås at g_{∗} er en isomorfi, så også (f_{x_{0}})_{∗} = (g_{∗})^{−1} ∘ α̂ er en isomorfi. Bemærk at g_{∗} ikke nødvendigvis bliver den inverse til f_{x_{0}}. Dette vil dog gælde hvis basispunktet holdes fast under homotopien. Dette er grunden til at man nogle gange vil begrænse begrebet homotopi ækvivalens, så man betragter homotopier relativt til de udvalgte punkter. □

Bemærkning 2.22. Sætningen viser at fundamentalgruppen er en homotopi invariant, jævnfør korollar 2.16. Dette viser at man ved at anvende fundamentalgruppen højst kan opnå resultater op til homotopi ækvivalens. Homotopi ækvivalens er et svagere krav end homeomorfi, fx vil ℝ og {0} være homotopiækvivalente, men de er ikke homeomorfe. I den nuværende algebraisk topologi træder homotopi ækvivalens således i stedet for homeomorfi, idet man endnu ikke har fundet tilstrækkelig stærke algebraiske invarianter for topologiske rum.

3. Overlejringer

Vi vil i dette afsnit betragte de såkaldte overlejringsrum, som er nyttige i beregningen af fundamentalgrupper. Det vil desuden vise sig at der er en nær sammenhæng mellem undergrupper af fundamentalgruppen og overlejringer af et givet rum. Dette vil være emnet for det næste afsnit. I dette afsnit vil vi undersøge hvornår det er muligt at ’løfte’ en afbildning via overlejringsrummet.

Definition 3.1. Lad p : E → B være en kontinuert afbildning. En åben mængde U i B siges at være jævnt overlejret af p hvis mængden p^{−1}(U) kan skrives som en disjunkt forening af åbne mængder (V_{α}), således at p|_{V_{α}} er en homeomorfi mellem V_{α} og U. Mængderne V_{α} kaldes en lagdeling af p^{−1}(U).

Bemærkning 3.2. Generelt er der ikke en entydig lagdeling af originalmængden til en jævnt overlejret mængde, giv fx både E og B den diskrete topologi. Hvis mængden U er åben og sammenhængdende gælder er lagdelingen entydigt bestemt, jvf lemma 4.21. Disse bliver faktisk sammenhængskomponenterne af p^{−1}(U).

Definition 3.3. Lad p : E → B være en kontinuert afbildning. Hvis hvert punkt i B har en åben omegn U, som er jævnt overlejret af p, så siges p at være en overlejring.

Bemærkning 3.4. Det er klart at enhver overlejring er surjektiv. Overlejringer er lokale homeomorfier, forstået på den måde at der for alle e ∈ E findes en åben omegn, som afbildes homeomorft på en åben mængde i B. Det er så klart at enhvert punkt i E har vilkårligt små omegne, som afbildes homeomorft på en åben mængde. Lad nemlig e ∈ E, og vælg en jævnt overlejret omegn U af p(e). Lad (V_{α}) være en lagdeling af p^{−1}(U), og lad V være det lag, som indeholder e. Så er V og U homeomorfe. Dette betyder at B og E vil have de samme lokale egenskaber, fx vil E være lokalt kurvesammenhængende netop hvis B er det. Enhver lokal homeomorfi er en åben afbildning, så enhver overlejring er en åben afbildning og dermed en kvotientafbildning. Lad nemlig U ⊆ E være åben. For hvert punkt i U, findes så en åben omegn liggende i U, som afbildes homeomorft på en åben mængde. Dermed bliver p(U) skrevet som en forening af åbne mængder.

Definition 3.5. For et punkt b ∈ B kaldes p^{−1}(b) fiberen over b.

Bemærkning 3.6. Fiberen over b betragtet som topologisk delrum er diskret. Vi kan nemlig finde en åben omegn U af b, som er jævnt overlejret, dvs vi kan finde åbne disjunkte mængder (V_{α}), så p^{−1}(b) = p^{−1}(b)∩(⋃_{α} V_{α}).

Sætning 3.7. Lad p : E → B være en overlejring med p(b_{0}) = e_{0}. Hvis B er sammenhængende har alle fibre samme kardinalitet.

Bevis : Sæt A = {b ∈ B| card(p^{−1}(b)) = card(p^{−1}(b_{0}))}. Vi har b_{0} ∈ A, så A ≠ ∅. Vi viser at A er både åben og afsluttet, så A = B da B er sammenhængende. A er åben : Lad b ∈ B. Så findes en omegn U af b, som er jævnt overlejret. For b′ ∈ U gælder card(p^{−1}(b′)) = card(p^{−1}(b)), så da b ∈ A fås b′ ∈ A, dvs U ⊆ A. A er afsluttet : Lad b ∈ Ā. Så findes en omegn U af b, som er jævnt overlejret. Desuden findes b′ ∈ U ∩ A. Heraf ses direkte card(p^{−1}(b)) = card(p^{−1}(b′)), så da b′ ∈ A fås b ∈ A, dvs Ā ⊆ A. □

Bemærkning 3.8. Hvis p : E → B er en overlejring af et sammenhængende rum, så kan man således definere antallet af lag i overlejringen som kardinaliteten af fibrene. Hvis antallet af lag er n siges overlejringen at være en n-fold overlejring.

Sætning 3.9. Lad p : X → Y og q : Y → Z være overlejringer, så q^{−1}(z) er endelig for alle z ∈ Z, da er q ∘ p : X → Z en overlejring.

Bevis : Det er klart at q ∘ p er kontinuert. Lad z ∈ Z. Da q er en overlejringsafbildning kan vi vælge en åben omegn U af z, så U er jævnt overlejret af q, q^{−1}(U) = V_{1} ∪ ⋯ ∪ V_{n}. Vælg for hver v_{i} ∈ q^{−1}(z) en åben omegn V′_{i} af v_{i} så V′_{i} er jævnt overlejret af p og V′_{i} ⊆ V_{i}, p^{−1}(V′_{i}) = ⋃_{j} W_{ij}. Nu vil U′ = ⋂_{i=1}^{n} q^{−1}(V′_{i}) være en åben omegn af z og

(q ∘ p)^{−1}(U′) = (q ∘ p)^{−1}(U′) ∩ (⋃_{i,j} W_{ij}) = ⋃_{i,j} ((q ∘ p)^{−1}(U′) ∩ W_{ij})

hvor (q ∘ p)^{−1}(U′) ∩ W_{ij} er åbne disjunkte mængder, og restriktionen af q ∘ p til disse er en homeomorfi på U′, idet restriktionen af q ∘ p til mængderne W_{ij} er en homeomorfi på q(V′_{i}), og homeomorfi bevares ved restriktion. □

Bemærkning 3.10. Man kan vise at der ikke generelt gælder at sammensætningen af to overlejringer, igen er en overlejring. Vi giver senere et andet krav som ligeledes medfører at sammensætningen er en overlejring, se korollar 4.26.

Eksempel 3.11. Hvis Y er et diskret rum, så er projektionen på første koordinat, p : X × Y → X en overlejring.

Eksempel 3.12. Afbildningen p : ℝ → S^{1} givet ved p(x) = e^{2πix} er en uendelig overlejring.

Eksempel 3.13. Lad p : E → B og p′ : E′ → B′ være to overlejringer. Afbildningen p×p′ : E ×E′ → B ×B′ givet ved (p×p′)(e, e′) = (p(e), p′(e′)) er en overlejring. At (p×p′) er kontinuert er klart, og at ethvert punkt i B ×B′ har en jævnt overlejret åben omegn, følger af at B × B′ har produkttopologien. Hvis p : E → B er en n-fold og p′ : E′ → B′ en m-fold overlejring er p×p′ : E×E′ → B×B′ en nm-fold overlejring (gælder også med kardinaltal). Dog gælder der ikke at produktet af uendelig mange overlejringer igen er en overlejring. Tag fx et ikke endeligt produkt af overlejringen p : ℝ → S^{1} fra før med sig selv. Dette er ikke en overlejring, da en vilkårlig åben mængde vil indeholde en mængde af formen U_{1} × ⋯ × U_{n} × S^{1} × ⋯, da disse er en basis for produkttopologien. Denne er dog ikke jævnt overlejret, da hele S^{1} ikke er jævnt overlejret af p.

Eksempel 3.14. Afbildningen p : S^{1} → S^{1} givet ved p(z) = z^{n}, n ∈ ℕ, er en n-fold overlejring.

Definition 3.15. Lad p : E → B være en overlejring, og f : X → B en kontinuert afbildning. En kontinuert afbildning f′ : X → E siges at være et løft af f, hvis p ∘ f′ = f.

\xymatrix{ & E \ar[d]^{p} \\ X \ar@{-->}[ur]^{f′} \ar[r]_{f} & B}

Lemma 3.16 (Lebesgue’s tal lemma). Lad 𝔄 være en åben overdækning af et kompakt metrisk rum (X, d). Så findes et δ > 0 (Lebesgue’s tal), så der for alle delmængder Y af X med diameter mindre end δ findes et element i 𝔄 indeholdende Y.

Bevis : Beviset kan findes skjult i Berg [1, side 6.8]. □

Lemma 3.17 (Tube lemmaet). Lad X og Y være topologiske rum, hvor Y er kompakt. Hvis {x_{0}} × Y ⊆ A, A åben findes en åben omegn W af x_{0}, så tuben W × Y ⊆ A.

Bevis : Vælg for hvert y ∈ Y en åben omegn U_{y} × V_{y} af (x_{0}, y) indeholdt i A. Da x_{0} × Y er kompakt kan vi udtynde til endelig mange mængder U_{i} × V_{i}, i = 1, …, n som overdækker x_{0} × Y. Sæt W = ∩_{i=1}^{n}U_{i}. Så er W en åben omegn af x_{0} så W × Y ⊆ A. □

Sætning 3.18 (Eksistens og entydighed af løft af stier). Lad p : E → B være en overlejring med b_{0} = p(e_{0}). Enhver sti σ : I → B i B startende i b_{0} kan entydigt løftes til en sti σ′ i E, startende i e_{0}. I det følgende vil denne blot blive betegnet σ′_{e_{0}}.

Bevis : Overdæk B med åbne mængder, som er jævnt overlejret af p. Originalmængderne ved σ til disse er en åben overdækning af I, som er et kompakt metrisk rum. Ifølge Lebesgue’s tal lemma findes et δ > 0, så alle delmængder af I med diameter mindre end δ er indeholdt i en af originalmængderne. Hvis N > 1/δ vil en inddeling af I i N lige lange delintervaller medføre at hvert delinterval ligger i en af originalmængderne. Vi definerer nu σ′ trin for trin. Sæt først σ′(0) = e_{0}, og antag at σ′ er defineret på intervallet [0; \frac{i}{N}]. Mængden σ([\frac{i}{N}; \frac{i+1}{N}]) er per antagelse indeholdt i en åben mængde U, som er jævnt overlejret af p. Lad (V_{α}) være en lagdeling af p^{−1}(U). Vi ved at σ′(\frac{i}{N}) må ligge i en af disse mængder, fx V_{0}. Definer nu σ′(s) for s ∈ [\frac{i}{N}; \frac{i+1}{N}] ved σ′(s) = (p|_{V_{0}})^{−1}(σ(s)). Da p|_{V_{0}} : V_{0} → U er en homeomorfi vil værdien i \frac{i}{N} være entydigt bestemt, og σ′ vil være kontinuert i [\frac{i}{N}; \frac{i+1}{N}]. Fortsættes på denne måde vil σ′ være defineret i hele I, og da den er kontinuert på hver af de afsluttede delintervaller og værdien i endepunkterne stemmer overens, vil σ′ være kontinuert på hele I. Desuden er det klart at σ′ er et løft af σ, på grund af definitionen af σ′. Entydigheden af σ′ bevises også trin for trin. Antag at σ̂ er et løft af σ. Så gælder σ̂(0) = e_{0} = σ′(0). Antag nu at σ̂(s) = σ′(s) for alle s ∈ [0; \frac{i}{N}]. Lad V_{0} være valgt som før. Da σ̂ er et løft af σ må σ̂([\frac{i}{N}; \frac{i+1}{N}]) ligge i mængden p^{−1}(U) = ⋃ V_{α}. Men σ̂([\frac{i}{N}; \frac{i+1}{N}]) er en sammenhængende mængde, så da mængderne V_{α} er åbne og disjunkte må σ̂([\frac{i}{N}; \frac{i+1}{N}]) være helt indeholdt i en af disse. Men vi har σ̂(\frac{i}{N}) = σ′(\frac{i}{N}) ∈ V_{0}, så vi får σ̂([\frac{i}{N}; \frac{i+1}{N}]) ∈ V_{0}. For s ∈ [\frac{i}{N}; \frac{i+1}{N}] er σ̂(s) altså et punkt i V_{0}∩p^{−1}(σ(s)). Men dette er en et-punkts mængde som består af punktet (p|_{V_{0}})^{−1}(σ(s)) = σ′(s). Altså stemmer σ̂ og σ′ overens i intervallet [\frac{i}{N}; \frac{i+1}{N}], og dermed på hele I. □

Sætning 3.19 (Eksistens af løft af homotopier). Lad p : E → B være en overlejring med b_{0} = p(e_{0}), og lad (X, x_{0}) være et vilkårligt rum. Lad f : (X, x_{0}) → (B, b_{0}) være en kontinuert afbildning, der har et løft f′ : (X, x_{0}) → (E, e_{0}). Hvis F : X × I → B er kontinuert med F (x, 0) = f(x), så findes et løft af F til en kontinuert afbildning F′ : X × I → E med F′(x, 0) = f′(x).

Bevis : Lad x ∈ X være vilkårlig. Overdæk B med åbne mængder, som er jævnt overlejret af p. Originalmængderne ved F til disse er en åben overdækning af X × I og dermed specielt af {x} × I, som er et kompakt metrisk rum. Ifølge Lebesgue’s tal lemma findes et δ > 0, så enhver delmængde af {x} × I med diameter mindre end δ er indeholdt i en af originalmængderne. Vælges N > 1/δ vil der for alle i = 0, … N − 1 gælde at \{x\} × [\frac{i}{N}; \frac{i+1}{N}]) ligger i en af originalmængderne, F^{−1}(U_{i}), hvor U_{i} er jævnt overlejret af p. Af tube lemmaet findes nu en åben omegn V_{x,i}, så V_{x,i} × [\frac{i}{N}; \frac{i+1}{N}]) ⊆ F^{−1}(U_{i}). Sættes V_{x} = ⋂_{i=1}^{N} V_{x,i} gælder altså F (V_{x} ×[\frac{i}{N}; \frac{i+1}{N}]) ⊆ U_{i}. Vi definerer nu F′ på V_{x} ×I trin for trin. For x′ ∈ V_{x} sættes F′(x′, 0) = f′(x′). Antag nu at F′ er defineret på V_{x} × [0; \frac{i}{N}]. Mængden F (V_{x} × [\frac{i}{N}; \frac{i+1}{N}]) er indeholdt i U_{i}, som er jævnt overlejret af p. Lad W_{α} være en lagdeling af p^{−1}(U_{i}), og sæt V_{α} = q_{V_{x}}∘F′|_{V_{x}×\{ \frac{i}{N} \}}^{−1}(W_{α}), hvor q_{V_{x}} er projektion på førstekoordianten. Disse udgør en åben disjunkt overdækning af V_{x}. Lad nemlig x′ ∈ V_{x}. Vi har (p ∘ F′|_{V_{x}×\{ \frac{i}{N} \}})(x′, \frac{i}{N}) = F (x′, \frac{i}{N}) ∈ U_{i},

så F′|_{V_{x}×\{ \frac{i}{N} \}})(x′, \frac{i}{N}) ∈ W_{α} for passende α, og dermed x′ ∈ V_{α}. For (x, t) ∈ V_{α} × [\frac{i}{N}; \frac{i+1}{N}] sættes F′(x, t) = (p|_{W_{α}})^{−1}(F (x, t)). Det er så klart at F′ er et løft af F på mængden V_{x} × [\frac{i}{N}; \frac{i+1}{N}]. At F′ er veldefineret følger så at at F′(x′, \frac{i}{N}) ∈ W_{α} både efter den nye og den gamle definition. Desuden ses at F′ bliver kontinuert på V_{x} × [\frac{i}{N}; \frac{i+1}{N}], da mængderne V_{α} × [\frac{i}{N}; \frac{i+1}{N}] er disjunkte og åbne relativt til V_{x} ×[\frac{i}{N}; \frac{i+1}{N}]. Kontinuiteten af F′ på V_{x} ×I følger så af at F′ er kontinuert på hver af de afsluttede mængder V_{x} × [\frac{i}{N}; \frac{i+1}{N}]. Vi har nu defineret F′ på mængder af formen V_{x} × I. At dette på entydig måde kan sammenstykkes til en funktion F′ defineret på hele X × I vises på følgende måde. Lad x′ ∈ V_{x_{1}} ∩ V_{x_{2}}. Så er s ↦ F′_{x_{1}}|_{{x′}×I}(x′, s) og s ↦ F′_{x_{2}}|_{{x′}×I}(x′, s) begge løft af stien s ↦ F (x′, s). De to stier starter også i samme punkt, idet vi har F′_{x_{1}}|_{{x′}×I}(x′, 0) = f′(x′) = F′_{x_{2}}|_{{x′}×I}(x′, 0). Entydigheden følger nu af entydigheden af løft af stier. Det er desuden klart at F′ bliver kontinuert på X × I, da den er kontinuert på de åbne mængder V_{x} × I. Den er desuden et løft af F, da den er et løft på mængderne V_{x} × I. □

Korollar 3.20. Lad p : E → B være en overlejring med b_{0} = p(e_{0}). Lad F : I × I → B være kontinuert med F (0, 0) = b_{0}. Så findes et (entydigt) løft af F til en kontinuert afbildning F′ : I × I → E med F′(0, 0) = e_{0}. Hvis F er en kurvehomotopi er også F′ en kurvehomotopi.

Bevis : Eksistensen følger direkte af den foregående sætning. Vi kan nemlig sætte f(s) = F (s, 0) for s ∈ I og bruge eksistens af løft af stier. Vi viser ikke entydigheden, da denne følger af den generelle sætning 3.24. Antag nu at F er en kurvehomotopi. Vi har så F (0 × I) = b_{0}, så da F′ er et løft af F har vi F′(0 × I) ∈ p^{−1}(b_{0}). Men da 0 × I er sammenhængende og F′ er kontinuert bliver F′(0 × I) sammenhængende. Fiberen p^{−1}(b_{0}) er diskret, så F′(0 × I) bliver en et-punkts mængde. Fuldstændig tilsvarende bliver F′(1 × I) en et-punkts mængde, så F′ bliver en kurvehomotopi. □

Sætning 3.21. Lad p : E → B være en overlejring med p(b_{0}) = e_{0}. Lad σ og τ være stier i B fra b_{0} til b_{1}, og lad σ′ og τ′ være deres respektive løft til stier i E startende i e_{0}. Hvis σ og τ er kurvehomotope, så ender σ′ og τ′ i samme punkt og de er kurvehomotope.

Bevis : Lad F : I×I → B være en kurvehomotopi mellem σ og τ. Så gælder F (0, 0) = b_{0}. Lad F′ : I ×I → E være et løft af F med F′(0, 0) = e_{0}, jævnfør det foregående korollar. Af denne ses også at F′ er en kurvehomotopi, så F′(0 × I) = {e_{0}}. Tilsvarende er F′(1 × I) en et-punkts mængde, {e_{1}}. Restriktionen F′|_{I×0} er et løft af stien F |_{I×0}. På grund af entydigheden af løft af stier, gælder F′(s, 0) = σ′(s). Tilsvarende ses F′(s, 1) = τ′(s). Altså er F′ en kurvehomotopi mellem σ′ og τ′. Specielt bemærkes at σ′(1) = τ′(1) = e_{1}. □

Bemærkning 3.22. Korollaret viser at løft af kurvehomotopiklasser er veldefineret og entydigt, så vi for en ækvivalensklasse [σ] kan tale om dets løft til ækvivalensklassen [σ′_{e}] startende i et punkt e ∈ p^{−1}(σ(0)).

Korollar 3.23. Lad p : E → B være en overlejring med p(e_{0}) = b_{0}. Så er den inducerede homomorfi p_{∗} en monomorfi, så π_{1}(E, e_{0}) kan opfattes som en undergruppe π_{1}(B, b_{0}).

Bevis : Antag [σ] ∈ ker(p_{∗}), dvs p_{∗}([σ]) = [ϵ_{b_{0}}]. Men da løftet af p_{∗}([σ]) startende i e_{0} er [σ], og da løftet af [ϵ_{b_{0}}] startende i e_{0} er [ϵ_{e_{0}}] følger af entydigheden af løft af ækvivalensklasser at [σ] = [ϵ_{e_{0}}], dvs p_{∗} er injektiv. Hermed bliver billedet p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})) isomorft med π_{1}(E, e_{0}). □

Sætning 3.24 (Generel eksistens og entydighed af løft). Lad p : E → B være en overlejring med b_{0} = p(e_{0}). Lad f : X → B være kontinuert med f(x_{0}) = b_{0}. Hvis X er kurvesammenhængende og lokalt kurvesammenhængende, så kan f løftes til en kontinuert afbildning f′ : X → E med f′(x_{0}) = e_{0} netop hvis

(1)  f_{∗}(π_{1}(X, x_{0})) ⊆ p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})).

Hvis f kan løftes, så er løftet entydigt bestemt, blot X er kurvesammenhængende.

Bevis : Hvis løftet f′ findes, så gælder

f_{∗}(π_{1}(X, x_{0})) = p_{∗}(f′_{∗}(π_{1}(X, x_{0}))) ⊆ p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})).

Dette viser at vi kun kan finde et løft f′, hvis (1) er opfyldt. Hvis løftet eksisterer er det også let at se at det er entydigt bestemt. Givet x_{1} ∈ X vælges en sti α fra x_{0} til x_{1}. Løft så stien f ∘ α i B til en sti γ = (f ∘ α)′_{e_{0}} i E. Hvis løftet f′ eksisterer, så må f′(x_{1}) være endepunktet γ(1) for γ, thi f′ ∘ α er et løft af stien f ∘ α startende i e_{0} og løft af stier er entydigt bestemt. Hermed er f′ entydigt bestemt i alle punkter. Vi skal nu vise at hvis (1) er opfyldt så kan f løftes. Givet x_{1} ∈ X vælges en sti α fra x_{0} til x_{1}. Løft så stien f ∘ α i B til en sti γ = (f ∘ α)′_{e_{0}} i E, og sæt så f′(x_{1}) = γ(1). Vi viser først at dette er veldefineret. Antag altså at α og β er stier i X fra x_{0} til x_{1}. Lad γ = (f ∘ α)′_{e_{0}} og δ = (f ∘ β)′_{e_{0}} være løftene af stierne f ∘ α og f ∘ β i B til stier i E. Vi skal altså vise γ(1) = δ(1). Sæt ε = (f ∘ β^{−1})′_{γ(1)}. Så er γε defineret, og er et løft af løkken (f ∘ α)(f ∘ β^{−1}) i B. Vi har [(f ∘α)(f ∘β^{−1})] = f_{∗}([αβ^{−1}]) som ifølge (1) ligger i p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})). Vi kan altså finde en løkke ϕ i E startende i e_{0}, så [(f ∘ α)(f ∘ β^{−1})] = [p ∘ ϕ]. Af sætning 3.21 fås nu at løftene af disse, dvs γε og ϕ ender i samme punkt e_{0}. Altså ender ε i e_{0}, så ε er et løft af f ∘ β^{−1} startende i γ(1) og sluttende i e_{0}. Men så er jo ε^{−1} et løft af f ∘ β startende i e_{0} og sluttende i γ(1). Men det er δ også, så da løft af stier er entydigt bestemt fås δ = ε^{−1}, og dermed γ(1) = δ(1), som ønsket. Vi skal nu vise at f′ er kontinuert. Givet en omegn V af f′(x_{1}). Først findes en omegn U af f(x_{1}), som er jævnt overlejret af p, og lad V_{0} være det lag af p^{−1}(U) som indeholder f′(x_{1}). Vi kan antage V_{0} ⊆ V (idet vi ellers kan sætte V′_{0} = V ∩V_{0} og U′ = p(V′_{0}), og så erstatte U med U′. Hermed bliver V_{0} erstattet med V′_{0}). Lad p_{0} = p|_{V_{0}}, og vælg en kurvesammenhængende omegn W af x_{1} så f(W) ⊆ U. Så gælder f′(W) ⊆ V_{0}, thi givet x ∈ W kan vi vælge en sti β i W fra x_{1} til x. Stien f ∘β i U kan så løftes til en sti δ = p_{0}^{−1} ∘f ∘β startende i f′(x_{1}). Så er γδ defineret og er et løft af f ∘ (αβ) startende i e_{0}. Dermed fås er f′(x) = (γδ)(1), som ligger i V_{0}, idet f(x) ∈ U. □

4. Undergrupper og Overlejringer

I dette afsnit studerer vi nærmere sammenhængen mellem undergrupper og overlejringer. Vi har allerede set i korollar 3.23 at fundamentalgruppen for overlejringsrummet svarer til en undergruppe af basisrummet. Vi viser desuden at der under passende forudsætninger kan etableres en entydig sammenhæng mellem undergrupper af fundamentalgruppen og ækvivalensklasser af overlejringer. Situationen bliver på mange måder analog til den der kendes fra Galoisteori.

Sætning 4.1. Lad p : E → B være en overlejring og lad b_{0} ∈ B. Afbildningen (e, [σ]) ↦ e · [σ] = σ′_{e}(1) fra p^{−1}(b_{0}) × π_{1}(B, b_{0}) til p^{−1}(b_{0}) er en (højre-)operation af fundamentalgruppen på fiberen. Stabilisatoren for et punkt e i fiberen er p_{∗}(π_{1}(E, e)). Hvis E er kurvesammenhængende virker fundamentalgruppen transitivt på fiberen.

Bevis : Det er klart at operationen er veldefineret, idet kurvehomotope kurver har samme endepunkt. Lad e ∈ p^{−1}(b_{0}). Vi har (ϵ_{b_{0}})′_{e} = ϵ_{e}, så e · [ϵ_{e_{0}}] = ϵ_{e}(1) = e. Lad [σ], [τ] ∈ π_{1}(B, b_{0}). Vi har (στ)′_{e} = σ_{e}τ′_{σ′_{e}(1)} på grund af entydigheden af løft. Heraf fås e · [στ] = (στ)′_{e}(1) = σ_{e}τ′_{σ′_{e}(1)}(1) = τ′_{σ′_{e}(1)}(1) = (e · [σ]) · [τ]. Vi har Stab(e) = {[σ] ∈ π_{1}(B, b_{0})|σ′_{e}(1) = e} = p_{∗}(π_{1}(E, e)) da en løkke startende i b_{0} løfter til en løkke startende i e netop hvis den er billedet af en løkke startende i e, på grund af entydigheden af løft. Lad E være kurvesammenhængende og lad e_{1}, e_{2} ∈ p^{−1}(b_{0}). Lad α være en sti fra e_{1} til e_{2}. Så er p ∘ α en løkke startende i b_{0} og på grund af entydigheden af løft fås (p∘α)′_{e_{1}} = α så e_{1} ·[p∘α] = (p∘α)′_{e_{1}}(1) = α(1) = e_{2}. □

Korollar 4.2. Gruppeoperationen inducerer en homomorfi af fundamentalgruppen på en transitiv undergruppe af permutationsgruppen på fiberen. Denne kaldes den karakteristiske homomorfi.

Bevis : Definer χ : π_{1}(B, b_{0}) → S(p^{−1}(b_{0})) ved χ([σ])(e) = e · [σ]^{−1}. Vi har direkte χ([σ][τ])(e) = e · ([σ][τ])^{−1} = (e · [τ]^{−1}) · [σ]^{−1} = χ([σ])(χ([τ])(e)). Dette viser at χ([σ]^{−1}) er en invers til χ([σ]), der derfor er en bijektion på fiberen. Desuden ses at χ er en homomorfi. Billedet bliver en transitivt, da fundamentalgruppen virker transitivt på fiberen. □

Korollar 4.3. Når E er kurvesammenhængende inducerer gruppeoperationen en bijektion mellem fiberen p^{−1}(b_{0}) og mængden π_{1}(B, b_{0})/p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})) af sideklasser til p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})).

Bevis : Da E er kurvesammenhængende er operationen transitiv. Ifølge en sætning kendt fra algebraen, er der så en bijektion mellem mængden gruppen opererer på og mængden af sideklasser til stabilisatoren for et vilkårligt punkt (se evt. sætning (7.28) i Olsson [9]). □

Bemærkning 4.4. Man kan af af korollar 4.3 let udlede at alle fibre har samme kardinalitet når E er kurvesammenhængende (benyt at p_{∗} er injektiv). Dette gælder dog også hvis E blot er sammenhængende, jvf. sætning 3.7.

Sætning 4.5. Lad G være en topologisk gruppe og H en diskret normal undergruppe i G. Så er den kanoniske afbildning p : G → G/H en overlejring.

Bevis : Surjektiviteten og kontinuiteten er klar. Det er også en åben afbildning, idet vi for en åben mængde U har p^{−1}(p(U)) = HU = ⋃_{h∈H} hU, som er åben grundet kontinuiteten af gruppeoperationerne. Da H er diskret, kan vi finde en åben omegn V af e, så V ∩H = {e}. Vælg dernæst en åben omegn U af {e}, så U^{−1}U ⊆ V. Lad ĝ ∈ G/H være vilkårlig. Da p er åben er ĝU en åben omegn af ĝ. Vi har p^{−1}(ĝU) = gUH = ⋃_{h∈H} gUh. Mængderne gUh er klart åbne, og de er disjunkte da vi for guh = gu′h′ får u′^{−1}u = h′h^{−1}, som ligger i både V og H. Altså gælder u = u′ og h = h′. Endelig er p|_{gUh} : gUh → ĝU en homeomorfi. Da p|_{gUh}^{−1}({ĝu}) = p^{−1}(ĝu) ∩ gUh = {guh} er en et-punkts mængde, er p|_{gUh} bijektiv. Da p er åben og kontinuert, bliver p|_{gUh} en homeomorfi, så den åbne omegn ĝU er jævnt overlejret af p. □

Sætning 4.6. Lad G være en enkeltsammenhængende topologisk gruppe og H en diskret normal undergruppe i G. Så gælder π_{1}(G/H) ≃ H.

Bevis : Lad p : G → G/H være den kanoniske afbildning, og lad e ∈ G være det neutrale element. Af den foregående sætning ses at p er en overlejring, og af korollar 4.3 ser vi at der er en bijektion mellem fundamentalgruppen π_{1}(G/H) og fiberen p^{−1}(e) = H, idet p_{∗}(π_{1}(G)) = {0}. Denne afbildning er givet ved φ([σ]) = σ′_{e}(1). Vi skal nu blot vise at φ er en homomorfi. Lad altså [σ], [τ] ∈ π_{1}(G/H). Definer stien ρ i G ved

ρ(s) = \{ \begin{matrix}σ′_{e}(2s) & for s ∈ [0; \frac{1}{2}] \\ σ′_{e}(1) ∗ τ′_{e}(2s − 1) & for s ∈ [\frac{1}{2}; 1] \end{matrix}

Så er [ρ] et løft af [σ] ∗ [τ] startende i e, idet vi har

p(ρ(s)) = \{ \begin{matrix}p(σ′_{e}(2s)) & for s ∈ [0; \frac{1}{2}] \\ p(σ′_{e}(1) ∗ τ′_{e}(2s − 1)) & for s ∈ [\frac{1}{2}; 1] \end{matrix}

= \{ \begin{matrix}σ(2s)) & for s ∈ [0; \frac{1}{2}] \\ p(σ′_{e}(1)) ∗ τ(2s − 1) & for s ∈ [\frac{1}{2}; 1] \end{matrix} = στ

idet σ′_{e}(1) ∈ H. På grund af entydighed af løft af ækvivalensklasser gælder så

φ([σ] ∗ [τ]) = ρ(1) = σ′_{e}(1) ∗ τ′_{e}(1) = φ([σ]) ∗ φ([τ])
□

Korollar 4.7. π_{1}(S^{1}) ≃ (ℤ, +) og π_{1}(\underbrace{S^{1} × ⋯ × S^{1}}_{n gange}) ≃ (ℤ^{n}, +).

Bevis : Første del af korollaret følger umiddelbart af den foregående sætning idet ℤ er en normal diskret undergruppe af den enkeltsammenhængende topologiske gruppe ℝ og faktorgruppen ℝ/ℤ er iso- og homeomorf med S^{1}. Den anden del af korollaret følger af det første og sætning 2.17, eller direkte af den foregående sætning idet ℝ^{n}/ℤ^{n} er iso- og homeomorf

med \underbrace{S^{1} × ⋯ × S^{1}}_{n gange}. □

Bemærkning 4.8. Kugleskallerne S^{n} i højere dimensioner (n ≥ 2) er enkeltsammenhængende. Dette er ’geometrisk klart’ — for et formelt bevis se Munkres [8, side 348–350].

Sætning 4.9. Lad p : E → B være en overlejring, hvor E er kurvesammenhængende og lad b_{0} ∈ B. Når e gennemløber fiberen over b_{0} gennemløber p_{∗}(π_{1}(E, e)) en konjugationsklasse af undergrupper af π_{1}(B, b_{0}).

Bevis : Givet punkter e_{0}, e_{1} ∈ p^{−1}(b_{0}) sættes H_{0} = p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})), H_{1} = p_{∗}(π_{1}(E, e_{1})). Lad γ være en sti i E fra e_{0} til e_{1}, og sæt α = p ∘ γ. Vi viser så at [α] ∗ H_{1} ∗ [α]^{−1} = H_{0}. Lad [σ] ∈ H_{1}, så er [σ] = p_{∗}([σ̃]) hvor [σ̃] ∈ π_{1}(E, e_{1}). Sæt nu τ̃ = γσ̃γ^{−1}, som er en løkke startende i e_{0}, og der gælder p_{∗}([τ̃]) = [ασα^{−1}]. Dette betyder altså at [α] ∗ H_{1} ∗ [α]^{−1} ⊆ H_{0}. Ved at kigge på stien γ^{−1} fra e_{1} til e_{0} fås α^{−1} = p ∘ γ^{−1}, og heraf sluttes ligesom før at [α^{−1}] ∗ H_{0} ∗ [α] ⊆ H_{1}. Heraf fås det ønskede. Vi har nu vist at alle grupperne p_{∗}(π_{1}(E, e)) er konjugerede. Vi mangler nu at vise at vi får hele konjugationsklassen frem. Lad altså e_{0} ∈ p^{−1}(b_{0}) og H være en undergruppe af π_{1}(B, b_{0}) konjugeret med H_{0}. Vi kan altså finde en løkke α så H_{0} = [α] ∗ H ∗ [α]^{−1}. Lad α̃ være løftet af α til en sti i E startende i e_{0}, og sæt e_{1} = α̃(1), og sæt H_{1} = p_{∗}(π_{1}(E, e_{1})). Af det foregående fås så at H_{0} = [α] ∗ H_{1} ∗ [α]^{−1}. Sammenholdes dette med det foregående fås altså H = H_{1} = p_{∗}(π_{1}(E, e_{1})), så hele konjugationsklassen opnås. □

Definition 4.10. To overlejringer p : E → B og p′ : E′ → B siges at være ækvivalente hvis der findes en homeomorfi φ : E → E′ så p = p′∘φ. Vi kalder φ en overlejringsækvivalens. Det ses let at dette er en ækvivalensrelation mellem overlejringer.

Lemma 4.11. Lad B være lokalt kurvesammenhængende. Hvis p : E → B og p′ : E′ → B er to kurvesammenhængende overlejringer med p(e_{0}) = p′(e′_{0}) = b_{0} og p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})) = p′_{∗}(π_{1}(E′, e′_{0})), så findes en overlejringsækvivalens φ : E → E′ med φ(e_{0}) = e′_{0}.

Bevis : Betragt diagrammet

\xymatrix{ & E′ \ar[d]^{p′} \\ E \ar[r]^{p} & B}

Da rummet E er kurvesammenhængende og lokalt kurvesammenhængende (da B er det) og p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})) ⊆ p′_{∗}(π_{1}(E′, e′_{0})) (de er endda ens), så af den generelle sætning om løft fås at p kan løftes til en afbildning φ : E → E′, så φ(e_{0}) = e′_{0}. Tilsvarende ses at vi kan løfte p′ til en afbildning ψ : E′ → E med ψ(e′_{0}) = e_{0}. For at vise at φ og ψ er hinandens inverse betragtes diagrammet

\xymatrix{ & E \ar[d]^{p} \\ E \ar[r]^{p} & B}

Da gælder p∘(ψ∘φ) = p′ ∘φ = p, så ψ∘φ er et løft af p med (ψ∘φ)(e_{0}) = e_{0}. Idet id_{E} også er et sådant løft fås ψ ∘ φ = id_{E}. Tilsvarende fås φ ∘ ψ = id_{E′}. □

Sætning 4.12. Lad B være lokalt kurvesammenhængende. To kurvesammenhængende overlejringer p : E → B og p′ : E′ → B med p(e_{0}) = p′(e′_{0}) = b_{0} er ækvivalente netop hvis undergrupperne p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})) og p′_{∗}(π_{1}(E′, e′_{0})) er konjugerede.

Bevis : Antag først at de to overlejringer er ækvivalente. Lad φ : E′ → E være en homeomorfi så p ∘ φ = p′ og sæt e_{1} = φ(e′_{0}). Da φ er en homeomorfi fås φ_{∗}(π_{1}(E′, e′_{0})) = π_{1}(E, e_{1}). Anvendes p_{∗} på begge sider fås p′_{∗}(π_{1}(E′, e′_{0})) = p_{∗}(π_{1}(E, e_{1})), og da e_{1} ∈ p^{−1}(b_{0}) er p_{∗}(π_{1}(E, e_{1})) konjugeret med p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})) ifølge sætning 4.9. Antag nu omvendt at de to undergrupper er konjugerede. Af sætning 4.9 ses at vi kan antage at de to undergrupper faktisk er ens, idet vi kan vælge et andet basispunkt for E′. Antag altså at p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})) = p′_{∗}(π_{1}(E′, e′_{0})). Påstanden følger nu af lemmaet. □

Eksempel 4.13. Vi har tidligere vist at π_{1}(S^{1}) ≃ ℤ. Da denne er abelsk er to overlejringer ækvivalente netop hvis de svarer til samme undergruppe. Undergrupperne af ℤ er nℤ hvor n ∈ ℕ_{0}. De kurvesammenhængende overlejringer af S^{1} bliver derfor ækvivalente med enten p : ℝ → S^{1} givet ved p(x) = e^{2πix} eller med p_{n} : S^{1} → S^{1} givet ved p_{n}(z) = z^{n}, n ∈ ℕ, jvf eksemplerne 3.12 og 3.14.

Definition 4.14. Lad G være en gruppe, der virker fra højre på en mængde M. En bijektiv afbildning φ : M → M siges at være en G-automorfi hvis φ(m · g) = φ(m) · g. Mængden af G-automorfier kaldes Aut(M). Det er klart Aut(M) bliver en gruppe ved sammensætning af afbildninger.

Lemma 4.15. Lad G være en gruppe, der virker transitivt på mængden M, og lad m_{0} ∈ M. Så gælder Aut(M) ≃ N(G_{m_{0}})/G_{m_{0}}, hvor G_{m_{0}} er stabilisatoren for m_{0}, og N betegner normalisatoren.

Bevis : Lad φ ∈ Aut(M). Da G virker transitivt på M findes et g ∈ G så φ(m_{0}) = m_{0} · g. Vi definerer så Ψ : Aut(M) → N(G_{m_{0}})/G_{m_{0}} ved Ψ(φ) = gG_{m_{0}}. Vi har g ∈ N(G_{m_{0}}) idet vi for h ∈ G_{m_{0}} har ghg^{−1} ∈ G_{m_{0}} idet

m_{0}·(ghg^{−1}) = φ(m_{0})·(hg^{−1}) = φ(m_{0}·h)·g^{−1} = φ(m_{0})·g^{−1} = m_{0}·(gg^{−1}) = m_{0}.

Ψ er veldefineret idet vi for φ(m_{0}) = m_{0} · g = m_{0} · g′ har vi m_{0} = m_{0} · (g′g^{−1}), så g′g^{−1} ∈ G_{m_{0}} og dermed G_{m_{0}}g = G_{m_{0}}g′. Da g, g′ ∈ N(G_{m_{0}}) fås heraf gG_{m_{0}} = g′G_{m_{0}}. Ψ er en homomorfi, idet vi for χ ∈ Aut(M) med χ(m_{0}) = m_{0} · g′ har ϕχ(m_{0}) = φ(m_{0} · g′) = φ(m_{0}) · g′ = m_{0} · (gg′), så Ψ(φχ) = ĝg′ = Ψ(φ)Ψ(χ). Antag Ψ(φ) = ê, så φ(m_{0}) = m_{0} · e = m_{0}. Lad m ∈ M være vilkårlig, så findes h ∈ G så m = m_{0} · h, da G virker transitivt på M. Nu fås φ(m) = φ(m_{0} · h) = φ(m_{0}) · h = m_{0} · h = m, så φ = id_{M}, dvs Ψ er injektiv. Lad g ∈ N(G_{m_{0}}). For m ∈ M findes h ∈ G så m = m_{0} · h. Vi sætter så φ(m) = m_{0} · (gh). Dette er veldefineret idet vi for h, h′ ∈ G med m = m_{0} · h = m_{0} · h′ har h′h^{−1} ∈ G_{m_{0}} og dermed gh′h^{−1}g^{−1} ∈ G_{m_{0}}, hvilket betyder at m_{0} · (gh) = m_{0} · (gh′). Det er en G-automorfi, idet vi for et f ∈ G har m · f = m_{0} · (hf) og dermed φ(m·f) = m_{0}·(ghf) = (m_{0}·(gh))·f = φ(m)·f. Endelig gælder m_{0} = m_{0}·e, så φ(m_{0}) = m_{0} · (ge) = m_{0} · g, så Ψ(φ) = ĝ. Dermed er Ψ surjektiv. □

Definition 4.16. En overlejringstransformation for en overlejring p : E → B er en overlejringsækvivalens fra E til sig selv. Ved sammensætning ses mængden af overlejringstransformationer at blive en gruppe, G(E/B).

Lemma 4.17. Lad p : (E, e_{0}) → (B, b_{0}) være en kurvesammenhængende overlejring, hvor B er lokalt kurvesammenhængende. Så gælder G(E/B) ≃ Aut(p^{−1}(b_{0})).

Bevis : For φ ∈ G(E/B) er φ|_{p^{−1}(b_{0})} en bijektion af fiberen p^{−1}(b_{0}), idet G(E/B) er en gruppe. Restriktionen φ|_{p^{−1}(b_{0})} ligger i Aut(p^{−1}(b_{0}). For [σ] ∈ π_{1}(B, b_{0}) og e ∈ p^{−1}(b_{0}) er både σ′_{φ(e)} og φ ∘ σ′_{e} løft af σ startende i φ(e). På grund af entydigheden af løft af stier fås så specielt endepunkterne stemmer overens, og dermed at φ(e · [σ]) = φ(e) · [σ]. Det er klart at afbildningen φ ↦ φ|_{p^{−1}(b_{0})} er en homomorfi. Antag nu at φ er identiteten på fiberen p^{−1}(b_{0}), specielt gælder φ(e_{0}) = e_{0}. Men da er både φ og id_{E} løft at p : E → B til E, så af entydighed af løft fås φ = id_{E}, dvs afbildningen er injektiv. Lad φ ∈ Aut(p^{−1}(b_{0})). På grund af definitionen af Aut ses nu at e_{0} · [σ] = e_{0} netop hvis φ(e_{0}) · [σ] = φ(e_{0}) så e_{0} og φ(e_{0}) har samme stabilisator. Dette betyder altså at p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})) = p_{∗}(π_{1}(E, φ(e_{0}))). Ifølge lemma 4.11 findes så φ̃ ∈ G(E/B) med φ̃(e_{0}) = φ(e_{0}). For e ∈ p^{−1}(b_{0}) findes [σ] ∈ π_{1}(B, b_{0}), så e = e_{0} · [σ]. Så gælder

φ̃(e) = φ̃(e_{0} · [σ]) = φ̃(e_{0}) · [σ] = φ(e_{0}) · [σ] = φ(e_{0} · [σ]) = φ(e)

idet vi ved den anden omskrivning har brugt den første del af beviset. Vi har altså φ̃|_{p^{−1}(b_{0})} = φ, dvs afbildningen er surjektiv. □

Sætning 4.18. Lad p : (E, e_{0}) → (B, b_{0}) være en kurvesammenhængende overlejring, hvor B er lokalt kurvesammenhængende. Så gælder

G(E/B) ≃ N(p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})))/p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})).

Bevis : Ifølge sætning 4.1 virker π_{1}(B, b_{0}) transitivt på fiberen p^{−1}(b_{0}), og stabilisatoren for e_{0} er p_{∗}(π_{1}(E, e_{0}). Sætningen følger nu direkte af lemmaerne 4.15 og 4.17. □

Bemærkning 4.19. Hvis p : E → B er en overlejring, hvor E er enkeltsammenhængende, så kaldes overlejringen universel.

Bemærkning 4.20. For et lokalt kurvesammenhængende rum er alle universelle overlejringer ækvivalente. Lad nemlig p : E → B og p′ : E′ → B være universelle overlejringer og lad e ∈ E og e′ ∈ E′. Da E er enkeltsammenhængende fås p_{∗}(π_{1}(E, e)) = p_{∗}({0}) = {0}. Tilsvarende fås p_{∗}(π_{1}(E′, e′)) = {0}, så p_{∗}(π_{1}(E, e)) = p_{∗}(π_{1}(E′, e′)). Påstanden fås nu af sætning 4.12.

Lemma 4.21. Lad U være en åben sammenhængende mængde, jævnt overlejret af en kontinuert afbildning p : E → B. Så er sammenhængskomponenterne af p^{−1}(U) åbne og afbildes homeomorft på U.

Bevis : Skriv p^{−1}(U) = ⋃ V_{α}, hvor mængderne V_{α} er åbne disjunkte og homeomorfe med U. Da U er sammenhængende er også mængderne V_{α} sammenhængende, så da de er disjunkte er de netop sammenhængskomponenterne af p^{−1}(U). □

Sætning 4.22. Lad p_{1} : E_{1} → B og p_{2} : E_{2} → B være overlejringer, hvor E_{2} er kurvesammenhængende, og B er lokalt sammenhængende. Hvis φ : E_{1} → E_{2} er kontinuert og p_{1} = p_{2} ∘ φ, så er φ en overlejring.

\xymatrix{E_{1} \ar[dd]_{p_{1}} \ar@{-->}[dr]^{φ} \\  & E_{2} \ar@{-->}[dl]^{p_{2}} \\ B}

Bevis : Vi viser først at φ er surjektiv. Vælg et basispunkt e_{1} for E_{1} og sæt e_{2} = φ(e_{1}) og b_{0} = p_{1}(e_{1})(= p_{2}(e_{2})). Lad y ∈ E_{2}. Vælg en sti α i E_{2} fra e_{2} til y. Sæt β = (p_{2} ∘ α)′_{e_{1}}. Der gælder p_{2} ∘ (φ ∘ β) = p_{1} ∘ β = p_{2} ∘ α, så φ ∘ β er et løft af p_{2} ∘ α startende i e_{2}. Men det er α også, så af entydigheden af løft af stier fås φ ∘ β = α. Med x = β(1) gælder altså φ(x) = α(1) = y. Vi viser nu at ethvert punkt y ∈ E_{2} har en åben omegn U, der er jævnt overlejret af φ. Vælg omegne U_{1} og U_{2} af p_{2}(y), så U_{1} er jævnt overlejret af p_{1} og U_{2} er jævnt overlejret af p_{2}. Vælg U sammenhængende, så U ⊆ U_{1}∩U_{2}. Så er U jævnt overlejret af både p_{1} og p_{2}. Lad V være den sammenhængskomponent af p_{2}^{−1}(U), som indeholder y. En sammenhængskomponent af φ^{−1}(V) ligger i en sammenhængskomponent for p_{1}^{−1}(U), da φ^{−1}(V) ⊆ p_{1}^{−1}(U). Omvendt er hver sammenhængskomponent af p_{1}^{−1}(U) homeomorf med U og dermed med V pga. lemmaet anvendt to gange. Altså er sammenhængskomponenterne af φ^{−1}(V) homeomorfe med en delmængde af V, men da φ er surjektiv fås at de faktisk er homeomorfe med V. Dermed er V altså jævnt overlejret af φ. □

Korollar 4.23. Lad p : E → B være en universel overlejring og p′ : E′ → B være en kurvesammenhængende overlejring, hvor B er et lokalt kurvesammenhængende rum med p(e_{0}) = p′(e′_{0}) = b_{0}. Så findes en overlejring q : E → E′ så p = p′ ∘ q.

Bevis : Da E er enkeltsammenhængende gælder p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})) = {0} ⊆ p′_{∗}(π_{1}(E′, e′_{0})) så af den generelle sætning om løft ser vi at vi kan løfte p til en kontinuert afbildning q : E → E′ så q(e_{0}) = e′_{0}. Af den foregående sætning fås nu at q er en overlejring. □

Lemma 4.24. Lad p : E → B være en overlejring, hvor B er lokalt sammenhængende og lad A ⊆ B være en sammenhængende åben mængde. Hvis C er en sammenhængskomponent af p^{−1}(A), så er p|_{C} : C → A en overlejring.

Bevis : Lad a ∈ A, og lad U være en sammenhængende åben omegn af a, jævnt overlejret af p med U ⊆ A. Vi viser at U er jævnt overlejret af p|_{C}. Ifølge lemma 4.21 afbildes sammenhængskomponenterne V_{α} af p^{−1}(U) homeomorft på U. Vi har direkte (p|_{C})^{−1}(U) = C ∩ p^{−1}(U) = ⋃_{α}(C ∩ V_{α}). Mængderne C ∩ V_{α} er enten tomme eller også er V_{α} helt indeholdt i C. Vi ved nemlig at V_{α} er en sammenhængende delmængde af p^{−1}(U), og dermed af den større mængde p^{−1}(A). Idet C er en sammenhængskomponent af p^{−1}(A), fås det påståede. Mængderne C ∩ V_{α} er åbne og disjunkte, og af det netop viste ses at hvis C ∩ V_{α} ≠ ∅, så er C ∩ V_{α} = V_{α} homeomorf med U. Vi mangler nu kun at vise at (p|_{C})^{−1}(U) ≠ ∅, thi så er de ikke tomme af mængderne C ∩ V_{α} en lagdeling af (p|_{C})^{−1}(U). Vi bemærker at der for vilkårlige åbne sammenhængende mængder W ⊆ A, hvor W er jævnt overlejret af p gælder at W er jævnt overlejret at p|_{C}, hvis (p|_{C})^{−1}(W) ≠ ∅. Vi viser at p(C) = A, idet dette viser at (p|_{C})^{−1}(U) ≠ ∅. Da p er en overlejring er E lokalt sammenhængende. Da p^{−1}(A) desuden er åben og C er en sammenhængskomponent af denne ses at C er åben. Lad nemlig x ∈ C, så findes en sammenhængende åben omegn D af x så D ⊆ p^{−1}(A). Da D er sammenhængende må D ligge i en sammenhængskomponent af p^{−1}(A), så da D ∩C indeholder x, må denne sammenhængskomponent være C. Dermed er C åben. Heraf ses at p(C) er åben og dermed specielt åben i A, da p er åben. Desuden er p(C) afsluttet. Lad nemlig x ∈ \overline{p(C)}^{A}, og lad W ⊆ A være en sammenhængende åben omegn af x, jævnt overlejret af p. Vi har så p(C) ∩ D ≠ ∅, dvs (p|_{C})^{−1}(D) ≠ ∅. Altså fås at den ovenstående bemærkning at D er jævnt overlejret af p|_{C}. Specielt fås x ∈ D ⊆ p(C), så p(C) er afsluttet. Dermed fås samlet p(C) = A, da A er sammenhængende. □

Sætning 4.25. Lad p_{1} : E_{1} → B og p_{2} : E_{1} → E_{2} være overlejringer, hvor B er lokalt sammenhængende. Hvis φ : E_{2} → B er kontinuert og p_{1} = φ∘p_{2}, så er φ en overlejring.

\xymatrix{E_{1} \ar[dd]_{p_{1}} \ar@{-->}[dr]^{p_{2}} \\  & E_{2} \ar@{-->}[dl]^{φ} \\ B}

Bevis : Lad b ∈ B, og lad U være en sammenhængende åben omegn af b, jævnt overlejret af p_{1}. Ifølge lemma 4.21 afbildes sammenhængskomponenterne U_{α} af p_{1}^{−1}(U) homeomorft på U. Vi bemærker at φ er surjektiv, da p_{1} = φ ∘ p_{2} er det. Lad V være en sammenhængskomponent af φ^{−1}(U), og lad W være en sammenhængskomponent af p_{2}^{−1}(V). Da W er sammenhængende og W ⊆ p_{1}^{−1}(U) (da diagrammet kommuterer) findes altså en U_{α}, så W ⊆ U_{α}. Vi har E_{2} lokalt sammenhængede, da p_{1} og p_{2} er lokale homeomorfier, så da V er en sammenhængskomponent af den åbne mængde φ^{−1}(U), fås (som i beviset for lemmaet) at V er åben. Af lemmaet ovenfor ses at p_{2}|_{W} : W → V er en overlejring, specielt gælder V = p_{2}(W) ⊆ p_{2}(U_{α}). Heraf ses da p_{2}(U_{α}) er en sammenhængende delmængde af φ^{−1}(U) (da diagrammet kommuterer) og V er en sammenhængskomponent af φ^{−1}(U) fås V = p_{2}(U_{α}). Da φ ∘ p_{2}|_{U_{α}} = p_{1}|_{U_{α}} ses at p_{2}|_{U_{α}} er injektiv. Afbildningen p_{2}|_{U_{α}} er også kontinuert og åben, så p_{2}|_{U_{α}} : U_{α} → V er en homeomorfi. Dermed bliver også φ|_{V} = p_{1}|_{U_{α}} ∘ (p_{2}|_{U_{α}})^{−1} en homeomorfi. Dermed udgør sammenhængskomponenterne af φ^{−1}(U) en lagdeling af φ^{−1}(U). □

Korollar 4.26. Lad p : X → Y og q : Y → Z være overlejringer. Hvis X er kurvesammenhængende og Z er lokalt kurvesammenhængende og har et universelt overlejringsrum, da er q ∘ p : X → Z en overlejring.

Bevis : Lad r_{Z} : Z̃ → Z være en universel overlejring af Z. Da Z̃ er enkeltsammenhængende kan vi løfte r_{Z} til en afbildning, r_{Y} : Z̃ → Y, som bliver en overlejring ifølge sætning 4.22. Vi kan så løfte denne til en afbildning r_{X} : Z̃ → X, som ligesom før bliver en overlejring ifølge sætning 4.22. Af den foregående sætning ses nu at q ∘ p : X → Z er en overlejring.

\xymatrix{ &  & Z̃ \ar[d]^{r_{Z}} \ar[dl]^{r_{Y}} \ar[dll]_{r_{X}} \\ X \ar[r]_{p} & Y \ar[r]_{q} & Z}

□

Definition 4.27. Et rum B siges at være semilokalt enkeltsammenhængende, hvis der for alle b ∈ B findes en åben omegn U af b, så den af inklusionen U ↪ B inducerede homomorfi fra π_{1}(U, b) til π_{1}(B, b) er triviel. Dette vil altså sige at enhver løkke i U startende i b betragtet som løkke i B er kurvehomotop til ϵ_{b}.

Sætning 4.28. Lad B være et rum, som har et universelt overlejringsrum p : E → B. Så er B semilokalt enkeltsammenhængende.

Bevis : Lad b ∈ B og vælg en jævnt overlejret åben omegn U af b. Lad e ∈ p^{−1}(b) og lad V_{α} være en lagdeling af p^{−1}(U). Lad V være det lag som indeholder e. Betragt diagrammet

\xymatrix{π_{1}(V, e) \ar[d]^{≃}_{(p|_{V} )_{∗}} \ar[r]^{(i_{V,E})_{∗}} & π_{1}(E, e) \ar[d]^{p_{∗}} \\ π_{1}(U, b) \ar[r]_{(i_{U,B})_{∗}} & π_{1}(B, b)}

hvor i_{V,E} og i_{U,B} er inklusionerne. Da π_{1}(E, e) = {0} og (p|_{V})_{∗} er en isomorfi da U og V er homeomorfe, fås at (i_{U,B})_{∗} er triviel idet diagrammet kommuterer. □

Sætning 4.29 (Eksistens af overlejringer). Lad (B, b_{0}) være et kurvesammenhængende, lokalt kurvesammenhængende og semilokalt enkeltsammenhængende rum. Hvis G er en undergruppe af π_{1}(B, b_{0}), så findes en kurvesammenhængende overlejring p : (E, e_{0}) → (B, b_{0}), så p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})) = G.

Bevis : Lad P være mængden af stier startende i b_{0}. Definer en ækvivalensrelation ∼ i P ved σ ∼ τ netop hvis σ(1) = τ(1) og [στ^{−1}] ∈ G. Dette er klart en ækvivalensrelation, da G er en gruppe. Lad E være mængden af ækvivalensklasser, ækvivalensklassen for en sti σ betegnes ⟨σ⟩. Sæt e_{0} = ⟨ϵ_{b_{0}}⟩. Definer p : E → B ved p(⟨σ⟩) = σ(1), hvilket klart er veldefineret. Så gælder p(e_{0}) = b_{0}. Vi noterer til senere brug, at der gælder ⟨σ⟩ = ⟨τ⟩ hvis σ og τ er kurvehomotope, da [στ^{−1}] = [ττ^{−1}] = [ϵ_{b_{0}}]. Desuden bemærker vi at der for stier σ, τ med ⟨σ⟩ = ⟨τ⟩ gælder ⟨σδ⟩ = ⟨τδ⟩, for enhver sti δ startende i σ(1). Vi har nemlig [σδ(τδ)^{−1}] = [σδδ^{−1}τ^{−1}] = [στ^{−1}] ∈ G.

Lad σ ∈ P, og lad U være en kurvesammenhængende åben omegn af σ(1). Definer 𝔅(U, σ) til at være mængden af ækvivalensklasser af formen ⟨σδ⟩, hvor δ er en sti i U startende i σ(1). Bemærk først at der for ⟨σ⟩ ∈ 𝔅(U, τ) gælder 𝔅(U, σ) = 𝔅(U, τ). Vi har ⟨σ⟩ = ⟨τδ⟩, hvor δ er en sti i U. For ⟨σα⟩ ∈ 𝔅(U, σ) gælder ifølge de indledende bemærkninger ⟨σα⟩ = ⟨τδα⟩ ∈ 𝔅(U, τ), da δα er en sti i U. Dermed gælder 𝔅(U, σ) ⊆ 𝔅(U, τ). Omvendt gælder ifølge de indledende bemærkninger at ⟨τ⟩ = ⟨τδδ^{−1}⟩ = ⟨σδ^{−1}⟩ ∈ 𝔅(U, σ), så 𝔅(U, τ) ⊆ 𝔅(U, σ). Vi viser at mængderne 𝔅(U, σ) udgør basis for en topologi på E. Vi har oplagt ⟨σ⟩ ∈ 𝔅(B, σ) idet ⟨σ⟩ = ⟨σϵ_{σ(1)}⟩. Antag nu ⟨ρ⟩ ∈ 𝔅(U, σ) ∩ 𝔅(V, τ). Vælg en kurvesammenhængende åben omegn W af ρ(1), så W ⊆ U ∩ V. Dermed ses af påstanden ovenfor at 𝔅(W, ρ) ⊆ 𝔅(U, ρ) ∩ 𝔅(V, ρ) = 𝔅(U, σ) ∩ 𝔅(V, τ). Desuden gælder at mængderne 𝔅(U, σ) bliver en omegnsbasis for ⟨σ⟩. En vilkårlig åben omegn af ⟨σ⟩ vil indeholde en basismængde af formen 𝔅(U, τ). Men denne er jo lig 𝔅(U, σ).

Vi viser nu at p er en overlejring. Det er let at se at p er kontinuert. Lad nemlig ⟨σ⟩ ∈ E, og lad U være en åben omegn af σ(1). Da B er lokalt kurvesammenhængende, kan vi antage at U er kurvesammenhængende. Så er 𝔅(U, σ) en åben omegn af ⟨σ⟩ og p(𝔅(U, σ)) = U. Heraf ses også at p er også åben. Lad b ∈ B. Da B er semilokalt enkeltsammenhængende og lokalt kurvesammenhængende, findes en kurvesammenhængende åben omegn U af b, så den af inklusionen i_{U,B} : U → B inducerede homomorfi, (i_{U,B})_{∗} : π_{1}(U, b) → π_{1}(B, b) er triviel. Vi viser at så er U jævnt overlejret af p. Først vises at p^{−1}(U) er foreningen af mængderne 𝔅(U, σ), hvor σ gennemløber stierne fra b_{0} til b. Den ene inklusion følger af at p(𝔅(U, σ)) = U. Hvis omvendt ⟨σ⟩ ∈ p^{−1}(U) kan vi vælge en sti δ i U fra σ(1) til b. Med τ = σδ gælder så [σ] = [σδδ^{−1}] = [τδ^{−1}], så ⟨σ⟩ = ⟨τδ^{−1}⟩ ∈ 𝔅(U, τ) ifølge de indledende bemærkninger. Da τ er en sti fra b_{0} til b fås den omvendte inklusion. Mængderne 𝔅(U, σ) er enten ens eller disjunkte. Hvis nemlig ρ ∈ 𝔅(U, σ)∩𝔅(U, τ) gælder 𝔅(U, σ) = 𝔅(U, ρ) = 𝔅(U, τ). Dermed kan p^{−1}(U) skrives som en dijunkt forening af åbne mængder. Disse bliver homeomorfe med U. Lad nemlig σ være en sti fra b_{0} til b. Vi ved allerede at p|_{𝔅(U,σ)} : 𝔅(U, σ) → U er en surjektiv, kontinuert og åben afbildning. Den er tillige injektiv, idet vi for stier δ_{1}, δ_{2} i U med p(⟨σδ_{1}⟩) = p(⟨σδ_{2}⟩) har δ_{1}(1) = δ_{2}(1), så vi kan betragte løkken δ_{1}δ_{2}^{−1} i U. Da enhver løkke i U er kurvehomotop i B til den konstante løkke ϵ_{b} fås [δ_{1}] = [δ_{2}]. Heraf ses ifølge de indledende bemærkninger at ⟨σδ_{1}⟩ = ⟨σδ_{2}⟩. Dermed er afbildningen bijektiv, åben og kontinuert og dermed en homeomorfi. Ialt ses at p er en overlejring.

Vi mangler nu at vise at E er kurvesammenhængende og at p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})) = G. Lad σ være en sti i B startende i b_{0}, og definer stien σ_{t} ved σ_{t}(s) = σ(st). Definer stien σ′ i E ved σ′(s) = ⟨σ_{s}⟩. Vi skal vise at dette giver en sti, dvs at σ′ bliver kontinuert. Lad s_{0} ∈ I, og betragt mængde 𝔅(U, σ_{s_{0}}) fra omegnsbasen for σ′(s_{0}) = ⟨σ_{s_{0}}⟩. Mængden U er altså en kurvesammenhængende åben omegn af σ_{s_{0}}(1) = σ(s_{0}). Da σ er kontinuert i s_{0}, findes en åben omegn V i I af s_{0} med σ(V) ⊆ U. Vi viser at σ′(V) ⊆ 𝔅(U, σ_{s_{0}}). Lad s ∈ V. Vi viser så at der findes en sti δ i U, så [σ_{s}] = [σ_{s_{0}}δ]. Hvis s > s_{0} sættes δ lig σ|_{[s_{0};s]} reparametriseret til I, og hvis s < s_{0} sættes δ lig σ^{−1}|_{[s;s_{0}]} reparametriseret til I. Dette giver en virkelig en sti i U, da σ(V) ⊆ U, og man kan let i hvert af de to tilfælde opskrive en kurvehomotopi mellem σ_{s} og σ_{s_{0}}δ. Dermed gælder ifølge de indledende bemærkninger at σ′(s) = ⟨σ_{s}⟩ = ⟨σ_{s_{0}}δ⟩ ∈ 𝔅(U, σ_{s_{0}}). Dermed er kontinuiteten af σ′ bevist. Stien σ′ starter i σ′(0) = ⟨σ_{0}⟩ = ⟨ϵ_{b_{0}}⟩ = e_{0}, slutter i σ′(1) = ⟨σ_{1}⟩ = ⟨σ⟩, og er et løft af σ idet p(σ′(s)) = σ_{s}(1) = σ(s). Dermed ses at E er kurvesammenhængende, thi hvis ⟨σ⟩ ∈ E, er σ′ en sti fra e_{0} til ⟨σ⟩. Lad først [σ] ∈ G. Der gælder ⟨σ⟩ = ⟨ϵ_{b_{0}}⟩ = e_{0}, idet [σϵ_{b_{0}}^{−1}] = [σ] ∈ G. Dermed er σ′ en løkke, dvs [σ′] ∈ π_{1}(E, e_{0}), da denne ender i ⟨σ⟩ = e_{0}. Desuden gælder p_{∗}([σ′]) = [p ∘ σ′] = [σ]. Dermed gælder inklusionen G ⊆ p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})). Lad endelig [σ̃] ∈ π_{1}(E, e_{0}) og sæt σ = p ∘ σ̃. Da er både σ̃ og σ′ løft af σ til stier i E startende i e_{0}, så σ̃ = σ′ ifølge entydighed af løft af stier. Derfor ender σ̃ i ⟨σ⟩, men da σ̃ er en løkke i E gælder ⟨σ⟩ = e_{0} = ⟨ϵ_{b_{0}}⟩. Dette betyder altså at [σ] = [σϵ_{b_{0}}^{−1}] ∈ G. Dermed gælder også p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})) ⊆ G, så vi er færdige. □

Korollar 4.30. Lad (B, b_{0}) være et kurvesammenhængende, lokalt kurvesammenhængende og semilokalt enkeltsammenhængende rum. Så har (B, b_{0}) et universelt overlejringsrum.

Bevis : Lad p : (E, e_{0}) → (B, b_{0}) være en kurvesammenhængende overlejring med p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})) = {0}. Da p_{∗} er injektiv fås π_{1}(E, e_{0}) = {0}, så E er enkeltsammenhængende. □

Eksempel 4.31. Sæt B = ∏_{ℕ} S^{1} være et uendeligt produkt af cirkler. Dette bliver et kurvesammenhængende og lokalt kurvesammenhængende rum. Det er dog ikke semilokalt enkeltsammenhængende. Hvis nemlig U er en vilkårlig basis mængde, må denne have formen U = U_{1} × U_{2} × ⋯ × U_{n} × S^{1} × ⋯, kan vi betragte løkken s ↦ (z_{1}, …, z_{n}, e^{2πis}, 1, …), hvor z_{1} ∈ U_{1}, …, z_{n} ∈ U_{n}. Denne er ikke kurvehomotop til en konstant løkke i B, idet vi så ville have at projektionen på n + 1’te koordinat, nemlig løkken s ↦ e^{2πis} så ville være kurvehomotop til en konstant løkke i S^{1}.

Bemærkning 4.32. Der er en nær analogi mellem teorien for overlejringer og Galoisteori. Analogien går ud på at lade overlejringer svare til udvidelseslegemer og lade gruppen af overlejringstransformationer, G, svare til gruppen af automorfier, Gal, af udvidelseslegemet, som fixer grundlegemet punktvis. Analogien kan sandsynliggøres ved at bemærke at hvis K er et dellegeme af L, så ligger en automorfi σ for L i Gal(L/K) netop hvis σ(k) = k for alle k ∈ K. Hvis i : K → L er inklusionen, kan dette også udtrykkes ved at følgende diagram kommuterer.

\xymatrix{L \ar[rr]^{σ} &  & L \\  & K \ar@{-->}[ul]^{i} \ar@{-->}[ur]_{i}}

Man kan faktisk vise at der gælder en analog sætning til Galoisteoriens hovedsætning, jvf Rotman [10, side 309]. Bemærk at hvis p : (E, e_{0}) → (B, b_{0}) er en universel overlejring gælder ifølge sætning 4.18, at G(E/B) ≃ π_{1}(B, b_{0}). Hvis basis rummet har en universel overlejring får man således en bijektiv korrespondance mellem undergrupper af fundamentalgruppen og en klasse af standardoverlejringer, der i en hvis forstand repræsenterer alle kurvesammenhængende overlejringer. En overlejring p : (E, e_{0}) → (B, b_{0}) siges at være regulær (normal ville nok være en bedre betegnelse), hvis p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})) er en normal undergruppe af π_{1}(B, b_{0}). Disse svarer til de normale udvidelser i Galoisteorien.

5. De højere homotopigrupper

En løkke i et rum X kan også opfattes som en afbildning S^{1} → X. Vi vil i dette afsnit indføre de højere homotopigrupper, som er en generalisering af fundamentalgruppen, hvor man i stedet for at betragte homotopiklasser af afbildninger S^{1} → X betragter afbildninger S^{n} → X. Disse vil ligesom fundamentalgruppen være homotopi invarianter, og giver os derfor et nyt algebraisk redskab.

Definition 5.1. Lad X og Y være topologiske rum. Hvis C ⊆ X er kompakt og U ⊆ Y er åben, sættes 𝔖(C, U) = {f|f ∈ C(X, Y) og f(C) ⊆ U}. Topologien på C(X, Y) frembragt af subbasen bestående af mængderne 𝔖(C, U), kaldes kompakt-åben topologien på C(X, Y).

Bemærkning 5.2. Hvis (Y, d) er et metrisk rum kan man vise at kompaktåben topologien stemmer overens med topologien ’uniform konvergens på kompakte delmængder’. Denne er givet ved subbasen bestående af mængder af formen 𝔓(f, C, ε) = {g ∈ C(X, Y)| sup {d(f(x), g(x))|x ∈ C} < ε}, hvor C ⊆ X er kompakt, f ∈ C(X, Y) og ε > 0. Hvis specielt X er kompakt, så er topologien givet ved metrikken d_{∞}(f, g) = sup{d(f(x), g(x))|x ∈ X}.

Sætning 5.3. Lad X være et lokalkompakt Hausdorff rum. Så er evalueringsafbildningen ev : C(X, Y) × X → Y givet ved ev(f, x) = f(x) er kontinuert.

Bevis : Lad (f, x) ∈ C(X, Y) × X, og lad V være en åben omegn af f(x). Da f er kontinuert findes en åben omegn U af x, så f(U) ⊆ V. Da X er lokalkompakt Hausdorff findes en åben omegn W af x, så \overline{W} er kompakt og \overline{W} ⊆ U. Mængden 𝔖(\overline{W} , V)×W er åben i C(X, Y)×X og indeholder (f, x) og ev(𝔖(\overline{W} , V) × W) ⊆ V. □

Definition 5.4. Vi vil i det følgende betragte løkkerummet Ω_{X,x_{0}} = Ω_{X_{0}} bestående af løkker i X startende og sluttende i x_{0}. Dette rum arver kompakt-åben topologien fra C(I, X).

Sætning 5.5. Lad X, Y og Z være topologiske rum, hvor X er lokalkompakt Hausdorff. En afbildning F : Z × X → Y er kontinuert netop hvis afbildningen F̂ : Z → C(X, Y) givet ved F̂(z)(x) = F (z, x) er kontinuert.

Bevis : Antag først at F̂ er kontinuert. Faktoriseringen

Z × X →^{F̂×id_{X}} C(X, Y) × X →^{ev} Y

(z, x) →^{F̂×id_{X}} (F̂(z), x) →^{ev} F̂(z)(x) = F (z, x)

viser at F er kontinuert. Antag nu at F er kontinuert. Lad z ∈ Z og 𝔖(C, U) være et subbasis element indeholdende F̂(z). For x ∈ C gælder F (z, x) = f(z)(x) ∈ U, så da F er kontinuert er F^{−1}(U) en åben mængde indeholdende strimlen {z} × C. Af tube lemmaet ses nu at der findes en åben omegn W af z, så W × C ⊆ F^{−1}(U). Altså gælder F̂(W) ⊆ 𝔖(C, U). □

Sætning 5.6. Løkkerne σ, τ ligger i samme kurvesammenhængskomponent af Ω_{X_{0}} netop hvis σ og τ er kurvehomotope.

Bevis : En sti f i Ω_{X_{0}} fra σ til τ svarer til en kurvehomotopi F mellem σ og τ givet ved F (s, t) = f(s)(t). Vi skal så vise at F er kontinuert netop hvis f er det, men dette følger af den foregående sætning. □

Korollar 5.7. π_{1}(X, x_{0}) er mængden af kurvesammenhængskomponenter af Ω_{X_{0}}.

Definition 5.8. Et H-rum er et topologisk rum (X, x_{0}) med en kontinuert multiplikation · : X × X → X for hvilken afbildningerne x ↦ x · x_{0} og x ↦ x_{0} · x er homotope til identitetsafbildningen id_{X} relativt til {x_{0}}.

Sætning 5.9. Løkkerummet Ω_{X_{0}} er et H-rum.

Bevis : Lad den konstante løkke ϵ_{x_{0}} være det udvalgte punkt. Vi viser først at multiplikationen givet ved sammensætning af løkker er kontinuert. Definer altså μ : Ω_{X_{0}} × Ω_{X_{0}} → Ω_{X_{0}} ved

μ(σ, τ)(s) = \{ \begin{matrix}σ(2s) & s∈ [0; \frac{1}{2}] \\ τ(2s − 1) & s∈ [\frac{1}{2}; 1] \end{matrix}

Bemærk at dette er veldefineret. Ifølge sætning 5.5 (anvendt med X = I, Y = X og Z = Ω_{X_{0}} × Ω_{X_{0}}) er det nok at vise afbilningen μ̌ : Ω_{X_{0}} × Ω_{X_{0}} × I → X er kontinuert. Af definitionen ses direkte at μ̌ er kontinuert på de afsluttede mængder Ω_{X_{0}} × Ω_{X_{0}} × [0; \frac{1}{2}] og Ω_{X_{0}} × Ω_{X_{0}} × [\frac{1}{2}; 1], og dermed på hele mængden Ω_{X_{0}} × Ω_{X_{0}} × I. Vi viser nu at multiplikation fra højre med ϵ_{x_{0}} er homotop til identiteten på X. Definer F : Ω_{X_{0}} × I → Ω_{X_{0}} ved

F (σ, t)(s) = \{ \begin{matrix}σ(\frac{2s}{t+1}) & s∈ [0; \frac{t+1}{2}] \\ x_{0} & s∈ [\frac{t+1}{2}; 1] \end{matrix}

Bemærk at dette er veldefineret og at ϵ_{x_{0}} holdes fast under homotopien. Ifølge sætning 5.5 (anvendt med X = I, Y = X og Z = Ω_{X_{0}} × I) er det nok at vise afbilningen F̌ : Ω_{X_{0}} × I × I → X er kontinuert. Definitionen giver direkte at F̌ er kontinuert på de to afsluttede mængder og dermed på hele Ω_{X_{0}} × I × I. Beviset for at multiplikation fra venstre med ϵ_{x_{0}} er tilsvarende. □

Sætning 5.10. Lad (X, x_{0}) være et H-rum. Så er π_{1}(X, x_{0}) abelsk.

Bevis : Definer kompositionen ⋄ i Ω_{X_{0}} ved (σ ⋄ τ)(s) = σ(s) · τ(s). Denne respekterer kurvehomotopiækvivalens. Lad nemlig σ og σ̃ være kurvehomotope og lad F være en kurvehomotopi. Lad tilsvarende τ og τ̃ være kurvehomotope og lad G være en kurvehomotopi. Da multiplikation i X er kontinuert er H = F · G en kontinuert kurvehomotopi mellem σ ⋄ τ og σ̃ ⋄ τ̃. Betegner ∼ kurvehomotopiækvivalens gælder altså

(σ⋄τ)(s) ∼ ((σϵ_{x_{0}})⋄(ϵ_{x_{0}}τ))(s) = (σϵ_{x_{0}})(s)·(ϵ_{x_{0}}τ)(s) = \{ \begin{matrix}σ(2s) · x_{0} & s∈ [0; \frac{1}{2}] \\ x_{0} · τ(2s − 1) & s∈ [\frac{1}{2}; 1] \end{matrix}

Da X er et H-rum findes homotopier F og G relativt til {x_{0}} mellem hhv. afbildningen x ↦ x_{0} · x og identiteten på X og afbildningen x ↦ x · x_{0} og identiteten på X. Så er H givet ved

H(s, t) = \{ \begin{matrix}σ(2s) · F (2s, t) & s∈ [0; \frac{1}{2}] \\ G(2s − 1, t) · τ(2s − 1) & s∈ [\frac{1}{2}; 1] \end{matrix}

en kurvehomotopi mellem løkken

s ↦ \{ \begin{matrix}σ(2s) · x_{0} & s∈ [0; \frac{1}{2}] \\ x_{0} · τ(2s − 1) & s∈ [\frac{1}{2}; 1] \end{matrix}

og στ. At H er veldefineret følger af at der for s = \frac{1}{2} gælder σ(1) · F (1, t) = x_{0} · x_{0} = G(1, t) · τ(1), da F og G holder x_{0} fast. Kontinuiteten af H følger af kontinuiteten af multiplikationen. Ved i stedet at bruge relationen (σ ⋄ τ)(s) ∼ ((ϵ_{x_{0}}σ) ⋄ (τϵ_{x_{0}}))(s) fås tilsvarende σ ⋄ τ ∼ τσ. Vi har altså στ ∼ τσ. □

Korollar 5.11. Fundamentalgruppen for en topologisk gruppe er abelsk.

Bevis : Lader vi neutralelementet e være det udvalgte punkt er afbildningerne x ↦ e · x og x ↦ x · e faktisk lig identiteten. □

Sætning 5.12. Lad p : E → B være en kurvesammenhængende overlejring med p(e_{0}) = b_{0}, hvor B er lokalt kurvesammenhængende. Hvis (B, b_{0}) er et H-rum, kan (E, e_{0}) på entydig måde gøres til et H-rum, så p bliver en homomorfi. Hvis (B, b_{0}) er en topologisk gruppe, kan (E, e_{0}) på entydig måde gøres til et topologisk gruppe.

Bevis : Antag først at (B, b_{0}) er et H-rum. Lad μ : B × B → B være multiplikationen. Vi vil løfte denne til en multiplikation μ′ i E.

\xymatrix{(E × E, (e_{0}, e_{0})) \ar[r]^{μ′} \ar[d]_{p×p} & (E, e_{0}) \ar[d]^{p} \\ (B × B, (b_{0}, b_{0})) \ar[r]^{μ} & (B, b_{0})}

Vi vil bruge den generelle sætning om løft, og bemærker først at E × E er kurvesammenhængende. Vi skal så vise at der gælder

μ_{∗} ∘ (p × p)_{∗}(π_{1}(E × E, (e_{0}, e_{0}))) ⊆ p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})).

Idet π_{1}(E × E, (e_{0}, e_{0})) ≃ π_{1}(E, e_{0}) × π_{1}(E, e_{0}) kan vi identificere μ med en afbildning p_{∗}(π_{1}(E, e_{0}))×p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})) → p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})). Dette betyder altså at vi skal vise at der for [σ], [τ] ∈ p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})) gælder [σ⋄τ] ∈ p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})). Men fra beviset for sætning 5.10 ved vi at [σ ⋄ τ] = [στ], så påstanden følger af at p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})) er en gruppe. Dermed kan multiplikationen i B entydigt løftes til en multiplikation μ′ i E med μ′(e_{0}, e_{0}) = e_{0}. Idet diagrammet kommuterer bliver p en homomorfi, og multiplikationen bliver entydig idet diagrammet skal kommutere hvis p skal være en homomorfi. Vi skal nu vise at (E, e_{0}) bliver et H-rum. Lad F : B × I → B være en homotopi mellem identiteten id_{B} og afbildningen b ↦ μ(b, b_{0}), der holder b_{0} fast. Idet identiteten id_{E} løfter p : (E, e_{0}) → (B, e_{0}) til (E, e_{0}) kan vi ifølge sætning 3.19 ligeledes løfte homotopien F ∘(p×id_{I}) : E ×I → B til en homotopi F′ : E ×I → E med F′(e, 0) = e for alle e ∈ E. Stierne s ↦ F′(e_{0}, s) og den konstante sti ϵ_{e_{0}} er begge løft af den konstante sti ϵ_{b_{0}} startende i e_{0}, idet vi har p ∘ F′(e_{0}, s) = F (b_{0}, s) = b_{0}, idet b_{0} holdes fast under homotopien F. Dermed holder F′ altså e_{0} fast på grund af entydighed af løft af stier. Afbildningerne e ↦ F′(e, 1) og e ↦ μ′(e, e_{0}) begge er løft af afbildningen e ↦ μ(p(e), b_{0}), idet p ∘ F′(e, 1) = F (p(e), 1) = μ(p(e), b_{0}). Da F′ holder e_{0} fast stemmer de overens i punktet e_{0}, så af entydighed af generelle løft ses at de er ens. Altså er F′ en homotopi mellem identiteten id_{E} og afbildningen e ↦ μ′(e, e_{0}) relativt til e_{0}. Tilsvarende ses at identiteten id_{E} er homotop til afbildningen e ↦ μ′(e_{0}, e) relativt til e_{0}, så (E, e_{0}) er et H-rum. Antag nu at (B, b_{0}) er en topologisk gruppe. Vi har så en multiplikation μ′ på E ifølge den første del af beviset. e_{0} bliver neutralt element, idet afbildningerne id_{E}, e ↦ μ′(e, e_{0}) og e ↦ μ′(e_{0}, e) alle er løft af p, som stemmer overens i e_{0} idet μ′(e_{0}, e_{0}) = e_{0}. Entydighed af løft giver så at e · e_{0} = e_{0} · e = e. Multiplikationen bliver også associativ.

\xymatrix{E × E × E \ar[r] \ar[d]_{p×p×p} & E \ar[d]^{p} \\ B × B × B \ar[r] & B}

Afbildningerne (e_{1}, e_{2}, e_{3}) ↦ (e_{1} · e_{2}) · e_{3} og (e_{1}, e_{2}, e_{3}) ↦ e_{1} · (e_{2} · e_{3}) er nemlig begge løft af afbildningen (e_{1}, e_{2}, e_{3}) ↦ p(e_{1}) · p(e_{2}) · p(e_{3}) idet multiplikationen i B er associativ. Idet de stemmer overens i punktet (e_{0}, e_{0}, e_{0}) fås det ønskede så af entydigheden af løft. Hvis σ er en løkke i B startende i b_{0} defineres σ̄ : I × B ved σ̄(s) = σ(s)^{−1}. Dette er en løkke i B startende i b_{0}, idet b_{0}^{−1} = b_{0}. Vi har nu [σ̄][σ] = [σ̄] ⋄ [σ] = [σ̄ ⋄ σ] = [ϵ_{b_{0}}] og derfor [σ̄] = [σ]^{−1}. Vi ønsker at løfte afbildningen inv_{B} : b ↦ b^{−1} til en invers afbildning i E. Vi skal altså vise at (inv_{B})_{∗} ∘ p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})) ⊆ p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})), dvs at der for [σ] ∈ p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})) gælder [σ̄] ∈ p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})). Men dette følger af at p_{∗}(π_{1}(E, e_{0})) er en gruppe og at [σ̄] = [σ]^{−1}. Vi kan altså finde en afbildning inv_{E} : E → E, med inv_{E}(e_{0}) = e_{0} og p(inv_{E}(e)) = p(e)^{−1}, idet p(e_{0})^{−1} = b_{0} = p(e_{0}). Idet e ↦ e_{0}, e ↦ e · inv_{E}(e), og e ↦ inv_{E}(e) · e alle er løft af p : E → B til E, der stemmer overens i e_{0} fås e·inv_{E}(e) = inv_{E}(e)·e = e_{0}, så inv_{E}(e) bliver en invers til e. Dermed bliver E en topologisk gruppe. □

Definition 5.13. Lad (X, x_{0}) være et topologisk rum. De højere homotopigrupper for (X, x_{0}) defineres induktivt ved π_{n}(X, x_{0}) = π_{n−1}(Ω_{X_{0}}, ϵ_{x_{0}}) for n ≥ 2. Ved induktion eftervises så let at der faktisk gælder π_{n}(X, x_{0}) = π_{n−k}(Ω^{k}(X, x_{0})), 1 ≤ k ≤ n − 1, hvor basispunktet er underforstået.

Bemærkning 5.14. Ifølge korollar 5.7 gælder dette også, dog kun betragtet som mængder, for n = 1.

Korollar 5.15. π_{n}(X, x_{0}) er abelsk for n ≥ 2.

Bemærkning 5.16. Hvis f ∈ Ω_{Ω_{X,x_{0}},ϵ_{x_{0}}} kan vi definere f̃ : I^{2} → X ved f̃(s, t) = f(s)(t). Ifølge sætning 5.5 bliver f̃ kontinuert og f̃(∂I^{2}) = {x_{0}} idet f(s)(0) = f(s)(1) = x_{0} da f(s) ∈ Ω_{X_{0}} og f(0)(t) = f(1)(t) = ϵ_{x_{0}}(t) = x_{0}. Hvis omvendt f̃ : I^{2} → X med f̃(∂I^{2}) = {x_{0}}, så definerer f(s)(t) = f̃(s, t) et element i Ω_{Ω_{X,x_{0}},ϵ_{x_{0}}} . Vi har desuden for f, g ∈ Ω_{Ω_{X,x_{0}},ϵ_{x_{0}}} at f og g er kurvehomotope netop hvis f̃ og g̃ er homotope relativt til ∂I^{2}. Kontinuiteten af de passende homotopier følger ved som sædvanlig ved brug af sætning 5.5. Disse betragtninger kan ved induktion udvides til at gælde for alle n. Vi får altså en fortolkning af π_{n} som mængden af homotopiklasser af afbildninger f̃ : I^{n} → X så f̃(∂I^{n}) = x_{0}. En anden tolkning af de højere homotopigrupper fås ved at indføre en ækvivalensrelation på I^{n} ved at definere a ∼ b netop hvis a = b eller a, b ∈ ∂I^{n}. Tages kvotientrummet I^{n}/ ∼ under denne ækvivalensrelation fås S^{n}. Vi kan altså tolke π_{n} som homotopiklasser af afbildninger f : (S^{n}, s_{0}) → (X, x_{0}), hvor s_{0} er et udvalgt punkt i S^{n}. I dette tilfælde genbruges notationen ϵ_{x_{0}} : S^{n} → X for den konstante afbildning s ↦ x_{0}.

Sætning 5.17. π_{n} er en funktor fra kategorien af topologiske rum med udvalgt punkt til kategorien af grupper (abelske for n ≥ 2).

Bevis : Givet en afbildning f : (X, x_{0}) → (X′, x′_{0}). Definer nu en afbildning Ω(f) : (Ω_{X_{0}}, ϵ_{x_{0}}) → (Ω_{X′_{0}}, ϵ_{x′_{0}}) ved Ω(f)(σ) = f ∘σ. Så er Ω(f) kontinuert på grund af sætning 5.5 idet afbildningen Ω̌(f)(σ, t) : Ω_{X_{0}} × I → X′ givet ved Ω̌(f)(σ, t) = f(σ(t)) er kontinuert, da Ω̌(f) = f∘ev. Så vil Ω være en funktor fra kategorien af topologiske rum med udvalgt punkt som objekter og kontinuerte afbildninger som morfier, ind i sig selv. Vi har nemlig Ω(id_{X})(σ) = id_{X} ∘σ = id_{Ω_{X_{0}}} (σ) og Ω(f ∘ g)(σ) = f ∘ (g ∘ σ) = Ω(f) ∘ Ω(g)(σ). Ved induktion kan vi altså definere en afbildning (f_{∗})_{n} : π_{n}(X, x_{0}) → (X′, x′_{0}) ved at sætte (f_{∗})_{n} = (Ω(f)_{∗})_{n−1} for n ≥ 2. Der vil så selvfølgelig gælde (f_{∗})_{n} = (Ω^{k}(f)_{∗})_{n−k}. Vi ved at (f_{∗})_{1} = f_{∗} er en homomorfi, så ved induktion fås at også (f_{∗})_{n} er en homomorfi idet

(f_{∗})_{n}([η][ζ]) = (Ω(f)_{∗})_{n−1}([η])(Ω(f)_{∗})_{n−1}([ζ]) = (f_{∗})_{n}([η])(f_{∗})_{n}([ζ]).

Desuden ses let ved induktion at der gælder (id_{X}_{∗})_{n} = id_{π_{n}(X,x_{0})} og ((f ∘ g)_{∗})_{n} = (f_{∗})_{n} ∘ (g_{∗})_{n}, idet Ω er en funktor. □

Sætning 5.18. Hvis f, g : (X, x_{0}) → (X′, x′_{0}) er homotope relativt til x_{0}, så gælder (f_{∗})_{n} = (g_{∗})_{n} for alle n.

Bevis : Påstanden gælder for n = 1 ifølge sætning 2.18. Vi viser nu at Ω(f), Ω(g) : (Ω_{X_{0}}, ϵ_{x_{0}}) → (Ω_{X′_{0}}, ϵ_{x′_{0}}) er homotope relativt til ϵ_{x_{0}}, hvoraf påstanden så følger ved induktion udfra definitionen (f_{∗})_{n} = (Ω(f)_{∗})_{n−1} for n ≥ 2. Lad F : X × I → X′ være en homotopi, der holder x_{0} fast. Definer F̃ : Ω_{X_{0}} × I → Ω_{X′_{0}} ved F̃(σ, t)(s) = F (σ(s), t). Så er F̃ kontinuert ifølge

sætning 5.5, idet afbildningen ˇ F̃ (σ, t, s) = F (ev(σ, s), t) er kontinuert. Man ser desuden let at F̃ virkelig er en homotopi mellem Ω(f) og Ω(g), der holder ϵ_{x_{0}} fast. □

Korollar 5.19. Lad f : (X, x_{0}) → (Y, y_{0}). Hvis f er en homotopi ækvivalens hvor homotopierne fastholder basispunkterne, så er (f_{∗})_{n} : π_{n}(X, x_{0}) → π_{n}(Y, y_{0}) en isomorfi.

Bevis : Vi ved at f ∘ g er homotop til identitetsafbildningen id_{Y} relativt til y_{0}. Sætningen siger så at (f_{∗})_{n} ∘ (g_{∗})_{n} = id_{π_{n}(Y,y_{0})}, så (f_{∗})_{n} er surjektiv. Tilsvarende ses injektiviteten. □

Bemærkning 5.20. Påstanden gælder også i det tilfælde hvor basispunkterne ikke holdes fast, idet man kan vise at der gælder en generalisering af sætning 2.18. Beviset er dog mere kompliceret, se Rotman [10, side 341]. Her vises også at en sti fra x_{0} til x_{1} i rummet X inducerer en isomorfi π_{n}(X, x_{0}) ≃ π_{n}(X, x_{1}) mellem homotopigrupperne. Heraf ses specielt at der for kurvesammenhængende rum gælder, at homotopigrupperne er uafhængige af valg af basispunkt op til isomorfi.

Definition 5.21. Et rum X siges at være kontraktibelt hvis identiteten id_{X} er homotop til en konstant afbildning x ↦ x_{0}.

Lemma 5.22. For et vilkårligt rum X og en afbildning f : S^{n} → X er følgende betingelser ensbetydende

(1) f er homotop til en konstant afbildning.

(2) f kan udvides til en kontinuert afbildning fra D^{n+1} til X.

(3) For et s_{0} ∈ S^{n} er f homotop til den konstante afbildning s ↦ f(s_{0}) relativt til s_{0}.

Bevis : (1) ⇒ (2). Antag at F : S^{n} × I er en homotopi mellem f og en konstant afbildning c : s ↦ x_{0}. Definer g : D^{n+1} → X ved

g(s) = \{ \begin{matrix}x_{0} & for 0 ≤ ∥s∥ ≤ \frac{1}{2} \\ F (\frac{s}{∥s∥}, 2 − 2∥s∥) & for \frac{1}{2} ≤ ∥s∥ ≤ 1 \end{matrix}

Dette er veldefineret da vi for ∥s∥ = \frac{1}{2} har F (\frac{s}{∥s∥}, 2 − 2∥s∥) = c(\frac{s}{∥s∥}) = x_{0}. Kontinuiteten følger nu af at g er kontinuert på hvert af de afsluttede mængder. Afbildningen g udvider f idet vi for s ∈ S^{n} har g(s) = F (\frac{s}{1}, 2 − 2 · 1) = f(s).

(2) ⇒ (3). Lad s_{0} ∈ S^{n} Lad g : D^{n+1} → X være en udvidelse af f, og definer F : S^{n} × I → X ved F (s, t) = g((1 − t)s + ts_{0}). Det er klart at F er kontinuert og der gælder F (s, 0) = g(s) = f(s), F (s, 1) = g(s_{0}) = f(s_{0}) og F (s_{0}, t) = g(s_{0}) = f(s_{0}).

(3) ⇒ (1). Trivielt. □

Sætning 5.23. Hvis X er kontraktibelt og x_{0} ∈ X er vilkårlig gælder π_{n}(X, x_{0}) = {0} for alle n.

Bevis : Antag at F : X × I → X er en homotopi mellem identiteten id_{X} og en konstant afbildning x ↦ x_{1}. Lad f : (S^{n}, s_{0}) → (X, x_{0}) være vilkårlig. Da vil F̃ : S^{n} × I → X givet ved F̃(s, t) = F (f(s), t) være en homotopi mellem f og den konstante afbildning s ↦ x_{1}. Af lemmaet følger nu at f er homotop til den konstante afbildning s ↦ f(s_{0}) = x_{0} relativt til s_{0}. Dermed er alle afbildninger f : (S^{n}, s_{0}) → (X, x_{0}) homotope, så π_{n}(X, x_{0}) er triviel. □

Bemærkning 5.24. Enhver stjerneformet delmængde X af et topologisk vektorrum over ℝ eller ℂ har trivielle homotopigrupper, da den er kontraktibel. Vi kan nemlig definere homotopien F (x, t) = (1 − t)x + tx_{0} mellem identiteten id_{X} og den konstante afbildning x ↦ x_{0}, hvor x_{0} er et punkt, som X er stjerneformet om.

Sætning 5.25. π_{n}(X × Y, (x_{0}, y_{0})) ≃ π_{n}(X, x_{0}) × π_{n}(Y, y_{0}).

Bemærkning 5.26. Dette gælder også for n = 0, hvor isomorfien blot er en bijektion mellem mængder med udvalgte punkter. Punktparret (x, y) kan nemlig forbindes til punktparret (x′, y′), netop hvis x kan forbindes til x′ og y kan forbindes til y′.

Bevis : Vi bruger fortolkningen af π_{n} som homotopiækvivalensklasser af afbildninger fra (S^{n}, s_{0}). Beviset er en lille modifikation af beviset for påstanden i tilfældet n = 1, sætning 2.17. Lad p og q være projektionerne af X ×Y på hhv X og Y. Da disse er kontinuerte induceres gruppehomomorfier (p_{∗})_{n} og (q_{∗})_{n}. Definer

Ψ : π_{n}(X ×Y, (x_{0}, y_{0})) → π_{n}(X, x_{0})×π_{n}(Y, y_{0}), Ψ([θ]) = ((p_{∗})_{n}([θ], (q_{∗})_{n}([θ])

Dette er en isomorfi. Det er klart at Ψ er en homomorfi, da (p_{∗})_{n} og (q_{∗})_{n} er homomorfier.

Ψ er surjektiv : Lad ([η], [ζ]) ∈ π_{n}(X, x_{0})×π_{n}(Y, y_{0}). Lad θ(s) = (η(s), ζ(s)). Så gælder [θ] ∈ π_{n}(X × Y, (x_{0}, y_{0})) og Ψ([θ]) = ([η], [ζ]), som ønsket. Ψ er injektiv : Lad [θ] ∈ ker(Ψ), dvs [p ∘ θ] = [ϵ_{x_{0}}] og [q ∘ θ] = [ϵ_{y_{0}}]. Der findes altså en homotopi F mellem p∘θ og ϵ_{x_{0}} og en homotopi G mellem q∘θ og ϵ_{y_{0}}, begge relativt til s_{0}. Da er H(s, t) = (F (s, t), G(s, t)) en homotopi mellem θ og ϵ_{(x_{0},y_{0})} relativt til s_{0}. □

Sætning 5.27. Hvis p : E → B er en overlejring med p(e_{0}) = b_{0} er (p_{∗})_{n} : π_{n}(E, e_{0}) → π_{n}(B, b_{0}) en isomorfi for n ≥ 2.

Bevis : Vi ved at (p_{∗})_{n} er en homomorfi. Vi benytter tolkningen af π_{n} som homotopiækvivalensklasser af afbildninger fra (S^{n}, s_{0}). Lad [η] ∈ π_{n}(B, b_{0}). Da S^{n} er enkeltsammenhængende kan vi løfte η til en afbildning η′ : (S^{n}, s_{0}) → (E, e_{0}). Vi har så (p_{∗})_{n}([η′]) = [η]. Antag (p_{∗})_{n}([η]) = (p_{∗})_{n}([ζ]), og lad F : S^{n} × I → B være en homotopi mellem p(η) og p(ζ), som holder s_{0} fast. Da η og ζ er løft af p(η) og p(ζ) kan vi på grund af sætning 3.19 løfte homotopien F til en homotopi F′. På grund af entydighed af løft må F′ være en homotopi mellem η og ζ. Denne holder s_{0} fast idet vi har F′({s_{0}} × I) ∈ p^{−1}(b_{0}) da F ({s_{0}} × I) = {b_{0}}. Da F′({s_{0}} × I) er sammenhængende og fiberen p^{−1}(b_{0}) er diskret, F′({s_{0}}×I) er en et-punkts mængde. Vi får altså [η] = [ζ]. □

Korollar 5.28. π_{n}(S^{1}) = {0} for n ≥ 2.

Bevis : Vi ved at afbildningen p : ℝ → S^{1} givet ved p(x) = e^{2πix} er en overlejring. Da ℝ er kontraktibel fås det ønskede af den forrige sætning. □

Bemærkning 5.29. Man kan vise at der til en vilkårlig følge G_{1}, G_{2}, … af grupper, hvor G_{n} er abelsk for n ≥ 2, findes et topologisk rum (X, x_{0}), så π_{n}(X, x_{0}) = G_{n} for alle n, se fx Spanier [11, side 426]. Disse realiseres ved hjælp af såkaldte CW-komplekser, der løst sagt opnås ved succesivt af påklistre celler (der er homeomorfe kopier af åbne kugler) i højere og højere dimensioner.

6. Produkter af overlejringer

I dette afsnit indfører vi en slags produkt af overlejringer. Disse har dog desværre ikke så pæne egenskaber, fx vil produktet af to kurvesammenhængende overlejringer ikke nødvendigvis være kurvesammenhængende. Resultaterne har derfor en mere perifer karakter og danner derfor ikke som de andre en færdig teori. Afsnittet skal opfattes som en undersøgelse af nye veje, man eventuelt kunne gå, og har defor en mere løs struktur.

Definition 6.1. Givet en overlejring p : E → B og en kontinuert afbildning f : A → B. Definer f^{∗}(E) = {(a, e) ∈ A × E|p(e) = f(a)} og lad q_{E} og q_{A} være projektionerne på hhv E og A. Da kaldes q_{A} : f^{∗}(E) → A et pull-back af p : E → B langs f.

\xymatrix{f^{∗}(E) \ar[r]^{q_{E}} \ar[d]_{q_{A}} & E \ar[d]^{p} \\ A \ar[r]_{f} & B}

Bemærk at pull-back’et netop er konstrueret så diagrammet kommuterer.

\xymatrix{Y \ar[drr]^{g} \ar[ddr]_{h} \ar@{-->}[dr]^{υ} \\  & f^{∗}(E) \ar[r]^{q_{E}} \ar[d]_{q_{A}} & E \ar[d]^{p} \\  & A \ar[r]_{f} & B}

Hvis Y er en vilkårlig mængde og g : Y → E og h : Y → A er afbildninger så p ∘ g = f ∘ h, så findes en entydig bestemt afbildning υ : Y → f^{∗}(E), så diagrammet kommuterer.

Sætning 6.2. Pull-back’et q_{A} : f^{∗}(E) → A af p : E → B langs f er en overlejring, og fiberen over et punkt a har samme kardinalitet som fiberen over punktet f(a).

Bevis : Lad a ∈ A, og vælge en jævnt overlejret omegn U af f(a), og lad (V_{α}) være en lagdeling af p^{−1}(U). Sæt W = f^{−1}(U). Så er W en åben omegn af a og der gælder

q_{A}^{−1}(W) = {(a, e) ∈ f^{∗}(E)|q_{A}(a, e) ∈ W }
= {(a, e) ∈ f^{∗}(E)|q(e) = f(a) ∈ U}
= f^{∗}(E) ∩ (f^{−1}(U) × p^{−1}(U))
= ⋃_{α}(f^{∗}(E) ∩ (W × V_{α}))

Mængderne Z_{α} = f^{∗}(E)∩(W ×V_{α}) er altså åbne og disjunkte, og q_{A}|_{Z_{α}} er en homeomorfi idet den inverse er givet ved (q_{A}|_{Z_{α}})^{−1}(x) = (x, (p|_{V_{α}})^{−1}(f(x))). Det er klart at denne afbildning afbilder ind i f^{∗}(E), og at den er højreinvers til q_{A}|_{Z_{α}}. At q_{A}|_{Z_{α}} er injektiv følger af der for (x, e), (x, e′) ∈ Z_{α} gælder e, e′ ∈ V_{α} og p(e) = f(x) = p(e′), så da p|_{V_{α}} er injektiv fås e = e′. Det er desuden klart at både q_{A}|_{Z_{α}} og (q_{A}|_{Z_{α}})^{−1} er kontinuerte. At fibrene har samme kardinalitet ses af at de begge er indekseret ved α. □

Definition 6.3. Lad p_{1} : E_{1} → B og p_{2} : E_{2} → B være overlejringer. Afbildningen p_{1} × p_{2} : E_{1} × E_{2} → B × B er en overlejring ifølge eksempel 3.13, og diagonalafbildningen Δ : B → B × B er kontinuert. Vi definerer produktoverlejringen E_{1} ⊙ E_{2} af B som pull-back’et af p_{1} × p_{2} : E_{1} × E_{2} → B × B langs Δ.

\xymatrix{E_{1} ⊙ E_{2} \ar[d]_{q_{B}} & E_{1} × E_{2} \ar[d]^{p_{1}×p_{2}} \\ B \ar[r]_{Δ} & B × B}

Bemærkning 6.4. En anden mulighed at definere en produktoverlejring er følgende. Tag pull-back’et af p_{1} : E_{1} → B langs p_{2}. Det er ikke på forhånd klart at dette kan give en overlejring af B ved sammensætning med p_{1} ∘ q_{E_{1}}, idet overlejringen p_{1} : E_{1} → B kan være uendelig. Elementerne i dette pullback har dog formen (e_{1}, e_{2}) hvor p_{1}(e_{1}) = p_{2}(e_{2}). I det tidligere definerede produkt har elementerne formen (b, (e_{1}, e_{2})) hvor b = p_{1}(e_{1}) = p_{2}(e_{2}). Vi kan således lave en homeomorfi φ fra det gamle pull-back til det nye ved at sætte φ(b, (e_{1}, e_{2})) = (e_{1}, e_{2}). Så gælder (p_{1} ∘ q_{E_{1}}) ∘ φ = q_{B}, således at det nye pull-back er en overlejring af B ækvivalent med det gamle. I det følgende vil vi reserve betegnelsen E_{1} ⊙E_{2} til det nye pull-back, og vi sætter p_{1} ⊙ p_{2} = p_{1} ∘ q_{E}.

\xymatrix{E_{1} ⊙ E_{2} \ar@{-->}[dr]^{p_{1}⊙p_{2}} & E_{2} \ar[d]^{p_{2}} \\ E_{1} \ar[r]_{p_{1}} & B}

Antallet af lag i E_{1} ⊙ E_{2} er lig produktet af antal lag i hver af overlejringerne. Dette ses (fx) direkte af definitionen idet elementerne i fiberen over et punkt b ∈ B jo har formen (e_{1}, e_{2}) hvor p_{1}(e_{1}) = p_{2}(e_{2}) = b.

Eksempel 6.5. Vi betragter produktet af to overlejringer af S^{1} ind i S^{1} givet ved z ↦ z^{n} og z ↦ z^{m}, hvor n, m ∈ ℕ. Vi viser at denne består af d = sfd(n, m) kurvesammenhængskomponenter. Dermed bliver produktoverlejringen generelt ikke kurvesammenhængende. Elementerne i produktet består af punktpar (z, w) ∈ S^{1} × S^{1} med z^{n} = w^{m}. For at bestemme kurvesammenhængskomponenterne i produktet er det nok at bestemme antallet af punkter i fiberen over et vilkårligt punkt, fx 1 = e^{2πi0}, som ligger i samme kurvesammenhængskomponent. Vi kan nemlig forbinde et vilkårligt punkt i S^{1} ⊙ S^{1} med et punkt i fiberen. Antag nemlig (z, w) ∈ S^{1} ⊙ S^{1}, så findes en sti i S^{1}, som forbinder z^{n} = w^{m} og 1 = e^{2πi0}. Løftes denne sti til en sti startende i (z, w) bliver endepunktet klart et punkt i fiberen. Punkterne i denne fiber består af punkter af formen (e^{2πik/n}, e^{2πil/m}). Antag først at punkterne (e^{2πik/n}, e^{2πil/m}) og (e^{2πip/n}, e^{2πiq/m}) kan forbindes med en sti i σ S^{1} ⊙ S^{1}. Anvendes produktoverlejrings afbildningen fås altså en løkke i S^{1}. Da fundamentalgruppen for S^{1} er (ℤ, +) må denne løkke være homotop til en løkke τ af formen s ↦ e^{2πish}. Da løft af ækvivalensklasser af stier er veldefineret får vi at σ bliver kurve homotop til løftet af τ startende i (e^{2πik/n}, e^{2πil/m}). Eftersom stien s ↦ (e^{2πi(k+sh)/n}, e^{2πi(l+sh)/m}) er et løft af τ startende i (e^{2πik/n}, e^{2πil/m}) fås denne bliver kurvehomotop til σ. Dermed ender de specielt i samme punkt, fås k + h − p ∈ nℤ og l + h − q ∈ mℤ. Hvis omvendt der findes et sådant h ∈ ℤ ses at stien s ↦ (e^{2πi(k+sh)/n}, e^{2πi(l+sh)/m}) er en sti i S^{1} ⊙ S^{1}, der forbinder (e^{2πik/n}, e^{2πil/m}) og (e^{2πip/n}, e^{2πiq/m}). Vores krav er altså at der skal eksistere en løsning til kongruenserne h ≡ p − k (mod n) og h ≡ q − l (mod m). Det er klart at dette medfører at p−k ≡ q−l (mod d). Antag omvendt at dette er tilfældet. Vi kan finde A, B ∈ ℤ så d = An+Bm. Sæt nu h = An· \frac{(q−l)−(p−k)}{d} +(p−k). Så gælder h ≡ p − k (mod n) og h ≡ q − l (mod m) idet An ≡ d (mod m). Antallet af punkter i fiberen, som kan forbindes til (e^{2πik/n}, e^{2πil/m}) er derfor nm/d, idet kravet til p og q kan skrives p − q ≡ k − l (mod d). Dermed er antallet af kurvesammenhængskomponenter lig d. Produktoverlejringen bliver altså ækvivalent med d kopier af nm/d-folds overlejringen, z ↦ z^{nm/d}, jævnfør eksempel 4.13.

Lemma 6.6. Lad p_{1} : E_{1} → B og p′_{1} : E′_{1} → B være ækvivalente overlejringer og lad p_{2} : E_{2} → B og p′_{2} : E′_{2} → B være ækvivalente overlejringer. Så er overlejringerne p_{1} ⊙ p_{2} : E_{1} ⊙ E_{2} → B og p′_{1} ⊙ p′_{2} : E′_{1} ⊙ E′_{2} → B ækvivalente.

Bevis : Lad φ_{1} og φ_{2} være de respektive overlejringsækvivalenser. Da er φ_{1} × φ_{2} en overlejringsækvivalens mellem E_{1} ⊙ E_{2} og E′_{1} ⊙ E′_{2}. □

Sætning 6.7. Hvis man identificerer ækvivalente overlejringer er det indførte produkt kommutativt og associativt.

Bevis : Lemmaet gør det muligt at tale om produkt af ækvivalensklasser af overlejringer, og viser at vi kan regne med repræsentanter. Lad p_{i} : E_{i} → B, i = 1, 2, 3 være overlejringer. Da afbildningerne (e_{1}, e_{2}) ↦ (e_{2}, e_{1}) fra E_{1} ⊙ E_{2} til E_{2} ⊙ E_{1} og (e_{1}, (e_{2}, e_{3})) ↦ ((e_{1}, e_{2}), e_{3}) fra E_{1} ⊙ (E_{2} ⊙ E_{3}) (E_{1} ⊙ E_{2}) ⊙ E_{3} er overlejringsækvivalenser. □

Bemærkning 6.8. Vi har nu defineret et produkt mellem ækvivalensklasser af overlejringer. Ækvivalensklassen [B] hørende til den identiske overlejring id_{B} : B → B er det neutrale element. Det er dog ikke muligt at lave en gruppestruktur på mængden af ækvivalensklasser af overlejringer med denne definition, idet vi ikke har inverse elementer. Det er heller så interessant at indføre en sum af to overlejringer p_{1} : E_{1} → B og p_{2} : E_{2} → B som afbildningen p_{1} ⊕ p_{2} : E_{1} ⨿ E_{2} → B. Dette ville godt nok blive en overlejring, og går vi over til ækvivalensklasser, er det også let at se, at ⊕ bliver kommutativ og associativ, og at ⊙ bliver distributiv over ⊕, men vi får ikke engang et nulelement og dermed heller ingen inverse.

Definition 6.9. Lad p : E → B være en afbildning, og lad X være et vilkårligt rum. Så siges p at have homotopi løfte egenskaben med hensyn til X, hvis der for givne kontinuerte afbildninger f : X → B og F : X × I → B med F (x, 0) = f(x), hvor f har et løft f′ : X → E, gælder at F har et løft F′ : X ×I → E med F′(x, 0) = f′(x). Hvis p har homotopi løfte egenskaben med hensyn til et vilkårligt rum, så siges p at være en fibrering.

Bemærkning 6.10. Sætning 3.19 viser at enhver overlejring er en fibrering. En af forskellene på fibreringer og overlejringer er at fibrene ikke nødvendigvis har den diskrete topologi. Desuden gælder der at sammensætninger af fibreringer igen giver en fibrering.

Definition 6.11. En følge af afbildninger

[figure: (M_{i+1}, x_{i+1}); φ_{i+1}; (M_{i}, x_{i}); φ_{i}]

mellem mængder med udvalgte punkter, siges at være eksakt hvis der gælder ker(φ_{i}) = im(φ_{i+1}), hvor kernen betegner mængden af punkter, som afbildes i det udvalgte punkt.

Lemma 6.12 (Barratt-Whitehead). Lad R være en kommutativ ring med 1-element. Givet et diagram af R-moduler og homomorfier i hvilket alle kvadrater kommuterer, rækkerne er eksakte og afbildningerne γ_{i} er isomorfier.

[figure: C_{i+1}; h_{i+1}; γ_{i+1}; ≃; A_{i}; f_{i}; α_{i}; B_{i}; g_{i}; β_{i}; C_{i}; h_{i}; γ_{i}; ≃; A_{i−1}; f_{i−1}; α_{i−1}; C′_{i+1}; h′_{i+1}; A′_{i}; f′_{i}; B′_{i}; g′_{i}; C′_{i}; h′_{i}; A′_{i−1}; f′_{i−1}]

Så findes en lang eksakt følge

[figure: A_{i}; Φ_{i}; A′_{i} ⊕ B_{i}; Ψ_{i}; B′_{i}; Γ_{i}; A_{i−1}; Φ_{i−1}]

Her er Φ_{i}(a_{i}) = (α_{i}(a_{i}), f_{i}(a_{i})), Ψ_{i}(a′_{i}, b_{i}) = β_{i}(b_{i})−f′_{i}(a′_{i}) og Γ_{i} = h_{i}γ_{i}^{−1}g′_{i}.

Bevis : Beviset er en nådesløs diagramjagt. Vi viser eksakthed ved A′_{i} ⊕B_{i}. For det første gælder

Ψ_{i}Φ_{i}(a_{i}) = Ψ_{i}(α_{i}(a_{i}), f_{i}(a_{i})) = β_{i}(f_{i}(a_{i})) − f′_{i}(α_{i}(a_{i})) = 0

Antag omvendt at (a′_{i}, b_{i}) ∈ ker Ψ_{i}, dvs β_{i}(b_{i}) = f′_{i}(a′_{i}). Så gælder b_{i} ∈ ker g_{i} = im f_{i} da

g_{i}(b_{i}) = γ_{i}^{−1}γ_{i}g_{i}(b_{i}) = γ_{i}^{−1}g′_{i}β_{i}(b_{i}) = γ_{i}^{−1}g′_{i}f′_{i}(a′_{i}) = 0

Vi kan altså finde a_{i}, så f_{i}(a_{i}) = b_{i}. Nu gælder

f′_{i}(a′_{i} − α_{i}(a_{i})) = f′_{i}(a′_{i}) − β_{i}(f_{i}(a_{i})) = f′_{i}(a′_{i}) − β_{i}(b_{i}) = 0

så vi kan finde c′_{i+1} så h′_{i+1}(c′_{i+1}) = a′_{i} − α_{i}(a_{i}). Med ã_{i} = h_{i+1}γ_{i+1}^{−1}(c′_{i+1}) gælder ã_{i} ∈ ker f_{i} da f_{i}(ã_{i}) = f_{i}h_{i+1}(γ_{i+1}^{−1}(c′_{i+1}) = 0. Dermed gælder altså f_{i}(a_{i} + ã_{i}) = f_{i}(a_{i}) = b_{i}. Desuden gælder

α_{i}(a_{i} + ã_{i}) = α_{i}(a_{i}) + α_{i}(h_{i+1}γ_{i+1}^{−1}(c′_{i+1})) = α_{i}(a_{i}) + h′_{i+1}(c′_{i+1}) = a′_{i}

Eksaktheden ved A_{i} og B′_{i} overlades til den stadig hungrende diagramjæger. □ Bemærkning 6.13. Vi vil i denne bemærkning studere en anvendelse af den såkaldte Mayer-Vitoris følge til bestemmelse af kurvesammenhængskomponenterne for produktoverlejringer. Man kan vise at der til en fibrering p : (E, e_{0}) → (B, b_{0}) hører en lang eksakt følge

\xymatrix{⋯ \ar[r] & π_{n}(F) \ar[r]^{(i_{F,E})_{∗}} & π_{n}(E) \ar[r]^{p_{∗}} & π_{n}(B) \ar[r]^{¯∂} & π_{n−1}(F) \ar[r] & ⋯ \ar[r]^{p_{∗}} & π_{0}(B)}

hvor F = p^{−1}(b_{0}) er fiberen, i_{E,F} er inklusionen, og ¯∂ er en afbildning, vi ikke nærmere vil komme ind på. Ved et pull-back fås altså to lange eksakte følger, som i vores tilfælde er følgerne hørende til overlejringerne p_{1} : E_{1} → B og q_{E_{1}} : E_{1} ⊙E_{2} → E_{1}. Disse kan splejses sammen ved hjælp af Barratt-Whitehead lemmaet, idet man kan vise at fibrenes homotopigrupper bliver isomorfe. Barratt-Whitehead lemmaet giver dog ikke umiddelbart at følgerne kan splejses sammen hele vejen, idet π_{1} ikke nødvendigvis er abelsk, og π_{0} ikke engang er en gruppe. Disse problemer kan dog klares. Den dermed opnåede eksakte følge kaldes Mayer-Vitoris følgen hørende til pull-back’et.

[figure: ⋯; π_{n+1}(B); ∂; π_{n}(E_{1} ⊙ E_{2}); (q_{E_{1}})_{∗}×(q_{E_{2}})_{∗}; π_{n}(E_{1}) ⊕ π_{n}(E_{2}); (p_{2})_{∗}−(p_{1})_{∗}]
[figure: π_{n}(B); ⋯; π_{1}(E_{1} ⊙ E_{2}); (q_{E_{1}})_{∗}×(q_{E_{2}})_{∗}; π_{1}(E_{1}) × π_{1}(E_{2}); (p_{2})_{∗}·(p_{1})_{∗}^{−1}]
\xymatrix{π_{1}(B) \ar[r] & π_{0}(E_{1} ⊙ E_{2}) \ar[r]^{∂} & π_{0}(E_{1} × E_{2})}

Antag først at E_{1} ⊙E_{2} er kurvesammenhængende. Da er π_{0}(Z) en et-punkts mængde, så idet følgen er eksakt ved π_{1}(B) at (p_{2})_{∗}(π_{1}(E_{2}))∗(p_{1})_{∗}(π_{1}(E_{1})) = π_{1}(B), idet vi benytter at (p_{1})_{∗}(π_{1}(E_{1})) er en gruppe. Hvis omvendt (p_{2})_{∗}(π_{1}(E_{2}))∗ (p_{1})_{∗}(π_{1}(E_{1})) = π_{1}(B) og E_{1} og E_{2} er kurvesammenhængende ses at π_{0}(E_{1}× E_{2}) består af et punkt. Af eksaktheden ved π_{0}(E_{1}⊙E_{2}) fås så at ∂ : π_{1}(B) → π_{0}(E_{1}⊙E_{2}) er surjektiv. Omvendt ses af eksaktheden ved π_{1}(B) at ∂(π_{1}(B)) består af et punkt. Dermed bliver E_{1} ⊙ E_{2} kurvesammenhængende. I tilfældet af overlejringerne af S^{1} fra eksempel 6.5 ses at S^{1} ⊙ S^{1} er kurvesammenhængende netop hvis nℤ+mℤ = ℤ dvs netop hvis sfd(n, m) = 1, hvilket stemmer overens med det ved direkte udregning fundne resultat.

References

[1] Christian Berg. Matematik 2MA, Matematisk Analyse, chapter I. Metriske Rum. Københavns Universitet. Matematisk Institut, 1992–93.

[2] Ronald Brown. Elements of Modern Topology. McGraw-Hill Ltd., 1968.

[3] Eldon Dyer and Joseph Roitberg. Note on sequences of mayer-vitoris type. Proc. Amer. Math. Soc., 80(4):660–662, December 1980.

[4] Brayton Gray. Homotopy Theory. Academic Press, Inc., 1975.

[5] M. J. Greenberg and J. R. Harper. Algebraic Topology, a first course. Addison-Wesley, Inc., 1981.

[6] Christian U. Jensen. Matematik 3al. Noter, Københavns Universitet. Matematisk Institut, 1993.

[7] William S. Massey. A Basic Course in Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics, 127. Springer-Verlag New York Inc., 1991.

[8] James R. Munkres. Topology, a first course. Prentice-Hall, Inc., 1975.

[9] Jørn B. Olsson. Matematik 2al. Noter, Københavns Universitet. Matematisk Institut, 1992.

[10] Joseph J. Rotman. An Introduction to Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics, 119. Springer-Verlag New York Inc., 1988.

[11] Edwin H. Spanier. Algebraic Topology. McGraw-Hill Ltd., 1966.

[12] George W. Whitehead. Elements of Homotopy Theory. Graduate Texts in Mathematics, 61. Springer-Verlag New York Inc., 1978.