Fundamentalgruppen af plane mængder

Jesper Just Højgaard 1. juli 2004

Speciale for cand. scient. graden i matematik ved Københavns Universitet. Vejleder: Jesper Michael Møller.

Indhold

1 Indledning 3

2 Resume 4

3 Inverse systemer 5 3.1 Inv- og Pro- kategorier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2 Udvidelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.3 Grænser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Peanokontinua 15 4.1 Separationsordenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.2 Kontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.3 Peanokontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Planemængder 24 5.1 Peanokontinua i planen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.2 Sierpinskitæppet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6 Simpliciale komplekser m.m. 35 6.1 Simpliciale komplekser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6.2 Nerven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.3 Fundamentalgruppen af plane mængder . . . . . . . . . . . . . . . 41

7 Konsekvenser af hovedsætningen 45

1 Indledning

Dette speciale handler om fundamnetalgruppen af planemængder, dvs. mængder X ⊆ ℝ^{2} med delrumstopologien nedarvet fra ℝ^{2}, hvor ℝ^{2} er udstyret med den sædvanlige topologi. Nærmere bestemt vil vi i specialet forsøge at indkredse hvilke grupper der kan optræde som fundamentalgruppe for en plan mængde.

Det er velkendt at vi givet en gruppe G altid kan finde et CW-kompleks X_{G} der har G som fundamentalgruppe (se [13] side 52). Det er dog på ingen måde klart og det er heller ikke rigtigt at det CW-kompleks X_{G} man får med denne metode, er metrisk. Det kan således sagtens tænkes at X_{G} ikke kan indlejres i f.eks. ℝ^{n} for noget n ∈ ℤ_{+}. Det er derfor oplagt at stille spørgsmålene: Kan alle grupper optræde som fundamentalgruppe for en delmængde X af ℝ^{n}? Hvis ikke hvilke grupper kan i så fald optræde? Det er ganske givet svære spørgsmål at svare på. Kan de rationelle tal ℚ f.eks. optræde som fundamentalgruppe for noget X ⊆ ℝ^{n}? Det er et resultat af Shelah at hvis X er et peano kontinuum, da vil π_{1}(X) ≠ ℚ (se [14]).

I dette speciale vil vi som sagt kun beskæftige os med tilfældet X ⊆ ℝ^{2}. Selv i dette specialtilfælde har det været meget svært at finde nogle generelle resultater. Man kender selvfølgelig fundamentalgruppen for X i en masse special tilfælde. Det er f. eks. velkendt at fundamentalgruppen af en graf er fri. Et mere eksotisk eksempel er hawaii øreringen der har en ret kompliceret fundamentalgruppe. Det eneste generelle resultat jeg kunne finde om fundamentalgruppen af planemængder, er fra et pre-print [7] fra 2003 af Hanspeter Fischer og Andreas Zastrow. Specialets hovedresultat vil være sætning 2 i dette pre-print der siger at fundamentalgruppen af en vilkårlig plan mængde indlejrer i den første čechgruppe.

I dette speciale er alle omegne åbne.

Specialet følger sprognævnets nye anbefalinger om ikke at sætte komma foran ledsætninger.

2 Resume

This paper is a Master Thesis written at the University of Copenhagen. The subject is the fundamental group of planar subsets. The main result is that the fundamental group of a planar subset injects into the first čhech group.

The first section is an introduction to the inverse systems over an abitrary category.

The second section deals with the important notion of a peano space. Here we prove that a peano space is locally and globally path connected, and that the image of the unit interval into a Hausdorff space is a peano space.

The third section is about planar sets especially planar peano space. When dealing with planar peano spaces the Sierpinski carpet turns out to be very important. We therefore finish this section with some results concerning the Sierpinski carpet and partially filled sierpinski carpets.

In the fourth section we introduce the notion of the nerve of an open cover of a topological space, and we use this to define the čhech group. We then prove the main theorem of the thesis.

The last section deals with a consequence of our main theorem. This involves a little bit of group theory. There is also an example that shows that the main theorem doesn’t hold in ℝ^{3}.

3 Inverse systemer

3.1 Inv- og Pro- kategorier

I dette afsnit definerer vi hvad vi forstår ved inverse systemer over en vilkårlig kategori. Vi beskriver også basale egenskaber ved sådanne inverse systemer.

Lad C være en vilkårlig kategori. Ved et inverst system X over C forstås en tripel X = (X_{λ}, p_{λλ′}, Λ). Her er Λ en præordnet mængde som er opad filtrerende. X_{λ} er et objekt i C, og der er et objekt tilknyttet hvert λ ∈ Λ. Når λ ≤ λ′, er p_{λλ′} : X_{λ′} → X_{λ} en morfi i C. Hvis λ og λ′ ikke er sammenlignelige, vil vi ikke definere nogen morfi mellem X_{λ} og X_{λ′}. Når vi taler om morfien p_{λλ′} : X_{λ′} → X_{λ}, er det altså underforstået at λ ≤ λ′. Ydermere vil vi forlange at p_{λλ} = id_{X_{λ}}, og at sammensætning opfylder p_{λλ′}p_{λ′λ′′} = p_{λλ′′}.

Vi er nu hastigt på vej til at definere en ny kategori inv −C ud fra vores gamle kategori C. I inv −C er objekterne inverse systemer med objekter og morfier i C. Til en kategori skal man også bruge morfier. Vi vil derfor nu definere hvad en morfi mellem inverse systemer skal være. Lad X = (X_{λ}, p_{λλ′}, Λ) og Y = (Y_{μ}, q_{μμ′}, M) være inverse systemer over C. Lad φ : M → Λ være en afbildning, og lad der til ethvert μ ∈ M være knyttet en morfi f_{μ} : X_{φ(μ)} → Y_{μ}. En morfi f : X → Y mellem inverse systemmer er så givet ved f = (f_{μ}, φ) når denne familie opfylder en ekstra betingelse. Den ekstra betingelse er at hvis μ ≤ μ′ da skal der findes λ ∈ Λ med φ(μ), φ(μ′) ≤ λ, så nedenstående diagram kommuterer:

\xymatrix{ & X_{λ} \ar[dl]_{p_{φ(μ′)λ}} \ar[dr]^{p_{φ(μ)λ}} \\ X_{φ(μ′)} \ar[d]_{f_{μ′}} &  & X_{φ(μ)} \ar[d]^{f_{μ}} \\ Y′_{μ} \ar[rr]_{q_{μμ′}} &  & Y_{μ}}

Lad f : X → Y og g : Y → Z være morfier af inverse systemer med f = (f_{μ}, φ) og g = (g_{ν}, ψ). Vi indfører en komposition af f og g ved gf = (g_{ν}f_{μ}, φψ).

Kompositionen ses at være veldefineret ved at betragte følgende diagram:

\xymatrix{ &  & X_{λ′′} \ar[dll] \ar[dl] \ar[dr] \ar[drr] \\ X_{φψ(ν)} \ar[d]^{f_{ψ(ν)}} & X_{λ} \ar[l] \ar[r] & X_{φ(μ)} \ar[d]_{f_{μ}} & X_{λ′} \ar[l] \ar[r] & X_{φψ(ν′)} \ar[d]^{f_{ψ(ν′)}} \\ Y_{ψ(ν)} \ar[d]^{g_{ν}} &  & Y_{μ} \ar[ll] \ar[rr] &  & Y_{ψ(ν′)} \ar[d]_{g′_{ν}} \\ Z_{ν} \ar[rrrr] &  &  &  & Z′_{ν}}

Alle morfierne og objekterne i diagrammet pånær X_{λ′′} og morfierne gående ud fra denne, opstår naturligt udfra definitionen af en morfi af inverse systemer. X_{λ′′} findes da Λ er opad filtrerende.

Sammensætningen er associativ da sammensætning af afbildninger er associativ, og sammensætning af morfier (i C) også er associativ.

Endelig får vi ved at sætte id_{X} = (id_{X_{λ}}, id_{Λ}) klart en identitets morfi for et inverst system X = (X_{λ}, p_{λλ′}, Λ).

Vi har nu en ny kategori inv −C. Et objekt X i C sammen med id_{X} er et inverst system, så C kan opfattes som en delkategori af inv −C. Vi kalder et inverst system af denne type for et rudimentært system.

Denne kategori er dog lidt for fint følende til vores senere behov. Vi vil derfor ændre lidt på den så vi får en ny kategori som vi kalder pro −C. Til dette formål indføres en ækvivalensrelation på morfier mellem inverse systemer.

Lad (f_{μ}, φ) : X → Y og (f′_{μ}, φ′) : X → Y være morfier i inv −C. Vi siger at (f_{μ}, φ) og (f′_{μ}, φ′) er ækvivalente, og vi skriver (f_{μ}, φ) ∼ (f′_{μ}, φ′) hvis der til ethvert μ findes λ ≥ φ(μ), φ′(μ) så følgende diagram kommuterer

\xymatrix{X_{φ(μ)} \ar[dr]_{f_{μ}} & X_{λ} \ar[l]_{p_{φ(μ)λ}} \ar[r]^{p_{φ′(μ)λ}} & X_{φ′(μ)} \ar[dl]^{f′_{μ}} \\  & Y_{μ}}

Vi vil nu vise at vores ækvivalensrelation respekterer sammensætning. For at dette ikke skal blive fuldstændig uoverskueligt, deler vi beviset op i tre stykker.

Lemma 3.1 Hvis (f_{μ}, φ) ∼ (f′_{μ}, φ′), da er (g_{ν}, ψ)(f_{μ}, φ) ∼ (g_{ν}, ψ)(f′_{μ}, φ′)

Bevis: følgende diagram kommuterer:

\xymatrix{X_{φψ(ν)} \ar[dr]_{f_{ψ(ν)}} & X_{λ} \ar[l]_{p_{φψ(ν)λ}} \ar[r]^{p_{φ′ψ(ν)λ}} & X_{φ′ψ(ν)} \ar[dl]^{f′_{ψ(ν)}} \\  & Y_{ψ(ν)} \ar[d]^{g_{ν}} \\  & Z_{ν}}

Her kan vi finde X_{λ} på grund af definitionen af morfier mellem inverse systemer.

■

Lemma 3.2 Hvis (g_{ν}, ψ) ∼ (g′_{ν}, ψ′), da er (g_{ν}, ψ)(f_{μ}, φ) ∼ (g′_{ν}, ψ′)(f_{μ}, φ)

Bevis: følgende diagram kommuterer:

\xymatrix{ &  & X_{λ′′} \ar[dl] \ar[dr] \\ X_{φψ(ν)} \ar[d]^{f_{ψ(ν)}} & X_{λ} \ar[l] \ar[r] & X_{φ(μ)} \ar[d]_{f_{μ}} & X_{λ′} \ar[l] \ar[r] & X_{φψ(ν′)} \ar[d]^{f_{ψ′(ν)}} \\ Y_{ψ(ν)} \ar[drr]^{g_{ν}} &  & Y_{μ} \ar[ll] \ar[rr] &  & Y_{ψ′(ν)} \ar[dll]_{g′_{ν}} \\  &  & Z_{ν}}

Her kan vi finde X_{λ} og X_{λ′} på grund af definitionen af morfier mellem inverse systemer. X_{λ′′} eksisterer da Λ er opad filtrerende.

Lemma 3.3 Hvis (g_{ν}, ψ) ∼ (g′_{ν}, ψ′) og (f_{μ}, φ) ∼ (f′_{μ}, φ′), da er (g_{ν}, ψ)(f_{μ}, φ) ∼ (g′_{ν}, ψ′)(f′_{μ}, φ′)

Bevis: Lemma 3.1 giver (g_{ν}, ψ)(f_{μ}, φ) ∼ (g_{ν}, ψ)(f′_{μ}, φ′). Lemma 3.2 giver (g_{ν}, ψ)(f′_{μ}, φ′) ∼ (g′_{ν}, ψ′)(f′_{μ}, φ′), og transitiviteten af ∼ giver (g_{ν}, ψ)(f_{μ}, φ) ∼ (g′_{ν}, ψ′)(f′_{μ}, φ′) som ønsket.

■

Vi kan nu definere pro −C. Objekterne i pro −C er objekter i inv −C. Morfierne er ækvivalensklasser af morfier i inv −C. Kompositionen i pro −C sættes til at være [f][g] = [fg]. Denne komposition er veldefineret på grund af lemma 3.3. Ved at sætte id_{X} = [(id_{X_{λ}}, id_{Λ})] får vi klart en identitets morfi for et inverst system X = (X_{λ}, p_{λλ′}, Λ) i pro −C. Kompositionen er klart associativ. Dermed er pro −C en kategori.

Hvis vi har et inverst system X = (X_{λ}, p_{λλ′}, Λ) i pro −C hvor alle p_{λλ′}’erne er isomorfier, og hvis λ_{0} ∈ Λ, da vil morfien i : X → (X_{λ_{0}}) induceret af id_{X_{λ_{0}}} være en isomorfi. Vi kan nemlig definere en invers j til i. Hvis λ_{1} ∈ Λ, da findes λ ∈ Λ sådan at λ ≥ λ_{1}, λ_{0}. Vi definerer så j_{λ_{1}} = p_{λ_{1}λ}p_{λ_{0}λ}^{−1}. Hvis λ′ også opfylder λ′ ≥ λ_{1}, λ_{0}, kan vi finde λ′′ ≥ λ′, λ, og dette giver os følgende ligheder:

p_{λ_{1}λ}p_{λ_{0}λ}^{−1} = p_{λ_{1}λ′′}p_{λ_{0}λ′′}^{−1} = p_{λ_{1}λ′}p_{λ_{0}λ′}^{−1}

Dermed har vi set at j_{λ_{1}} er uafhængig af valget af λ. Det er nu klart at j_{λ}’erne inducerer en morfi j : (X_{λ_{0}}) → X, og at j er invers til i.

Definition 3.4 En delmængde Λ′ af en præordnet mængde Λ er kofinal hvis der til ethvert λ ∈ Λ eksisterer et λ′ ∈ Λ′ så λ ≤ λ′.

Hvis Λ′ ⊆ Λ er opad filtrerende, og (X_{λ}, p_{λλ′}, Λ) er et inverst system, da kaldes (X_{λ}, p_{λλ′}, Λ′) et delsystem af (X_{λ}, p_{λλ′}, Λ). Der er en naturligt defineret morfi i inv −C mellem X og X′ = (X_{λ}, p_{λλ′}, Λ′), nemlig

i = (i_{λ}, i) : X → X′

hvor i(λ) = λ og i_{λ} = id_{X_{λ}} : X_{λ} → X_{λ} for λ ∈ Λ′. Denne morfi kaldes restriktionsmorfien.

Sætning 3.5 Hvis Λ′ ⊆ Λ er kofinal i Λ, da inducerer restriktionsmorfien i : X → X′ en isomorfi i pro −C.

Bevis: Da Λ′ er kofinal i Λ, findes en afbildning j : Λ → Λ′ så j(λ) ≥ λ for alle λ ∈ Λ. Definer j_{λ} : X_{j(λ)} → X_{λ} ved j_{λ} = p_{λj(λ)}. Det er klart at vi givet λ_{0}, λ_{1} ∈ Λ med λ_{0} ≤ λ_{1} kan finde λ′ ∈ Λ′ så nedenstående diagram kommuterer.

\xymatrix{ & X_{λ′} \ar[dl]_{p_{j(λ_{1})λ′}} \ar[dr]^{p_{j(λ_{0})λ′}} \\ X_{j(λ_{1})} \ar[d]_{j_{λ_{1}}} &  & X_{j(λ_{0})} \ar[d]^{j_{λ_{0}}} \\ X_{λ_{1}} \ar[rr]_{p_{λ_{0}λ_{1}}} &  & X_{λ_{0}}}

Så (j_{λ}, j) definerer en morfi j : X′ → X i pro −C. Vi har at

\xymatrix{X_{λ} \ar[dr]_{id_{X_{λ}}} &  & X_{j(λ)} \ar[ll]_{p_{λj(λ)}} \ar[dl]^{j_{λ}i_{j(λ)}} \\  & X_{λ}}

kommuterer, så ji = id_{X}. Vi har også at

\xymatrix{X_{λ′} \ar[dr]_{id_{X_{λ′}}} &  & X_{j(λ′)}j_{λ′} \ar[ll]_{p_{λ′j(λ′)}} \ar[dl]^{i_{λ′}} \\  & X_{λ′}}

kommuterer, så ij = id_{X′} hvilket viser at i er en isomorfi i pro −C.

■

3.2 Udvidelser

I dette afsnit er C en kategori, og P er en delkategori af C.

Definition 3.6 Lad X ∈ C være et objekt. En C-udvidelse m.h.t. P er en morfi p : X → X. Her er p en morfi i pro −C, og X er et objekt i pro −C. Ydermere skal p have følgende universelle egenskab: Hvis h : X → Y er en morfi i pro −C og Y er et objekt i pro −P, da findes en entydig morfi f : X → Y så følgende diagram kommuterer:

\xymatrix{X \ar[dr]_{f} & X \ar[d]^{h} \ar[l]_{p} \\  & Y}

Hvis X og f begge tilhører pro −P, da kaldes p en P-udvidelse. En C-udvidelse vil vi normalt bare kalde for en udvidelse. Har vi to inverse systemer X og X′ i pro −C, en isomorfi i : X → X′ imellem dem og en udvidelse p : X → X, da vil ip også være en udvidelse. For at indse dette behøver vi bare at betragte følgende diagram:

\xymatrix{X′ \ar[drr]_{_{fi_{−1}}} & X \ar[l]_{i} \ar[dr]^{f} & X \ar[d]^{h} \ar[l]_{p} \\  &  & Y}

Her er Y et objekt i pro −P.

Lemma 3.7 Lad p : X → X og p′ : X → X′ være to P-udvidelser af X. Der findes da en entydig isomorfi i : X → X′. i kaldes den naturlige isomorfi.

Bevis: Af den universelle egenskab for udvidelser har vi at der findes entydige morfier i og i′ så følgende diagrammer kommuterer:

\xymatrix{X \ar[dr]_{i} & X \ar[d]^{p′} \ar[l]_{p} & X′ \ar[dr]_{i′} & X \ar[d]^{p} \ar[l]_{p′} \\  & X′ &  & X}

Vi har dermed at ip = p′ og i′p′ = p. Heraf følger at i′ip = p′ og ii′p′ = p. Entydighed giver nu at ii′ = id_{X′} og i′i = id_{X} som ønsket.

■

Vi har følgende resultat om hvornår en morfi p : X → X er en udvidelse.

Sætning 3.8 Lad p : X → X, X = (X_{λ}, p_{λλ′}, Λ) være en morfi i pro −C. Da er p en udvidelse hvis og kun hvis morfierne p_{λ} med λ ∈ Λ opfylder:

1) For ethvert objekt P ∈ P og enhver morfi h : X → P i C findes et λ ∈ Λ og en morfi f : X_{λ} → P så fp_{λ} = h.

2) Hvis f, f′ : X_{λ} → P er morfier i C med fp_{λ} = f′p_{λ}, da findes λ ≤ λ′ og p_{λλ′} : X_{λ′} → X_{λ} så fp_{λλ′} = f′p_{λλ′}.

Bevis: Antag først at p er en udvidelse. Lad P være et objekt i P med en morfi h : X → P. Da p er en udvidelse, eksisterer der en morfi f : X → P. Nu er P når man opfatter P som et inverst system, et rudimentært system, så f er givet ved en enkelt morfi i C. Vi har altså at der findes λ ∈ Λ og en morfi f_{λ} : X_{λ} → P så f_{λ}p = h. 1) er dermed opfyldt. Lad nu f, f′ : X_{λ} → P være morfier med fp_{λ} = f′p_{λ}. Da P er et rudimentært system, bestemmer f og f′ morfier f, f′ : X → P. Den universelle egenskab for udvidelser giver så at f = f′, dvs. at der findes λ ≤ λ′ så

\xymatrix{ & X_{λ′} \ar[dl]_{p_{λλ′}} \ar[dr]^{p_{λλ′}} \\ X_{λ} \ar[dr]_{f} &  & X_{λ} \ar[dl]^{f′} \\  & P}

kommuterer. Dette giver det ønskede.

Antag nu at 1) og 2) er opfyldt. Lad h : X → Y være en morfi i pro −C og Y = (Y_{μ}, q_{μμ′}, M) et objekt i pro −P. Da h er en morfi i pro −C, er h givet ved morfier h_{μ} : X → Y_{μ} således at h_{μ} = q_{μμ′}h_{μ′} når μ ≤ μ′. 1) giver at vi til ethvert μ kan finde λ := φ(μ) ∈ Λ og en morfi f_{μ} : X_{φ(μ)} → Y_{μ} så f_{μ}p_{φ(μ)} = h_{μ}. Vi viser at dette giver os en morfi i inv −C og dermed i pro −C. Vi bemærker at når μ ≤ μ′, så kommuterer følgende diagram:

\xymatrix{X_{φ(μ)} \ar[dr]_{f_{μ}} &  & X \ar[rr]^{p_{φ(μ)}} \ar[ll]_{p_{φ(μ′)}} \ar[dl]_{h_{μ}} \ar[dr]^{h_{μ′}} &  & X_{φ(μ′)} \ar[dl]^{f_{μ′}} \\  & Y_{μ} &  & Y_{μ′} \ar[ll]^{q_{μμ′}}}

Trekanterne

\xymatrix{X_{φ(μ)} \ar[dr]_{f_{μ}} & X \ar[l]_{p_{φ(μ)}} \ar[d]^{h_{μ}} & X \ar[r]^{p_{φ(μ′)}} \ar[d]_{h_{μ′}} & X_{φ(μ′)} \ar[dl]^{f_{μ′}} \\  & Y_{μ} & Y_{μ′}}

kommuterer per konstruktion, og trekanten

\xymatrix{ & X \ar[dl]_{h_{μ}} \ar[dr]^{h_{μ′}} \\ Y_{μ} &  & Y_{μ′} \ar[ll]^{q_{μμ′}}}

kommuterer da h er en morfi i pro −C. Vi får heraf at q_{μμ′}f_{μ′}p_{φ(μ′)} = f_{μ}p_{φ(μ)}. Vælg λ ∈ Λ med λ ≥ φ(μ), φ(μ′), da er p_{φ(μ′)λ}p_{λ} = p_{φ(μ′)} og p_{φ(μ)λ}p_{λ} = p_{φ(μ)}. Vi får derfor

q_{μμ′}f_{μ′}p_{φ(μ′)λ}p_{λ} = f_{μ}p_{φ(μ)λ}p_{λ}

2) giver nu at der findes λ′ ∈ Λ så

q_{μμ′}f_{μ′}p_{φ(μ′)λ′} = q_{μμ′}f_{μ′}p_{φ(μ′)λ}p_{λλ′} = f_{μ}p_{φ(μ)λ}p_{λλ′} = f_{μ}p_{φ(μ)λ′}

hvilket viser at f er en morfi. Vi har per konstruktion at fp = h.

Vi mangler så blot at vise at f er entydig. Antag derfor at f′ : X → Y var en anden morfi med f′p = h. Lad f′ være givet ved (f′_{μ}, φ′). Da er f′_{μ}p_{φ′(μ)} = h_{μ} = f_{μ}p_{φ(μ)}. Da Λ er opad filtrerende, findes λ ∈ Λ med λ ≥ φ′(μ), φ(μ). Da p er en morfi i pro −C, har vi at f′_{μ}p_{φ′(μ)λ}p_{λ} = f_{μ}p_{φ(μ)λ}p_{λ}. 2) giver så at der findes λ′ så

f′_{μ}p_{φ′(μ)λ′} = f′_{μ}p_{φ′(μ)λ}p_{λλ′} = f_{μ}p_{φ(μ)λ}p_{λλ′} = f_{μ}p_{φ(μ)λ′}

Vi har altså at (f′_{μ}, φ′) ∼ (f_{μ}, φ), og dermed at f′ = f som ønsket.

■

3.3 Grænser

Lad C være en kategori, og lad X ∈ pro −C. Ved en invers grænse for X forstås et objekt X ∈ C og en morfi p : X → X med følgende egenskab: Hvis g : Y → X er en morfi og Y ∈ C, da findes en entydig morfi g : Y → X så følgende diagram kommuterer:

\xymatrix{ & Y \ar[dl]_{g} \ar[d]^{g} \\ X & X \ar[l]^{p}}

Hvis nu (X′, p′) var en anden invers grænse for X, da findes entydige morfier i′ : X′ → X og i : X → X′ så p′ = pi′ og p = p′i. Dermed er p = p′i′i og p′ = p′ii′. Af entydigheden følger nu at i′i = id_{X} og ii′ = id_{X′}, så X og X′ er isomorfe. Inverse grænser for et givet inverst system X ∈ pro −C er altså entydige op til isomorfi. Objektet X kaldes i sig selv ofte for en invers grænse for X (d.v.s. morfien p er underforstået), og man skriver

X = lim X

.

Definition 3.9 Lad C være en kategori og lad f_{α}, g_{α} : X → Y med α ∈ A være to familier af morfier over en indeksmængde A. Ved den multiple udligner for de to familier af morfier forstås et objekt MEq_{A}(f_{α}, g_{α}) ∈ C og en morfi μ : MEq_{A}(f_{α}, g_{α}) → X så følgende er opfyldt:

1): f_{α}μ = g_{α}μ for alle α ∈ A

2): Hvis (Z, μ′) hvor Z er et objekt i C, og μ′ er en morfi i C, opfylder punkt 1), da vil μ′ faktoriserer igennem MEq_{A}(f_{α}, g_{α}), d.v.s der findes en morfi ν : Z → MEq_{A}(f_{α}, g_{α}) så μ′ = μν.

I tilfældet hvor vi kun har to morfier f, g : X → Y, skriver vi Eq(f, g) = MEq(f, g) og, Eq(f, g) kaldes blot for udligneren for f og g.

Det er ikke altid at et inverst system over en given kategori har en invers grænse. Vi vil i det følgende se på nogle tilstrækkelige betingelser for at en kategori har den egenskab at samtlige inverse systemer over denne kategori har en invers grænse. Betingelserne er:

P): For enhver familie af objekter Y_{α} i C vil også produktet Π_{α}Y_{α} være et objekt i C.

Eq): For ethvert par af morfier f, g : X → Y findes (Eq(f, g), μ).

Vi viser først følgende lemma:

Lemma 3.10 Lad C være en kategori der opfylder P) og Eq). Da vil enhver familie af par af morfier f_{α}, g_{α} : X → Y_{α} have en multipel udligner.

Bevis: Vi betragter morfierne f = (f_{α}) : X → Π_{α}Y_{α} og g = (g_{α}) : X → Π_{α}Y_{α}. Vi ved at udligneren (Eq(f, g), μ) eksisterer per antagelse. Vi påstår nu at (Eq(f, g), μ) er den multiple udligner for f_{α}’erne og g_{α}’erne. Der gælder nemlig fμ = gμ, så f_{α}μ = π_{α}(fμ) = π_{α}(gμ) = g_{α}μ for alle α. Her er π_{α} : Π_{α}Y_{α} → Y_{α} projektionen ned på Y_{α}. Lad nu (Z, ν) være et andet par med ν : Z → X så f_{α}ν = g_{α}ν for alle α. Da vil også fν = gν, og dermed må ν faktorisere igennem Eq(f,g) som ønsket.

■

Sætning 3.11 Lad C være en kategori der opfylder P) og Eq). Da har ethvert inverst system over C en invers grænse.

Bevis: Lad X ∈ pro −C med X = (X_{λ}, p_{λλ′}, Λ). Når λ ≤ λ′, betragter vi morfierne π_{λ}, p_{λλ′}π_{λ′} : Π_{λ∈Λ}X_{λ} → X_{λ}. Lemma 3.10 giver at der findes en multipel udligner (MEq_{(λ,λ′∈Λ,λ≤λ′)}(π_{λ}, p_{λλ′}π_{λ′}), μ). Sætter vi p_{λ} = π_{λ}μ : MEq_{(λ,λ′∈Λ,λ≤λ′)}(π_{λ}, p_{λλ′}π_{λ′}) → X_{λ}, får vi at p_{λλ′}p_{λ′} = p_{λλ′}π_{λ′}μ = π_{λ}μ = p_{λ}. Vi har altså en morfi p : X → X i pro −C givet ved p = [(p_{λ})].

Vi påstår at (MEq_{(λ,λ′∈Λ,λ≤λ′)}(π_{λ}, p_{λλ′}π_{λ′}), p) er en invers grænse for X. Lad derfor Y være et objekt i C, og lad g : Y → X være en morfi i pro −C. Lad g være givet ved g_{λ} : Y → X_{λ} hvor λ ∈ Λ og p_{λλ′}g_{λ′} = g_{λ} når λ ≤ λ′. Sæt nu ν = (g_{λ}) : Y → Π_{λ}X_{λ}, da er π_{λ}ν = g_{λ}. Heraf får vi π_{λ}ν = g_{λ} = p_{λλ′}g_{λ′} = p_{λλ′}π_{λ′}ν. Men så må ν faktorisere gennem MEq_{(λ,λ′∈Λ,λ≤λ′)}(π_{λ}, p_{λλ′}π_{λ′}). Vi har altså at der findes en morfi μ′ : Y → MEq_{(λ,λ′∈Λ,λ≤λ′)}(π_{λ}, p_{λλ′}π_{λ′}) så ν = μμ′. Heraf følger det ønskede.

■

Korollar 3.12 Inverse systemer over kategorierne Ab, Grp, Top og Cpt har en invers grænse. Ab er kategorien med abelske grupper som objekter og homomorfier som morfier, Grp er kategorien med grupper som objekter og homomorfier som morfier, Top er kategorien med topologiske rum som objekter og kontinuerte afbildninger som morfier, og Cpt er kategorien med kompakte hausdorff rum som objekter og kontinuerte afbildninger som morfier.

Bevis: For enhver familie af objekter i en af disse kategorier vil produktet igen være et objekt i kategorien. Hvis f, g : X → Y er to morfier i en af disse kategorier, da er {x ∈ X : f(x) = g(x)} = Eq(f, g). ({x ∈ X : f(x) = g(x)}, i) hvor i er indlejringen i : {x ∈ X : f(x) = g(x)} ↪ X, er så udligneren for f og g.

■

Hvis f : X → Y er en morfi af inverse systemer i pro −C, da findes en entydig morfi lim f : lim X → lim Y såfremt lim X og lim Y eksisterer så

\xymatrix{X \ar[r]^{f} & Y \\ _{lim X} \ar[r]_{lim f} \ar[u]^{p} & _{lim Y} \ar[u]_{q}}

kommuterer. Dette følger umiddelbart af definitionen af en invers grænse. På grund af entydigheden er det klart at lim id_{X} = id_{lim X} og lim fg = lim f lim g. Vi har altså at lim er en funktor fra pro −C til C når C er en kategori hvor alle inverse systemer har en invers grænse. Heraf følger umiddelbart at en isomorfi mellem to inverse systemer i pro −C inducerer en isomorfi mellem de to systemers grænser.

4 Peanokontinua

4.1 Separationsordenen

Definition 4.1 Lad X være et sammenhængende rum, x ∈ X kaldes et skæringspunkt for X hvis X − x er usammenhængende.

Vi minder om at et rum X er usammenhængende hvis der findes en separation af X, dvs. X = U ∪ V hvor U og V er ikke-tomme, disjunkte og åbne mængder.

Definition 4.2 Lad X være et sammenhængende T_{1} rum og lad p, q ∈ X med p ≠ q. Med E(p, q) betegner vi mængden af skæringspunkter x ∈ X for X sådan at der findes en separation af X − x = U_{x} ∪ V_{x} med p ∈ U_{x} og q ∈ V_{x}. Ydermere skal punkterne p og q tilhøre E(p, q).

E(p, q) er altså mængden bestående af p og q samt de x ∈ X der adskiller dem. Vi indfører følgende relation på E(p, q):

Definition 4.3 Lad X være et sammenhængende T_{1} rum, og lad p, q ∈ X med p ≠ q. Vælg for hvert x ∈ E(p, q) − {p, q} en separation af X − x = U_{x} ∪ V_{x}. Når x, y ∈ E(p, q) og x ≠ y, siger vi at x < y såfremt p ∈ U_{x} og y ∈ V_{x} eller x = p. Relationen < kaldes en separationsorden på E(p, q)

Det er klart at p < x for x ∈ E(p, q) − p, og det er også klart at x < q for x ∈ E(p, q) − q.

Sætning 4.4 Lad X være et sammenhængende T_{1} rum, og lad p, q ∈ X med p ≠ q. En separationsorden på E(p, q) er en totalordning.

Bevis: Vi starter med et par bemærkninger. Hvis x ∈ E(p, q) − {p, q}, da vil U_{x} ∪ x være sammenhængende thi afbildningen f_{x} : X → U_{x} ∪ x givet ved f(z) = z hvis z ∈ U_{x} ∪ x og f(z) = x ellers er kontinuert. For at se dette bemærker vi at rummet X hvori E(p, q) er defineret, er sammenhængende og T_{1}, specielt er X − x et åbent delrum af X. Nu var U_{x} og V_{x} åbne delmængder af X − x per antagelse, så vi konkluderer at U_{x} og V_{x} er åbne i X. Dermed er U_{x} ∪ x = X − V_{x} og V_{x}∪x = X −U_{x} afsluttede i X. Afbildningen f er tydeligvis kontinuert på både U_{x} ∪x og V_{x} ∪x, og f stemmer overens på deres fællesmængde, så f er kontinuert på X = (U_{x} ∪ x) ∪ (V_{x} ∪ x). Nu var X sammenhængende, så f(X) = U_{x} ∪ x er sammenhængende. På samme måde ses at V_{x} ∪ x er sammenhængende.

Lad nu x, y ∈ E(p, q) − {p, q}. Hvis y ∈ V_{x}, da vil U_{x} ∪ x ⊆ U_{y} og V_{y} ∪ y ⊆ V_{x} thi U_{x} ∪ x er en sammenhængende delmængde af X − y = U_{y} ∪ V_{y}. Dermed må U_{x} ∪ x ligge i enten U_{y} eller V_{y}, men p ∈ U_{y} ∩ U_{x}, så U_{x} ∪ x ⊆ U_{y}. Heraf følger at (U_{x} ∪ x) ∩ (V_{y} ∪ y) = ∅, så V_{y} ∪ y ⊆ V_{x}. På samme måde ses at hvis y ∈ U_{x}, da vil U_{y} ∪ y ⊆ U_{x} og V_{x} ∪ x ⊆ V_{y}.

Vi viser nu at < er en totalordning:

(Ikke-refleksivitet): Dette opfylder relationen trivielt.

(Sammenlignelighed): Vi har allerede bemærket at p og q kan sammenlignes med alle andre elementer. Lad derfor x ≠ y og x, y ∈ E(p, q) − {p, q}. Da gælder der enten y ∈ U_{x} eller y ∈ V_{x}. Hvis y ∈ U_{x}, da vil V_{x} ∪ x ⊆ V_{y}, dvs. y adskiller p og x, så y < x. Hvis y ∈ V_{y} fås omvendt at x < y.

(Transitivitet): Antag at x < y og y < z, og antag at x ≠ p og z ≠ q, dvs. at V_{y} ∪ y ⊆ V_{x} og V_{z} ∪ z ⊆ V_{y}. Heraf følger at z ∈ V_{x}, så x adskiller p og z, og dermed fås x < z. Tilfældene hvor x = p eller z = q er trivielle.

■

Sætning 4.5 Lad X være et sammenhængende T_{1} rum, og lad p, q ∈ X så E(p, q) − {p, q} ≠ ∅. Da er delrumstopologien på E(p, q) finere end separationsordenstopologien på E(p, q).

Bevis: Lad B være et basiselement for ordenstopologien på E(p, q). Vi viser at B er åben i delrumstopologien. Der er tre tilfælde 1): B = [p, x), 2): B = (x, q] og 3): B = (x, y) hvor x, y ∈ E(p, q).

Tilfælde 1): Hvis x = q, da er [p, x) = X − q ∩ E(p, q), og X − q er åben i X, da X er T_{1}. Hvis x ≠ q, kan vi betragte separationen X − x = U_{x} ∪ V_{x}. Da X − x er åben i X, og U_{x} er åben i X − x, er U_{x} åben i X. Det ønskede følger nu af at [p, x) = U_{x} ∩ E(p, q).

Tilfælde 2): Klares tilsvarende.

Tilfælde 3): Hvis x ≠ p og y ≠ q, da er (x, y) = U_{y} ∩ V_{x} ∩ E(p, q), og hvis x = p og y = q, da er (x, y) = X − {p, q} ∩ E(p, q).

■

Definition 4.6 Lad der være givet to punkter x og y i et topologisk rum X. En endelig samling af åbne mængder U_{1}, …, U_{n} siges at være en enkel kæde fra x til y hvis:

1): x ∈ U_{1} og y ∈ U_{n}.

2): x ∉ U_{i} for i > 1 og y ∉ U_{i} for i < n.

3): U_{i} ∩ U_{j} ≠ ∅ hvis og kun hvis |i − j| ≤ 1.

Sætning 4.7 Lad X være et sammenhængende rum, og lad U være en åben overdækning af X. Givet to punkter x, y ∈ X, da findes en enkel kæde fra x til y bestående af elementer fra U.

Bevis: Lad U være en åben overdækning af X. Givet et a ∈ X sætter vi Y = {x | der findes en enkel kæde fra a til x med elementer fra U}. Bemærk at a ∈ Y, så Y ≠ ∅. Vi viser at Y er åben og afsluttet.

Y er åben: Lad x ∈ Y, og lad U_{1}, …, U_{n} være en enkel kæde fra a til x med elementer fra U, og lad y ∈ U_{n}. Hvis y ∈ U_{n−1} ∩ U_{n}, da vil U_{1}, …, U_{n−1} være en enkel kæde fra a til y. Hvis y ∉ U_{n−1} ∩ U_{n}, da vil U_{1}, …, U_{n} være en enkel kæde fra a til y. Vi har altså at x ∈ U_{n} ⊆ Y, så Y er åben.

Y er afsluttet: Lad x ∈ \overline{Y} −Y, og lad U ∈ U være en omegn af x. Da vil U ∩Y ≠ ∅. Vælg y ∈ U ∩ Y, og vælg en enkel kæde U_{1}, …, U_{n} fra a til y med elementer fra U. Hvis a ∈ U, da er U en enkel kæde fra a til x. Hvis dette ikke er tilfældet, findes et i ∈ {1, …, n}, så U_{i} ∩U ≠ ∅ og U_{j} ∩U = ∅ for j < i. Nu vil U_{1}, …, U_{i}, U være en enkel kæde fra a til x. Heraf følger at Y = \overline{Y}.

Da X er sammenhængende, har vi at X = Y.

■

Vi vender tilbage til enkle kæder senere, men først skal vi se nogle resultater om kontinua.

4.2 Kontinua

Definition 4.8 Et topologisk rum X kaldes et kontinuum hvis X er et kompakt, sammenhængende rum.

Sætning 4.9 Lad {K_{i}} være en samling af kontinua der er totalt ordnet ved inklusion med K_{i} ⊆ X hvor X er et kompakt, hausdorff rum, da er også ⋂_{i} K_{i} et kontinuum.

Bevis: Det er velkendt at ⋂_{i} K_{i} er kompakt. Vi skal så blot vise at ⋂_{i} K_{i} er sammenhængende. Sæt K = ⋂_{i} K_{i}, og antag at der findes en separation af K = A ∪ B. X er hausdorff, så K_{i}’erne er afsluttede i X, dermed er K også afsluttet i X. Da A og B er afsluttede i K, er A og B afsluttede i X. Da X er normal, findes disjunkte åbne mængder U og V i X så A ⊆ U og B ⊆ V. Sæt H_{i} = K_{i} ∩ (X − (U ∪ V)), disse er ikke tomme da K_{i}’erne er sammenhængende. H_{i}’erne er afsluttede da de er fællesmængden af to afsluttede mængder. Da X er kompakt, er H_{i}’erne kompakte. Da K_{i}’erne er totalt ordnet ved inklusion, er H_{i}’erne det også. H_{i}’erne har dermed endeligt snit egenskaben, så H = ⋂_{i} H_{i} ≠ ∅, men H ⊆ K og H ⊆ X − (U ∪ V), så K ∩ X − (U ∪ V) ≠ ∅, i modstrid med at K = A ∪ B ⊆ U ∪ V. Vi konkluderer at K er sammenhængende.

■

Sætning 4.10 Lad X være et T_{1} kontinuum med cardX > 1. Da har X mindst to punkter der ikke er skæringspunkter for X.

Bevis: Sæt A = {x ∈ X | x er ikke skæringspunkt for X}, og antag for modstrid at cardA < 2. Vælg x_{0} ∈ X − A, og lad U ∪ V være en separation af X − x_{0}. Da cardA < 2, må A ligge i enten U eller V, antag at det er V. Dermed må U jo bestå af lutter skæringspunkter for X. Til ethvert x ∈ U findes altså en separation X −x = U_{x} ∪V_{x}. Vi kan gerne antage ved eventuelt at bytte om på U_{x} og V_{x} at x_{0} ∈ V_{x} for alle x ∈ U. Vi har at V_{x} er åben i X −x. Da X er T_{1}, er X −x åben i X. Dermed er V_{x} åben i X, så U_{x} ∪ x = X − V_{x} er afsluttet i X. Dermed er U_{x} ∪ x kompakt. Ydermere vil U_{x} ∪ x være sammenhængende (se beviset for 4.4). Da U_{x} ∪ x ⊆ X − x_{0} = U ∪ V og x ∈ U, har vi at U_{x} ∪ x ⊆ U, specielt kan U_{x} ∪ x’erne ikke indeholde A. Hvis U_{x}’erne ordnes ved streng inklusion, giver maksimalitetsprincippet (se [1] side 69) at vi kan finde en maksimal total ordnet delmængde {U_{x_{i}}}_{i∈I} af U_{x}’erne. Vi påstår nu at ⋂_{i∈I} U_{x_{i}} = ⋂_{i∈I}(U_{x_{i}} ∪ x_{i}). Antag nemlig at x_{j} ∈ U_{x_{i}}, da vil V_{x_{i}} ∪ x_{i} ⊆ X − x_{j} = U_{x_{j}} ∪ V_{x_{j}}. Da x_{0} ∈ V_{x_{j}} ∩ V_{x_{i}} og V_{x_{i}} ∪x_{i} er sammenhængende, må V_{x_{i}} ∪x_{i} ⊆ V_{x_{j}}. Heraf følger at U_{x_{j}} ∪x_{j} ⊆ U_{x_{i}}, og dette giver den ønskede lighed. U_{x_{i}} ∪ x_{i}’erne er kompakte, og de har endeligt snit egenskaben, så ⋂_{i∈I} U_{x_{i}} ≠ ∅. Lad p ∈ ⋂_{i∈I} U_{x_{i}} og betragt U_{p}. U_{p} ≠ ∅, da p ∈ U og U_{p} ∪ V_{p} er derfor en separation af X − p. Ydermere må som ovenfor gælde at U_{p} ⊆ ⋂_{i∈I} U_{x_{i}}. Lad nu q ∈ U_{p}, da vil p ∉ U_{q} og U_{q} ⊂ ⋂_{i∈I} U_{x_{i}}, men dette strider mod maksimaliteten. Vi slutter at cardA ≥ 2.

■

Sætning 4.11 Lad X være et T_{1} kontinuum, og lad A være mængden af ikke skæringspunkter for X. Da findes intet kontinuum Y ⊂ X der indeholder A.

Bevis: Antag at Y er et sådant kontinuum, og lad x ∈ X − Y. Da er x et skæringspunkt for X, så der findes en separation af X − x = U ∪ V. Da Y ⊆ X − x og Y er sammenhængende, må Y være indeholdt i enten U eller V, antag at Y ⊆ U. V ∪ x er et kontinuum med cardV > 1, så V ∪ x indeholder mindst to ikke skæringspunkter for V ∪ x hvoraf et så må være forskelligt fra x. Lad z være et sådant ikke skæringspunkt for V ∪ x, dvs. V ∪ x − z er sammenhængende. Da x ∈ (V ∪ x) ∩ (U ∪ x), er X − z = (U ∪ x) ∪ (V ∪ x − z) sammenhængende, z var altså ikke et skæringspunkt for X, men dette strider mod at A ⊆ U.

■

Som umiddelbart korollar fås:

Korollar 4.12 Lad X være et T_{1} kontinuum, og lad x være et skæringspunkt for X, dvs. der findes en separation X − x = U ∪ V. Da vil både U og V indeholde punkter der ikke er skæringspunkter for X.

Bevis: I lyset af de to ovenstående sætninger samt beviser er dette trivielt.

■

Sætning 4.13 Lad (X, T )være et T_{1} kontinuum med netop to ikke skæringspunkter p og q. Da er (E(p, q), T_{<}) = (X, T ). Her er T_{<} ordenstopologien på E(p, q).

Bevis: Vi viser først E(p, q) = X. Givet x ∈ X med x ≠ p, q, da vil x være et skæringspunkt for X, dvs. der findes en separation af X − x = U_{x} ∪ V_{x}. Antag at x ∉ E(p, q), da gælder enten {p, q} ⊆ U_{x} eller {p, q} ⊆ V_{x}. Antag at {p, q} ⊆ U_{x}, ifølge korollar 4.12 må V_{x} indeholde et ikke skæringspunkt r for X med r ≠ p, q, men dette er en modstrid. Vi konkluderer at E(p, q) = X.

Sætning 4.5 giver at T_{<} ⊆ T . Vi viser at T ⊆ T_{<}. Lad U ∈ T , og lad x ∈ U være givet med x ≠ p, q, og antag at der ikke findes noget interval (r, s) med x ∈ (r, s) ⊆ U. Lad {(r_{i}, s_{i})}_{i} være familien af intervaller med x ∈ (r_{i}, s_{i}) for alle i.

Maksimalitetsprincippet, se [3] side 25, giver at vi kan finde en maksimal delfamilie {(r_{j}, s_{j})}_{j} der er totalt ordnet ved inklusion sådan at ⋂_{j}(r_{j}, s_{j}) = {x}. x har ikke nogen umiddelbar forgænger eller efterfølger thi hvis y var en sådan, ville enten [p, x) ∪ (y, q] eller [p, y) ∪ (x, q] være en separation af X. Vi har derfor at ⋂_{j}[r_{j}, s_{j}]. Vi har nu at [r_{j}, s_{j}]∩(X −U) ≠ ∅ for alle j, og at familen {[r_{j}, s_{j}]∩(X − U)}_{j} har endeligt snitegenskaben. Vi har altså at ⋂_{j}[r_{j}, s_{j}]∩(X −U) ≠ ∅. På den anden side er var ⋂_{j}[r_{j}, s_{j}] = {x} hvilket strider mod ⋂_{j}[r_{j}, s_{j}] ∩ (X − U) ≠ ∅. Tilfældene hvor x = p henholdsvis x = q klares tilsvarende, men her ses på intervaller på formen [p, s) henholdsvis (r, q]. Vi konkluderer at T ⊆ T_{<}, og endelig at (X, T ) = (E(p, q), T_{<}).

■

Sætning 4.14 Lad A være en tællelig totalt ordnet mængde uden mindste eller største element således at hvis a < b, da findes c så a < c < b. Da er A ordensisomorf med de dyadiske rationelle tal, dvs. tal på formen k/2^{n} med 0 < k < 2^{n}.

Bevis: Numerer elementerne i A = {a_{1}, a_{2}, …}, og sæt f(a_{1}) = 1/2. Lad n_{1} og n_{2} være de første to tal hvor a_{n_{1}} < a < a_{n_{2}}. Sæt f(a_{n_{1}}) = 1/2^{2} og f(a_{n_{2}}) = 3/2^{2}. Lad nu n_{3}, n_{4}, n_{5} og n_{6} være de første fire tal så a_{n_{3}} < a_{n_{1}} < a_{n_{4}} < a_{1} < a_{n_{5}} < a_{n_{2}} < a_{n_{6}}. Sæt f(a_{n_{3}}) = 1/2^{3}, f(a_{n_{4}}) = 3/2^{2} ,f(a_{n_{5}}) = 5/2^{2} og f(a_{n_{6}}) = 7/2^{2}. Fortsættes på denne måde, får vi en afbildning f fra A ind i de dyadisk rationelle tal, og f er den ønskede ordensisomorfi.

■

Vi bemærker specielt at (0, 1)∩ℚ er ordensisomorf med de dyadisk rationelle tal.

4.3 Peanokontinua

Definition 4.15 Et kontinuum X kaldes et peanokontinuum hvis X er metrisk og lokalt sammenhængende.

Sætning 4.16 Lad X være et metrisk kontinuum. Hvis X har netop to ikke skæringspunkter, da er X homeomorf med I.

Bevis: Vi bemærker først at ifølge sætning 4.13 er E(p, q) = X, og ordenstopologien på E(p, q) stemmer overens med X’s topologi. Da X er kompakt og metrisk, findes en tællelig tæt delmængde A ⊂ X. Vi kan gerne antage p, q ∉ A.

Vi viser at A opfylder kravene i sætning 4.14.

Antag for modstrid at a ∈ A er et mindste element. Da a ∈ E(p, q) − {p, q}, findes der en separation af X − a = U_{a} ∪ V_{a} med p ∈ U_{a} og q ∈ V_{a}. U_{a} er åben i X, og X er sammenhængende og T_{1}, så {p} ≠ U_{a}. Vælg derfor x ∈ U_{a} − p, da vil [p, x) ∩ A = ∅ i modstrid med at A var tæt i X.

På samme måde ses det at A ikke har noget største element.

Vi viser nu at for alle a, b ∈ A eksisterer der et c ∈ A så a < c < b thi antag dette ikke var tilfældet for a, b ∈ A. Da har vi at (a, b) ∩ A = ∅, men (a, b) ≠ ∅, thi så var [p, a) ∪ (b, q] = X en separation. Der findes altså et x ∈ (a, b). Af samme grund findes y og z så a < x < z < y < b, men så er (x, y) ≠ ∅ og (x, y) ∩ A = ∅ i strid med at A var tæt i X.

Sætning 4.14 giver nu at der findes en ordensisomorfi f : A → (0, 1) ∩ ℚ. Vi viser at ordenstopologien på A stemmer overens med delrumstopologien. Lad derfor (a, b) være et åbent interval i A, da er (a, b) = (a, b) ∩ A hvor (a, b) på højresiden er intervallet (a, b) i X. Lad nu x, y ∈ X, og betragt (x, y) ∩ A. Det er klart at ⋃(a_{i}, b_{i}) ⊆ (x, y) ∩ A hvor a_{i}, b_{i} ∈ A, x < a_{i} < b_{i} < y og (a_{i}, b_{i})’erne er åbne intervaller i A. Antag nu at c ∈ (x, y) ∩ A, da findes a ∈ (x, c) og b ∈ (c, y) med a, b ∈ A da A er tæt i X så c ∈ (a, b)∩A. Vi konkluderer at ⋃(a_{i}, b_{i}) = (x, y)∩A, så delrumstopologien på A er den samme som ordenstopologien. Ordensisomorfien f er altså en homeomorfi.

Givet x ∈ X − {p, q}, sætter vi nu S_{x} = {a ∈ A | x < a} og definerer h : X → I ved h(x) = inf{f(S_{x})} for x ∈ X −q og h(q) = 1. Det ses let at h er en bijektiv og kontinuert afbildning. Da X er kompakt og I er hausdorff, er h en homeomorfi.

■

Definition 4.17 Lad X være et topologisk rum, og lad C_{1} = {U_{1}, …, U_{n}} og C_{2} = {V_{1}, …, V_{m}} være enkle kæder fra x til y med x, y ∈ X. Da siges C_{2} at gå lige igennem C_{1} hvis følgende er opfyldt:

1): For ethvert V_{i} ∈ C_{2} findes et U_{j} ∈ C_{1} så V_{i} ⊆ U_{j}

2): Hvis V_{l}, V_{k} ⊆ U_{j}, da vil V_{i} ⊆ U_{j} for alle l < i < k.

Sætning 4.18 Lad X være et sammenhængende, lokalt sammenhængende hausdorff rum, og lad C = {U_{1}, …, U_{n}} være en enkel kæde af sammenhængende mængder fra x til y med x, y ∈ X. Antag at V er en samling af åbne mængder således at U_{i} er en forening af elementer fra V for alle i ∈ {1, …, n}. Da findes en enkel kæde af elementer fra V fra x til y der går lige igennem C.

Bevis: Sæt x = x_{0} og y = x_{n}, og vælg for hvert i = 1, …, n − 1 et x_{i} ∈ U_{i} ∩ U_{i+1}. Da hvert U_{i} er sammenhængende, giver sætning 4.7 at der findes en enkel kæde C_{i} = {V_{i1}, …, V_{in_{i}}} med elementer fra V fra x_{i−1} til x_{i} der er helt indeholdt i U_{i} for i = 1, …, n. Der findes et første element V_{1k} i C_{1} der møder et element fra C_{2}, og der findes et sidste element V_{2l} fra C_{2} der møder V_{1k}. C′_{1} = {V_{11}, …, V_{1k}, V_{2l}, …, V_{2n_{2}}} er en enkel kæde fra x_{0} til x_{2}. Det generelle skridt klares fuldstændig tilsvarende. På denne måde kan vi altså konstruere en enkel kæde fra x_{0} til x_{n} med elementer fra V som klart vil gå lige igennem C.

■

Sætning 4.19 Lad X være et lokalt kompakt, metrisk, sammenhængende og lokalt sammenhængende rum, da er X stisammenhængende. Vi kan endda finde en sti imellem vilkårlige to punkter i X der er et homeomorft billede af I.

Bevis: Lad x, y ∈ X, og overdæk X med sammenhængende åbne mængder med diameter < 1. Da findes ifølge sætning 4.7 en enkel kæde C_{1} = {U_{11}, …, U_{1n_{1}}} fra x til y med elementer fra overdækningen. For hvert i = 1, …, n_{1}, og for hvert z ∈ U_{1i} vælges en sammenhængende åben omegn U_{z} af diameter < 1/2 så \overline{U}_{z} ⊆ U_{1i} og \overline{U}_{z} er kompakt. Sætning 4.18 giver at vi kan finde en enkel kæde C_{2} = {U_{21}, …, U_{2n_{2}}} fra x til y der består af disse nye elementer sådan at denne kæde går lige igennem C_{2}. På tilsvarende måde kan vi konstruere C_{3}, C_{4}, . . .. Sæt K_{i} = \overline{U}_{i1}∪⋯∪\overline{U}_{in_{i}} for i ∈ ℤ_{+}. Da er alle K_{i}’erne kontinua, og de er totalt ordnet under ⊆, så sætning 4.9 giver at K = ⋂_{i}^{∞} K_{i} er et kontinuum. Bemærk at x, y ∈ K_{i} for alle i, så x, y ∈ K. Betragt nu z ∈ K − {x, y}, sæt E_{i} lig med foreningen af alle de U_{ij} der kommer efter de et eller to elementer i C_{i}, der indeholder z. Sæt på samme måde F_{i} lig med foreningen af de U_{ik} der kommer før de et eller to elementer i C_{i} der indeholder z. Sæt E = ⋃_{i} E_{i} ∩ K og F = ⋃_{i} F_{i} ∩ K. Bemærk at E og F ikke er tomme da afstanden fra z til både x og y er større en nul, så der findes et trin j så z ∉ U_{j1}, U_{jn_{j}}. Vi har nu at K − z = E ∪ F, E ∩ F = ∅ og E og F er åbne i K, så z er et skæringspunkt for K. Da alle z ∈ K − {x, y} er skæringspunkter, må x og y ifølge sætning 4.10 så være ikke skæringspunkter for K. K er altså et metrisk kontinuum med netop to ikke skæringspunkter, men så er K ≅ I ifølge sætning 4.16.

■

som umiddelbart korollar fås:

Korollar 4.20 Ethvert peanokontinuum er stisammenhængende og lokalt stisammenhængende.

Bevis:

■

Lemma 4.21 Lad X være et hausdorff rum, og lad f : I → X være en surjektiv kontinuert afbildning. Da er X et peanokontinuum.

Bevis: Vi bemærker først at I er et peanokontinuum. Det er derfor klart at f(I) = X er kompakt og sammenhængende. Hvis A ⊆ I er en afsluttet mængde, er A også kompakt da I er det. Dermed er f(A) kompakt. Da X er hausdorff, er f(A) afsluttet i X. Vi har altså at f er en afsluttet afbildning. Da f også er surjektiv, er f en kvotient afbildning. Det følger nu at X er lokalt sammenhængende da I er lokalt sammenhængende. Da X er hausdorff, er enhver etpunktsmængde afsluttet. Lad x ∈ X, da er f^{−1}(x) afsluttet i I da f er kontinuert, og da I er kompakt, er f^{−1}(x) kompakt. Vi har altså at f er en perfekt afbildning. Heraf følger at X er anden tællelig da I er det. Urysohns metrisationssætning giver så at X er metrisk. Vi konkluderer at X er et peanokontinuum.

■

Det omvendte resultat der siger at hvis X er et peanokontinuum, da er X billedet af I under en kontinuert afbildning, gælder også. Resultatet er kendt som Hahn-Mazurkiewicz’s sætning. Vi skal dog ikke bruge dette resultat, og vi vil derfor ikke vise det.

5 Planemængder

5.1 Peanokontinua i planen

Vi skal bruge følgende resultat fra kompleks funktionsteori om konforme afbildninger på randen af områder.

Sætning 5.1 Lad G være et område, dvs. G er åben og stisammenhængende, og lad f : int D^{2} → G være en konform afbildning. Da er følgende udsagn ækvivalente:

1): f har en kontinuert udvidelse til D^{2}.

2): Der findes en kontinuert surjektiv afbildning φ : S^{1} → ∂G.

3): ∂G er lokalt sammenhængende.

4): ℂ − G er lokalt sammenhængende.

Bevis: Vi vil ikke bevise sætningen her, men blot henvise til [2].

■

Vi skal også bruge begrebet svagt lokalt sammenhængende og et tilhørende lemma om dette.

Definition 5.2 Lad X være et topologisk rum, og lad x ∈ X. Da siges X at være svagt lokalt sammenhængende i x såfremt følgende gælder: Hvis U er en omegn af x, da findes en sammenhængende mængde A og en omegn V af x således at x ∈ V ⊆ A ⊆ U.

Lemma 5.3 Lad X være svagt lokalt sammenhængende i alle sine punkter. Da er X lokalt sammenhængende.

Bevis: Lad U være en åben delmængde af X, og lad C være en sammenhængskomponent for U, og lad x ∈ C. Da findes x ∈ V ⊆ A ⊆ U med A sammenhængende og V åben. Da A er sammenhængende har vi at x ∈ V ⊆ A ⊆ C. Da V er en omegn af x i C, slutter vi at x er et indre punkt i C. C er altså åben, så sætning 25.3 i [1] giver nu at X er lokalt sammenhængende.

■

Lad α : S^{1} → ℝ^{2} være en kontinuert afbildning. Med O noteres den ubegrænsede stikomponent af ℝ^{2} − α(S^{1}). Vi kalder I(α) = ℝ^{2} − O for det til α hørende indre område.

Lemma 5.4 Lad Y og X være peanokontinua med Y ⊆ X, og lad C være samlingen af stikomponenter af X − Y, lad ydermere C′ ⊆ C. Da gælder at Z = Y ∪ ⋃_{C∈C′} C er et peanokontinuum.

Bevis: Vi skal vise at Z er kompakt, metrisk, sammenhængende og lokalt sammenhængende. Da Z er en delmængde af et metrisk rum, er Z født metrisk.

Vi viser at Z er kompakt: Vi bemærker først at X er lokalt stisammenhængende, og X − Y er en åben delmængde af X. Dette gælder da Y er kompakt, og X er hausdorff. Sætning 25.4 i [1] giver at alle C ∈ C er åbne. Dermed er X − ⋃_{C∈C−C′} C = Z afsluttet i X. Da X er kompakt, er Z kompakt.

Vi viser nu at Z er stisammenhængende og dermed sammenhængende. Da Y er et peanokontinuum og dermed stisammenhængende, er det nok at vise at for ethvert x ∈ C hvor C ∈ C′, findes et y ∈ Y så y er forbundet med x relativt til Z. Lad derfor C ∈ C′ og x ∈ C være givet, og vælg y_{0} ∈ Y. Da X er stisammenhængende, findes en sti α : I → X fra y_{0} til x. Da C er åben i X, er α^{−1}(X − C) afsluttet i I og dermed kompakt. Da α^{−1}(X − C) er kompakt, findes t = min{α^{−1}(X − C)}. Hvis α(t) ∉ X − Y, ville der findes C_{0} ∈ C med C_{0} ≠ C og α(t) ∈ C_{0}. Men dette strider mod at C var en stikomponent af X −Y. Vi kan derfor bruge y = α(t) ∈ Y da α : [0, t] → Z er en sti der forbinder x med y.

Det at vise at Z er lokalt sammenhængende, er lidt sværere. Vi viser at Z er svagt lokalt sammenhængende i alle sine punkter. Alle stikomponenterne i X −Y er åbne delmængder af X. De er derfor også lokalt stisammenhængende da X er det. Heraf følger at hvis x ∈ Z − Y, da er Z lokalt sammenhængende i x. Vi kan derfor nøjes med at betragte x ∈ Y.

Antag altså at x ∈ Y, og lad ε > 0 være givet. Da er B(x, ε) ∩ Y en åben omegn af x i Y. Y er lokalt stisammenhængende. Vi kan derfor finde ε > η > 0 så Y ∩ B(x, η) er stisammenhængende. Da X også er lokalt stisammenhængende, kan vi finde η > δ > 0 så B(x, δ) er stisammenhængende.

Lad nu y ∈ Z ∩B(x, δ). Vi kan gerne antage at y ∉ Y. Vi har altså et C ∈ C′ med y ∈ C. Vælg en sti α : I → B(x, δ) fra y til x. Sæt t = min{α^{−1}(X − C)}. Da er α |_{[0,t]} en sti fra y til α(t) ∈ Y ∩ B(x, δ). Da Y ∩ B(x, η) er stisammenhængende, findes en sti β : I → Y ∩ B(x, η) fra α(t) til x. Dermed er α |_{[0,t]} ·β en sti fra y til x i Y ∩ B(x, η). Vi har dermed vist at ethvert y ∈ Z ∩ B(x, δ) kan forbindes til x med en sti der løber i Z ∩ B(x, η).

For hvert y ∈ Z ∩ B(x, δ) vælges en sti α_{y} fra y til x med α_{y}(I) ⊆ Z ∩ B(x, η). Da er ⋃_{y∈Z∩B(x,δ)} α_{y}(I) en sammenhængende mængde. Der gælder Z ∩ B(x, δ) ⊆ ⋃_{y∈Z∩B(x,δ)} α_{y}(I) ⊆ Z ∩ B(x, η). Vi har altså at Z er svagt lokalt sammenhængende i x. Lemma 5.3 giver nu at Z er lokalt sammenhængende som ønsket.

■

Heraf følger umiddelbart at I(α) er et peanokontinuum når vi har en sti α : I → ℝ^{2}.

Definition 5.5 En delmængde X ⊆ ℝ^{n} kaldes stjerneformet hvis der findes et x_{0} ∈ X således at for ethvert x ∈ X vil også liniestykket [x_{0}, x] ligge i X.

X ⊆ ℝ^{n} kaldes lokalt stjerneformet hvis ethvert punkt i X har en stjerneformet omegn.

Vi bemærker at hvis U ⊆ ℝ^{n} er en åben delmængde, da er U lokalt stjerneformet da åbne kugler i ℝ^{n} er stjerneformede (endda konvekse).

Lemma 5.6 Lad X være et lokalt stjerneformet rum, da vil enhver sti i X være homotop med en stykkevis lineær sti i X. Vi kan ydermere finde en homotopi relativt til endepunkterne.

Bevis: Lad X være lokalt stjerneformet, og lad α : I → X være en sti. Til hvert t ∈ I vælger vi en stjerneformet omegn U_{t} af α(t). Dermed er U = {U_{t} : t ∈ I} en åben overdækning af α(I), så {α^{−1}(U_{t}) : t ∈ I} er en åben overdækning af I. Da I er kompakt og metrisk, har overdækningen et lebesguetal. Vælg N ∈ ℤ_{+} så 1/N er et lebesguetal for overdækningen. Sæt α_{k} = α |_{[k−1/N,k/N]} for 1 ≤ k ≤ N. Der findes et t ∈ I så [k − 1/N, k/N] ⊆ α^{−1}(U_{t}), og dermed vil billedet af α_{k} ligge i U_{t}. Resultatet følger nu umiddelbart når vi bemærker at der klart gælder π_{1}(Y) = 1 når Y er stjerneformet, og at vilkårlige to punkter i et stjerneformet rum er forbundet med en stykkevis lineær sti. At vi endda kan finde en homotopi relativt til endepunkterne, følger også umiddelbart af dette.

■

Lemma 5.7 Lad X ⊆ ℝ^{2} være lokalt stjerneformet. Hvis π_{1}(X) ≠ 1, da findes en polygonal, essentiel, enkelt lukket kurve i X.

Bevis: Lad α : I → X være en løkke med [α] ≠ 1. Ifølge lemma 5.6 er α homotop med en stykkevis lineær sti γ med γ(0) = γ(1). Specielt har vi [γ] = [α] ≠ 1. Vi kan opfatte γ(I) som en endelig graf i planen. Vi sammentrækker nu alle de kanter i γ(I) hvor sammentrækningen kan forløbe helt indenfor γ(I). Det lyder måske lidt kryptisk. Ideen er at γ(I) kan have ”udvækster”i form af træer. Disse kan vi trække sammen til et punkt i γ(I), og sammentrækningen foregår helt indenfor γ(I). Det er klart at dette ikke har nogen indflydelse på γ’s homotopi klasse. Basispunktet kunne selvfølgelig tænkes at ligge på en af disse ”udvækster”. Vi kan derfor blive nødsaget til at flytte basispunktet. Det er dog uden betydning da den nye π_{1}(X) kun afviger med en isomorfi. En endelig graf hvor vi har fjernet alle sådanne udvækster, består af en endelig samling af enkelt lukkede kurver samt kanter der forbinder disse. Der må da findes en inderste enkelt lukket kurve γ_{1}, dvs. at alle de andre kurver snitter tomt med I(γ_{1}) - der kan godt være mange inderste kurver. Der er nu to muligheder, enten er [γ_{1}] = 1, eller også er [γ_{1}] ≠ 1. Hvis [γ_{1}] ≠ 1 er vi færdige. Hvis ikke kan vi sammentrække γ_{1} til et punkt indenfor X. Vi kan så vælge en ny inderste kurve. Fortsætter vi på denne måde, må vi på et eller andet tidspunkt finde en enkelt lukket kurve γ_{n} med [γ_{n}] ≠ 1, thi ellers ville [γ] = 1.

■

Dette lemma giver anledning til vores første mindre resultat om fundamentalgruppen af plane mængder.

Korollar 5.8 Lad X ⊆ ℝ^{2} være lokalt stjerneformet. Hvis π_{1}(X) ≠ 1, da vil der findes en injektiv homomorfi i : ℤ → π_{1}(X).

Bevis: Ifølge lemma 5.7 findes en essentiel enkelt lukket kurve γ i X. Da γ er essentiel, må I(γ) − (I(γ) ∩ X) ≠ ∅. Lad x ∈ I(γ) − (I(γ) ∩ X), da findes en retraktion r : ℝ^{2} − x → γ(I) og da x ∉ X, vil r|_{X} : X → γ(I) være en retraktion. Heraf følger at ℤ ≅ π_{1}(γ(I)) ↪ π_{1}(X).

■

Specielt kan fundamentalgruppen af en plan, lokalt stjerneformet mængde, herunder alle åbne mængder i planen, ikke være endelig.

Jeg ved ikke om ovenstående resultat er kendt. Jeg er i hvertfald ikke stødt på det før.

Definition 5.9 Lad X ⊆ ℝ^{2}. Ved et hul i X forstås en stikomponent af ℝ^{2} − X.

Sætning 5.10 Lad X ⊆ ℝ^{2} være et peanokontinuum med cardX > 2. Ethvert hul i X pånær et er homeomorf med int D^{2}. Det sidste hul som er den ubegrænsede stikomponent af ℝ^{2} − X, er homeomorf med den udprikkede, åbne cirkelskive.

Bevis: Lad H være et hul i X. Bemærk at ℝ^{2} − X er en åben delmængde af det lokalt stisammenhængende rum ℝ^{2} så sætning 25.4 i [1] giver at H er åben i ℝ^{2}. Vi indlejrer ℝ^{2} i S^{2}. For ikke at skulle behandle det ubegrænsede hul for sig, vil vi i det tilfælde betragte H ∪ {∞} ⊆ S^{2} istedet. Vi viser at π_{1}(H) = 1, thi da giver Riemanns afbildningssætning det ønskede resultat. Antag derfor at π_{1}(H) ≠ 1. Lemma 5.7 giver at der findes en essentiel, polygonal, enkelt lukket kurve γ i H. Schöenflies sætning giver at γ deler S^{2} i to åbne cirkelskiver U_{1} og U_{2}, begge med rand γ. Både U_{1} og U_{2} må indeholde punkter fra S^{2} − H thi hvis en af dem ikke gjorde, kunne vi sammentrække γ til et punkt henover denne i modstrid med at γ var essentiel i H. Dermed må både U_{1} og U_{2} indeholde punkter fra X, antag nemlig at f.eks. U_{1} ∩ X = ∅. Da vil U_{1} ∪ γ = \overline{U}_{1} ⊆ S^{2} − X. Da \overline{U}_{1} er stisammenhængende, og \overline{U}_{1} ∩ H ≠ ∅, vil U_{1} ⊂ \overline{U}_{1} ⊆ H i modstrid med at U_{1} indeholder punkter fra S^{2} − H. At både U_{1} og U_{2} indeholder punkter fra X, er i modstrid med at X er stisammenhængende.

■

Sætning 5.11 Lad X ⊆ ℝ^{2} være et peanokontinuum. Hvis X har uendeligt mange huller, da vil diametrene af disse huller udgøre en nulfølge.

Bevis: Antag at det ikke gælder. Lad (H_{n})_{n∈ℤ_{+}} være familien af huller i X hvor H_{i} ≠ H_{j} for i ≠ j, og vælg følger (P_{n})_{n∈ℤ_{+}} og (Q_{n})_{n∈ℤ_{+}} således at P_{i}, Q_{i} ∈ H_{i}, og d(P_{i}, Q_{i}) > ε for alle i ∈ ℤ_{+}. Da alle hullerne pånær et ligger i en stor kompakt cirkelskive, vil både (P_{n}) og (Q_{n}) kunne udtyndes til delfølger der konvergerer.

Udtynd først (P_{n}) så vi får en konvergent delfølge (P′_{n}). Konstruer en delfølge (Q′_{n}) af (Q_{n}) ved hver gang P_{i} er med i delfølgen (P′_{n}) at tage Q_{i} med i (Q′_{n}). Vi har så to nye følger (P′_{n}) og (Q′_{n}). På samme måde som før udtynder vi nu (Q′_{n}) og (P′_{n}), til (Q′′_{n}) og (P′′_{n}) så (Q′′_{n}) er konvergent. Både (P′′_{n}) og (Q′′_{n}) er så konvergente, og vi noterer deres grænser med P henholdsvis Q. Vi dropper nu ”′′“erne på (P′′_{n}) og (Q′′_{n}), så notationen ikke bliver for tung da vi ikke skal bruge de oprindelige følger mere. Efter en eventuel homeomorfi af planen kan vi gerne antage at P = (0, 2) og Q = (0, −2). Vi kan også smide starten af følgerne (P_{n}) og (Q_{n}) væk så P_{i} ∈ B((0, 2), 1) og Q_{i} ∈ B((0, −2), 1) for alle i. Vælg nu for hvert P_{i} en polygonal sti α_{i} : I → H_{i} fra P_{i} til Q_{i} der ikke skærer sig selv.

Figur 1: Δ′_{i}

Vi kan uden tab af generalitet antage at hver kurve α_{i} kun skærer randen af B((0, 2), 1) en gang og ligeledes med B((0, −2), 1). Dette kan opnås ved kun at betragte en del af den oprindelige kurve α_{i} såfremt denne ikke opfylder betingelserne selv. Vi vil så være nødt til passende at omdefinere vores P_{i} og Q_{i}. Det er klart at vi så ikke længere kan håbe på at vores to følger konvergerer, men det betyder ikke så meget da vi ikke skal bruge konvergensen mere i beviset. Bemærk at dette afviger fra det oprindelige bevis der uden denne mindre tilføjelse er forkert.

Sæt R_{i} til at være det første skæringspunkt med x-aksen for α_{i}. Dette giver en begrænset følge (R_{n}) på x-aksen. Vi kan nu udtynde ((P_{n}), (Q_{n}), (α_{n}), (R_{n})) således at (R_{n}) konvergerer monotont - Vi betegner delfølgerne med samme symboler som de oprindelige følger da de oprindelige alligevel ikke bruges mere i beviset. Vi sætter R = lim R_{n}.

Vi konstruerer nu nogle enkelt lukkede kurver som følger: Forbind P_{i} med P_{i+1} ved hjælp af en kurve γ_{i} der ikke skærer sig selv, og som forløber helt indenfor B((0, 2), 1). Forbind P_{i} med R_{i}, og P_{i+1} med R_{i+1} ved hjælp af α_{i} henholdsvis α_{i+1}. Forbind R_{i} med R_{i+1} ved hjælp af liniestykket [R_{i}, R_{i+1}] på x-aksen.

Disse kurver danner tilsammen en enkelt lukket kurve. Enkle lukkede kurver i planen omkrandser enkeltsammenhængende områder. Vi benævner disse områder Δ′_{i}.

Vi skal for senere brug undersøge hvordan α_{j}’erne løber i forhold til hvert Δ′_{i}. En α_{j} kurve kan befinde sig i Δ′_{i} på to måder. For det første kan den starte sit forløb i Δ′_{i}, for så på et tidspunkt at forlade Δ′_{i} ved at krydse γ_{i}. Disse forløb er ikke interessante for os. Den anden måde hvorpå α_{j} kan befinde sig i Δ′_{i}, er ved at krydse liniestykket [R_{i}, R_{i+1}]. Ved at antage generel position må vi have at α_{j} forlader Δ′_{i} ved igen at krydse [R_{i}, R_{i+1}]. De stykker af α_{j} der på denne måde befinder sig i Δ′_{i}, danner altså en slags halvcirkler.

Vi konstruerer nu nye enkelt lukket kurver som følger: Forbind P_{i} med P_{i+1} ved hjælp af γ_{i}. Forbind P_{i} med Q_{i}, og P_{i+1} med Q_{i+1} ved hjælp af α_{i} henholdsvis α_{i+1}. Forbind Q_{i} med Q_{i+1} ved hjælp af en kurve η_{i} der ikke skærer sig selv, γ_{i} ,α_{i} eller α_{i+1} pånær i Q_{i} og Q_{i+1}, og som forløber helt indenfor B((0, −2), 1).

Disse kurver danner tilsammen en enkelt lukket kurve for hvert i ∈ ℤ_{+}. Områderne i planen der omkrandses af disse enkelt lukkede kurver, benævnes Δ_{i}.

Vi konstruerer nu en sti ω_{i} fra R_{i} til R_{i+1} for hvert i ∈ ℤ_{+} der forløber helt indenfor Δ_{i}. ω_{i} konstrueres som følger: Start i R_{i} og fortsæt ud af x-aksen mod R_{i+1}. Lige inden den første halvcirkel stopper vi op. Sådanne halvcirkler ligger i et hul i X, og et hul er åbent. Vi kan derfor vælge en sti der løber parallelt med halvcirklen så:

1) Stien er helt indeholdt i det givne hul.

2) Stien er pånær i start- og ende-punkterne helt indeholdt i Δ_{i}.

Fortsættes på denne måde med at rejse langs x-aksen og stier parallelle til de yderste halvcirkler, får vi en sti ω_{i}. Da R_{i} og R_{i+1} tilhører hver sit hul, må ω_{i} skærer X. Per konstruktion af ω_{i} vil alle disse skæringspunkter ligge på x-aksen. Vælg for hvert i ∈ ℤ_{+} et punkt S_{i} ∈ Δ_{i} ∩ X ∩ [R_{i}, R_{i+1}]. Følgen (S_{n}) konvergerer klart mod R. Da X er afsluttet, vil R ∈ X.

Vi påstår nu at X ikke er lokalt stisammenhængede i R. Betragt B(R, δ) ∩ X for givet δ > 0. Da lim S_{n} = R, findes et i ∈ ℤ_{+} så S_{i} ∈ B(R, δ) ∩ X. En sti fra R til S_{i} må krydse randen af Δ_{i}. Hvis stien skal ligge i B(R, δ) ∩ X, kan den ikke krydse α_{i} eller α_{i+1} da disse er indeholdt i ℝ^{2} − X. Stien må så krydse enten γ_{i} eller η_{i}. Nu var γ_{i} ⊆ B((0, 2), 1) og η_{i} ⊆ B((0, −2), 1), og R lå på x-aksen. Hvis δ < 1, er det derfor ikke muligt at finde en sti fra R til S_{i} i B(R, δ) ∩ X. X er altså ikke lokalt stisammenhængende i R i strid med at X er et peanokontinuum. Vi konkluderer at diam H_{n} → 0.

■

Figur 2: Δ_{i}

31 Sætning 5.12 Lad X ⊆ ℝ^{2} være et delrum, og lad α : S^{1} → X. Hvis α : S^{1} → X er nulhomotop, da er α : S^{1} → X ∩ I(α) nulhomotop.

Bevis: Vi betragter ℝ^{2} ⊆ S^{2}. Vi sætter O = S^{2} − I(α), dvs. O er stikomponenten af S^{2} − α(I) indeholdende ∞. Sætning 5.10 giver at der findes en homeomorfi f : int D^{2} → O. Ved nærmere gennemgang af beviset for sætning 5.10 ser vi at vi ydermere kan vælge homeomorfien f således at f er en konform afbildning. Sætning 5.1 giver at der findes en kontinuert udvidelse f̂: D^{2} → \overline{O} med f̂(∂D^{2}) = ∂(O). Da D^{2} er kompakt, og \overline{O} er hausdorff, er f̂ en afsluttet afbildning. For at se det lader vi A ⊆ D^{2} være en afsluttet delmængde. Da D^{2} er kompakt, er A kompakt. Dermed er f̂(A) kompakt. Da \overline{O} er hausdorff, er f̂(A) afsluttet. Da f̂ også er surjektiv, er f̂ specielt en kvotientafbildning. Sæt d = f^{−1}(∞), og lad r : D^{2} −d → ∂D^{2} være en retraktion . Da f̂ er en kvotient afbildning, inducerer r en retraktion R : \overline{O} − ∞ → ∂\overline{O} . Vi kan udvide denne retraktion til en retraktion R̂ : ℝ^{2} → I(α). Dette gøres ved at sætte R̂(x) = x for x ∈ I(α). Kontinuiteten følger umiddelbart af tuborg lemmaet, og afbildningen R̂ er så klart en retraktion. Lad nu H : S^{1} × I → X være en homotopi der trækker α sammen til et punkt x_{0} ∈ X indenfor X. Da er R̂∘H : S^{1}×I → X∩I(α) en homotopi. Denne homotopi har den egenskab at R̂ ∘ H(s, 0) = α(s) og R̂ ∘ H(s, 0) = R̂(x_{0}). Med andre ord er R̂∘H en homotopi der trækker α sammen til et punkt R̂(x_{0}) ∈ X ∩I(α) indenfor X ∩ I(α) som ønsket.

■

Sætning 5.13 Lad X ⊆ ℝ^{2} være et peanokontinuum. Da er X en deformationsretrakt af et rum X′ hvor X′ fås ved at fjerne det indre af kvadrater i et større kvadrat i ℝ^{2}. Hvis der er uendelig mange huller i X, da vil diametrene på disse kvadrater danne en nulfølge.

Bevis: Da X er kompakt, findes et stort kvadrat K_{0} der indeholder X. Lad H_{0}, H_{1}, …, H_{n}, … være en nummerering af hullerne i X sådan at H_{0} er det ubegrænsede hul. Da hullerne er åbne, kan vi til hvert H_{i} med i > 0 finde et lille åbent kvadrat K_{i} indeholdt i H_{i}. Sæt X′ = K_{0} − ⋃_{i>0} K_{i}. Ifølge sætning 5.10 findes homeomorfier f_{i} : int D^{2} → H_{i}, og disse inducerer kvotient afbildninger f̂_{i} : D^{2} → \overline{H}_{i} der er udvidelser af f_{i}’erne. Vi kan nu finde deformationsretrakter F_{i} : D^{2} − f^{−1}(K_{i}) × I → D^{2} med F_{i}(D^{2} − f^{−1}(K_{i}), 1) = ∂D^{2}. Betragt nu f̂_{i} × id : D^{2} − f^{−1}(K_{i}) × I → \overline{H}_{i} − K_{i} × I. f̂_{i} × id er klart kontinuert og surjektiv, og da D^{2} − f^{−1}(K_{i}) × I er kompakt, og \overline{H}_{i} − K_{i} × I er hausdorff, er f̂_{i} × id også afsluttet. Vi har specielt at f̂_{i} × id er en kvotient afbildning. Det følger nu at deformationsretrakterne F_{i} på D^{2} − f^{−1}(K_{i}) × I’erne inducerer deformationsretrakter F̂_{i} på \overline{H}_{i} − K_{i} × I med F̂_{i}(\overline{H}_{i} − K_{i} × I, 1) = ∂\overline{H}_{i}. Vi kan let udvide F̂_{i}’erne til hele X′ ved blot at sætte F̂_{i}(x, t) = x når x ∈ X′ − \overline{H}_{i}. Ifølge sætning 5.11 vil diametrene på hullerne danne en nulfølge. Til ethvert n ∈ ℤ_{+} findes derfor kun endelig mange huller H_{n_{1}}, …, H_{n_{mn}} med 1/(n − 1) ≥ diam H_{j} > 1/n (diam H_{j} > 1 for n = 1). Sæt T_{n} = ⋃_{i=1}^{n−1} H_{i_{1}} ∪ … ∪ H_{i_{m_{i}}}. Vi definerer først G_{n} : X′ × I → X′ ved:

G_{n}(x, t) = { F̂_{n_{1}}|_{X′−T_{n}}(x, m_{n}t)  for t ∈ [0, 1/m_{n}] F̂_{n_{2}}|_{X′−(T_{n}∪H_{n_{1}})}(x, m_{n}t − 1)  for t ∈ [1/m_{n}, 2/m_{n}] ⋮ F̂_{n_{mn}}|_{X′−(T_{n}∪H_{n_{1}}∪...∪H_{n_{mn−1}})}(x, m_{n}t − (m_{n} − 1)) for t ∈ [(m_{n} − 1)/m_{n}, 1]

Også definerer vi R_{n} : X′ × I → X′ ved:

R_{n}(x, t) = { G_{1}(x, 2t)  for t ∈ [0, 1/2] G_{2}(x, 6t − 3)  for t ∈ [1/2, 2/3] ⋮ G_{n}(x, (n^{2} + n)t − (n^{2} − 1)) for t ∈ [(n − 1)/n, n/(n + 1)] x  ellers

Følgen (R_{n}) vil da klart konvergerer uniformt mod:

R(x, t) = { G_{1}(x, 2t)  for t ∈ [0, 1/2] G_{2}(x, 6t − 3)  for t ∈ [1/2, 2/3] ⋮ G_{n}(x, (n^{2} + n)t − (n^{2} − 1)) for t ∈ [(n − 1)/n, n/(n + 1)] ⋮

Da d(R_{n}(x, t), R(x, t)) = 0 for t ∈ [0, n/(n + 1)], og d(R_{n}(x, t), R(x, t)) ≤ 1/n ellers (der flyttes kun på punkter i huller med diameter ≤ 1/n). Vi har derfor at R er kontinuert. R er så den ønskede deformationsretrakt.

■

5.2 Sierpinskitæppet

Den plane delmængde der går under navnet sierpinskitæppet, og det relaterede begreb delvist udfyldt sierpinskitæppe, spiller en væsentlig rolle i beviset for specialets hovedsætning. Vi vil i dette afsnit kort præsentere nogle begreber og resultater der relaterer sig til sierpinskitæppet og delvist udfyldte sierpinskitæpper.

Figur 3: Sierpinskitæppet

Sierpinskitæppet kan beskrives som følger: Start med et kvadrat S_{0}, del det i ni ligestore kvadrater, fjern det indre af det midterste kvadrat, og kald den resulterende mængde for S_{1}. Del derefter de 8 overlevende kvadrater i S_{1} i ni lige store kvadrater, fjern det indre af de midterste kvadrater, og kald resultatet S_{2}. Fortsæt på denne måde. Sierpinskitæppet S er så givet ved S = ⋂_{i=0}^{∞} S_{i}.

Et delvist udfyldt sierpinskitæppe S′ fås udfra samme iteration med den forskel at man eventuelt undlader at fjerne det indre af nogle af kvadraterne. Man får så en anden følge (S′_{n}) af delmængder af planen sådan at S′ = ⋂_{i=0}^{∞} S′_{i}. Følgen (S′_{n}) kaldes en definerende følge for S′. Det er klart at sierpinskitæppet selv er et delvist udfyldt sierpinskitæppe med definerende følge (S_{n}).

Bemærkning 5.14 Det er et resultat fra [6] at man kan styre processen i sætning 5.13 sådan at mængden X′ bliver homeomorf med et delvist udfyldt sierpinskitæppe. Beviset er dog meget besværligt, og vi vil ikke gennemgå beviset.

Sætning 5.15 Lad S være et delvist udfyldt sierpinskitæppe med definerende følge (S_{n}). Da gælder der for en løkke α : I → S at α er nulhomotop i S netop hvis α er nulhomtop i alle S_{n}’erne.

Dette er sætning 16 i [7]. Vi vil ikke vise denne sætning da den kræver et ret omfangsrigt set-up. Vi vil derfor blot henvise til [7] og [6].

■

6 Simpliciale komplekser m.m.

6.1 Simpliciale komplekser

Definition 6.1 Ved et simplicialt kompleks K forstås en mængde af knudepunkter {v} samt visse ikke-tomme endelige delmængder S = {v_{1}, …, v_{n}} af knudepunkter kaldet simplexer sådan at:

S1): {v} er et simplex for alle v ∈ K.

S2): Hvis S = {v_{1}, …, v_{n}} er et simplex i K, da er enhver ikke-tom delmængde S′ ⊆ S også et simplex.

Hvis S = {v_{1}, …, v_{n}} er et simplex, siger vi at S er et n−1-dimensionalt simplex udspændt af v_{1} …, v_{n}. Vi vil ofte skrive S = [v_{1}, …, v_{n}] for simplexet udspændt af v_{1} …, v_{n}.

En delmængde L ⊆ K af et simplicialt kompleks kaldes et delkompleks hvis L selv er et simplicialt kompleks.

En afbildning f : K_{1} → K_{2} mellem simpliciale komplekser kaldes simplicial hvis den sender knudepunkter i knudepunkter.

Vi kan udfra et simplicialt kompleks bygge et topologisk rum. Lad K være et simpicialt kompleks. Ved realiseringen |K| af K forstås mængden af afbildninger α fra K’s knudepunkter ind i I sådan at:

1): {v ∈ K | α(v) ≠ 0} er et simplex i K.

2): ∑_{v∈K} α(v) = 1 for alle α.

Givet et simplex S ∈ K definerer vi det afsluttede simplex |S| ∈ |K| ved |S| = {α ∈ |K| | α(v) ≠ 0 ⇒ v ∈ S}.

Til hvert knudepunkt v ∈ K definerer vi en afbildning φ_{v} : |K| → I kaldet det v’te barycentriske koordinat ved φ_{v}(α) = α(v). Givet et n-simplex S = [v_{1}, …, v_{n+1}] har vi en bijektiv korrespondance mellem |S| og Δ^{n} hvor Δ^{n} = {(x_{1}, …, x_{n+1}) ∈ ℝ^{n+1} | x_{i} ∈ I og ∑ x_{i} = 1} givet ved α ↦ (φ_{v_{1}}(α), …, φ_{v_{n+1}}(α)). Injektiviteten følger af definitionen af |S|, og det er klart at vi givet x ∈ Δ^{n} kan finde et α med α ∈ |S| der opfylder 1), 2) samt α ↦ x. Vi giver |S| en topologi ved at erklærer denne bijektive afbildning for en homeomorfi. Vi udstyrer så |K| med finaltopologien for alle inklusionsafbildningerne |S| ↪ |K| hvor S er et simplex i K. Et topologisk rum X der er homeomorft med et rum |K| hvor K er et simplicialt kompleks, kaldes et polyeder.

Til hvert knudepunkt v i K vil vi knytte afbildningen v ∈ |K| givet ved

v(v′) = \{ \begin{matrix}0 & for v ≠ v′ \\ 1 & for v = v′ \end{matrix}

Vi kan så skrive et vilkårligt α ∈ |K| på følgende måde α = ∑_{i} φ_{v_{i}}(α)v_{i}.

Givet et simplex S i K kaldes < S >= {α ∈ |K| | α(v) ≠ 0 ⟺ v ∈ S} for det åbne simplex. Det åbne simplex < S > er åbent i |S|, men ikke nødvendigvis i |K|. Vi har følgende vigtige egenskab for polyeder |K|: Givet et α ∈ |K| findes et entydigt simplex S ∈ K så α ∈< S >. Hvis α ∈< S >, da kaldes S for bæreren af α.

Til hvert knudepunkt v ∈ K definerer vi stjernen af v til at være mængden St(v) = {α ∈ |K| | α(v) ≠ 0}.

Definition 6.2 Lad X være et topologisk rum, og lad K være et simplicialt kompleks. To afbildninger f, g : X → |K| siges at være tilstødende hvis vi for alle x ∈ X har at f(x) og g(x) tilhører samme simplex.

Lemma 6.3 Lad X være et topologisk rum, lad K være et simplicialt kompleks, og lad f, g : X → |K| være kontinuerte afbildninger. Da gælder hvis f og g er tilstødende, da er de homotope.

Bevis: For bevis se [5] App. 1, §1.3.

6.2 Nerven

Inden vi definerer nerven af en åben overdækning af et topologisk rum, minder vi lige om definitionen af nogle generelle topologiske begreber.

Definition 6.4 Lad A og B være to overdækninger af et topologisk rum X. Hvis B har den egenskab at når B ∈ B, så findes A ∈ A så B ⊆ A, da siges B at forfine A, og vi skriver B ≤ A.

Definition 6.5 En overdækning af et topologisk rum X kaldes lokalt endelig hvis ethvert punkt i X har en omegn der snitter tomt med alle pånær endelig mange elementer fra overdækningen.

Definition 6.6 Lad U være en åben overdækning af et topologisk rum X. Ved en deling af enheden af X associeret til U forstås kontinuerte afbildninger ψ_{U} : X → I for hvert U ∈ U sådan at:

1): ∑_{U∈U′} ψ_{U}(x) = 1 for alle x ∈ X.

2): supp ψ_{U} ⊆ U.

En åben overdækning af et topologisk rum der giver anledning til en deling af enheden, kaldes en normal overdækning.

En deling af enheden kaldes lokalt endelig hvis familien {supp ψ_{U}}_{U∈U} er en lokalt endelig overdækning.

Vi får brug for følgende sætning:

Sætning 6.7 Enhver normal overdækning U af et topologisk rum X giver anledning til en lokalt endelig deling af enheden af X associeret til U.

Bevis: For bevis se [5] App.1 §3.1 sætning 3.

■

Vi vil i det følgende definere nerven af en åben overdækning, og se på hvordan nerverne af forskellige overdækninger relaterer til hinanden. Lad X være et topologisk rum, og lad U være en åben overdækning af X. Vi associerer til U et simplicialt kompleks N(U) på følgende måde: Elementerne U ∈ U er knudepunkterne i N(U). En endelig samling af elementer U_{0}, …, U_{n} fra U udspænder et simplex netop hvis U_{0} ∩ … ∩ U_{n} ≠ ∅. Vi kalder |N(U)| for nerven af U.

Lad nu V og U være to åbne overdækninger af X med U ≤ V. Da kan vi definere simpliciale afbildninger p_{UV} : N(V) → N(U) ved at V ∈ V sendes over i et U ∈ U hvor V ⊆ U. Disse afbildninger inducerer kontinuerte afbildninger |N(V)| → |N(U)| - disse afbildninger benævner vi også med p_{UV}. Vi kalder disse afbildninger for projektioner. Da der normalt vil være mange muligheder for at vælge et U med disse egenskaber, vil der også være mange afbildninger, men vi skal lige straks se at p_{UV} er entydig op til homotopi.

Sætning 6.8 Lad X være et topologisk rum, og lad U og V være åbne overdækninger af X med U ≤ V. Lad p, p′ : |N(V)| → |N(U)| være projektioner. Da er p og p′ tilstødende og dermed homotope.

Bevis: Lad x ∈ |N(V)| da |N(V)| er et simplicialt kompleks, kan vi finde et simplex [V_{0}, …, V_{n}] ∈ N(V) med x ∈< [V_{0}, …, V_{n}] >. Sæt p(V_{i}) = U_{i} og p′(V_{i}) = U′_{i} for i = 0, …, n. Da [V_{0}, …, V_{n}] er et simplex i N(V), er V_{0} ∩…∩V_{n} ≠ ∅. Heraf følger at (U_{0} ∩ … ∩ U_{n}) ∩ (U′_{0} ∩ … ∩ U′_{n}) ⊇ V_{0} ∩ … ∩ V_{n} ≠ ∅, så U_{0}, …, U_{n}, U′_{0}, …, U′_{n} udspænder et simplex i N(U). Vi har at:

p(x) ∈ [U_{0}, …, U_{n}] ⊆ [U_{0}, …, U_{n}, U′_{0}, …, U′_{n}]

og

p′(x) ∈ [U′_{0}, …, U′_{n}] ⊆ [U_{0}, …, U_{n}, U′_{0}, …, U′_{n}]

hvilket viser at p og p′ er tilstødende. Lemma 6.3 giver så at p og p′ er homotope.

■

Vi bemærker at hvis U ≤ V og V ≤ W og hvis p_{UV} : |N(V)| → |N(U)|, og p_{VW} : |N(W)| → |N(V)| er projektioner, da er også p_{UV}p_{VW} : |N(W)| → |N(U)| en projektion.

En kontinuert afbildning p_{U} : X → |N(U)| kaldes en kanonisk afbildning hvis der for alle U ∈ U gælder p^{−1}(St(U)) ⊆ U. Vi har følgende lemma om eksistensen af kanoniske afbildninger.

Lemma 6.9 Lad X være et topologisk rum, lad U = {U_{i}} være en normal overdækning af X, og lad {ψ_{U_{i}}} være en lokalt endelig deling af enheden af X associeret til U. Da findes der en kanonisk afbildning p_{U} : X → |N(U)|.

Bevis: Definer p_{U} : X → |N(U)| ved fastsættelsen p_{U}(x) = ∑_{i} ψ_{U_{i}}(x)U_{i}. Bemærk at ved denne fastsættelse er p_{U}(x)(U_{i}) = ψ_{U_{i}}(x) for alle U_{i} ∈ U. Til hvert x ∈ X vælger vi nu en omegn der snitter tomt med alle pånær endelig mange af supp ψ_{U_{i}}’erne. Hvert x har så en omegn der afbildes ind i et endeligt delkompleks af |N(U)|. Dette delkompleks kan indlejres i et endeligt dimensionalt reelt vektorrum ved en homeomorfi der respekterer summen. Heraf følger at p_{U} er kontinuert på alle omegnene og dermed at p_{U} er kontinuert på hele X. Lad nu x ∈ p_{U}^{−1}(St(U_{i})) = p_{U}^{−1}({α ∈ |N(U)| | α(U_{i}) ≠ 0}), dvs. ψ_{U_{i}}(x) = p_{U}(x)(U_{i}) ≠ 0, dvs x ∈ supp ψ_{U_{i}} ⊆ U som ønsket.

■

Sætning 6.10 Lad p_{UV} : |N(V)| → |N(U)| være en projektion, og lad p_{V} : X → |N(V)| være en kanonisk afbildning. Da er p_{UV}p_{V} : X → |N(U)| en kanonisk afbildning.

Bevis: Lad y ∈ |N(V)|, og p_{UV}(y) ∈ St(U). Vi finder et simplex [V_{0}, …, V_{n}] med y ∈< [V_{0}, …, V_{n}] >. Da vil p_{UV}(y) ligge i det indre af et simplex udspændt af en delmængde af {p_{UV}(V_{0}), …, p_{UV}(V_{n})}. Da p_{UV}(y) ∈ St(U), må der findes i ∈ {0, …, n} så p_{UV}(V_{i}) = U. Vi får derfor:

p_{UV}^{−1}(St(U)) ⊆ ⋃_{V ∈V,p_{UV}(V)=U} St(V)

For alle sådanne V har vi at V ⊆ U, og da p_{V} er en kanonisk afbildning, får vi:

p_{V}^{−1}(St(V)) ⊆ V ⊆ U

Vi får:

(p_{UV}p_{V})^{−1}(St(U)) = p_{V}^{−1}p_{UV}^{−1}(St(U))
⊆ p_{V}^{−1} ⋃_{V ∈V,p_{UV}(V)=U}(St(V))
= ⋃_{V ∈Vp_{UV}(V)=U} p_{V}^{−1}(St(V))
⊆ U

som ønsket.

■

Sætning 6.11 Lad U være en åben overdækning af X. Hvis p, p′ : X → |N(U)| er to kanoniske afbildninger, da er de tilstødende og dermed homotope.

Bevis: Lad x ∈ X. Find simplexer [U_{0}, …, U_{n}] og [U′_{0}, …, U′_{m}] med p(x) ∈< [U_{0}, …, U_{n}] > og p′(x) ∈< [U′_{0}, …, U′_{m}] >. Da vil:

p(x) ∈ St(U_{0}) ∩ … ∩ St(U_{n})

og

p′(x) ∈ St(U′_{0}) ∩ … ∩ St(U′_{m})

(se [12] side 114). Men dette giver os jo at:

x ∈ p^{−1}(St(U_{0})) ∩ … ∩ p^{−1}(St(U_{n})) ∩ p^{′−1}(St(U′_{0})) ∩ … ∩ p^{′−1}(St(U′_{m})) ⊆ U_{0} ∩ … U_{n} ∩ U′_{0} ∩ … ∩ U′_{m} D.v.s. at U_{0}, …, U_{n}, U′_{0}, …, U′_{m} udspænder et simplex. Vi får:

p(x) ∈ [U_{0}, …, U_{n}] ⊆ [U_{0}, …, U_{n}, U′_{0}, … U′_{m}]

og

p′(x) ∈ [U′_{0}, …, U′_{m}] ⊆ [U_{0}, …, U_{n}, U′_{0}, … U′_{m}]

som ønsket.

■

Sætning 6.12 Lad U′ og U′′ være to normale overdækninger af et topologisk rum X. Da findes en normal overdækning U af X der forfiner både U′ og U′′.

Bevis: For bevis se [5] App. 1, §3.1.

■

Dette viser at mængden af normale overdækninger af et topologisk rum er opad filtrende under præordningen forfining. Vi kan derfor til ethvert topologisk rum X knytte et inverst system over HPol, nemlig Č(X) = (|N(U)|, [p_{UU′}], Λ) , hvor Λ er mængden af normale overdækninger af X og [−] indikerer homotopiklasse. Vi minder om at HPol er kategorien med polyeder som objekter og homotopiklasser af afbildninger som morfier. Betragter vi nu den entydige homotopiklasse af kanoniske afbildninger [p_{U}] : X → |N(U)|, får vi af sætning 6.8 at p = ([p_{U}]) : X → C(X) er en morfi i inv − HTop. Dermed bestemmer p også en morfi i pro − HTop. Vi har følgende resultat:

Sætning 6.13 Lad X være et topologisk rum, og lad p : X → Č(X) være morfien i pro − HTop givet ved de kanoniske afbildninger. Da er p en HPol-udvidelse.

Bevis: For bevis se [5] App. 1, §3.2.

■

Beviset er en verificering af at betingelserne i sætning 3.8 er opfyldt i dette tilfælde.

På grund af ovenstående sætning vil vi kalde Č(X) for čech-udvidelsen af X.

Ovenstående resultater gælder uændrede for topologiske rum med basispunkt. Man betragter så kun projektioner og kanoniske afbildninger der sender basispunkt i basispunkt. Man konstruerer nerven med basispunkt af en overdækning af et rum med basispunkt ved at vælge en af de åbne mængder i overdækningen der indeholder basispunktet til at være basispunkt for nerven.

Lad nu (X, x_{0}) være et rum med basispunktet x_{0}, og lad Č((X, x_{0})) = (|(N(U)|, ∗), [p_{UU′}], Λ) være čech udvidelsen af (X, x_{0}). Vi kan så anvende fundamentalgruppefunktoren på |(N(U)|, ∗) og p_{UU′}. Vi får så et system (π_{1}(|(N(U)|, ∗)), p_{UU′∗}, Λ). Dette ses umiddelbart at være et inverst system over kategorien Grp så korollar 3.12 giver at det har en invers grænse. Vi kalder grænsen:

π̌_{1}(X) = lim_{←}(π_{1}(|(N(U)|, ∗)), p_{UU′∗}, Λ)

for čechgruppen af X.

6.3 Fundamentalgruppen af plane mængder

Vi vil nu konstruere en homomorfi φ : π_{1}(X, x_{0}) → π̌_{1}(X, x_{0}). De kanoniske afbildninger p_{U} : (X, x_{0}) → (|N(U)|, ∗) inducerer homomorfier p_{U∗} : π_{1}(X, x_{0}) → π_{1}(|N(U)|, ∗). De inducerede homomorfier opfylder p_{U∗} = p_{UV∗}p_{V∗} når U ≤ V. Givet α : (S^{1}, (1, 0)) → (X, x_{0}) sætter vi α_{U} = p_{U} ∘ α. Vi kan så definere φ : π_{1}(X, x_{0}) → π̌_{1}(X, x_{0}) ved:

φ([α]) = ([α_{U}])_{U∈Λ}

Da p_{U∗} = p_{UV∗}p_{V∗} når U ≤ V, vil ([α_{U}])_{U∈Λ} ∈ π̌_{1}(X, x_{0}). φ er klart veldefineret. Vi skal altså blot kontrollere at φ er en homomorfi, det følger af følgende udregning:

φ([α][β]) = φ([αβ])
= ([(αβ)_{U}])_{U∈Λ}
= ([p_{U}(αβ)])_{U∈Λ}
= ([(p_{U} ∘ α)(p_{U} ∘ β)])_{U∈Λ}
= ([p_{U} ∘ α][p_{U} ∘ β])_{U∈Λ}
= ([α_{U}][β_{U}])_{U∈Λ}
= ([α_{U}])_{U∈Λ}([β_{U}])_{U∈Λ}

Vi kalder φ for den naturlige homomorfi.

Sætning 6.14 HOVEDSÆTNING Lad X ⊆ ℝ^{2} med x_{0} ∈ X. Da er den naturlige homomorfi φ : π_{1}(X, x_{0}) → π̌_{1}(X, x_{0}) injektiv.

Bevis: Lad α : I → X være kontinuert med α(0) = α(1) = x_{0} så [α] ≠ 1 ∈ π_{1}(X, x_{0}), og antag φ([α]) = 1. Sæt:

Y = α(I) ∪ ⋃{U | U er en begrænset stikomponent af ℝ^{2} − α(I) med U ⊆ X}

Ifølge lemma 5.4 er Y et peanokontinuum. Da x_{0} ∈ Y ⊆ X, vil [α] ≠ 1 ∈ π_{1}(Y, x_{0}). Lad nu L_{0} være et afsluttet kvadrat der indeholder Y. Vælg en muligvis endelig følge af mængder (L_{n}) sådan at:

1): L_{i+1} konstrueres udfra L_{i} ved at fjerne et åbent kvadrat K_{i} fra L_{i}, og disse åbne kvadraters diametre danner en nulfølge.

2): Y ⊆ L_{i} for alle i, og inklusionen i : (Y, x_{0}) → (L, x_{0}) hvor L = ⋂_{i} L_{i}, er en ”pointed”homotopiækvivalens.

3): L er homeomorft med et delvist udfyldt sierpinskitæppe.

Dette er bare en anvendelse af sætning 5.13 samt bemærkning 5.14. Vi kan ydermere for hver begrænset stikomponent af ℝ^{2} − Y vælge et z_{i} ∈ K_{i}, sådan at z_{i} ∉ X. Konstruktionen af Y giver umiddelbart at vi kan gøre dette. Da inklusionen i : (Y, x_{0}) → (L, x_{0}) er en homotopi ækvivalens, har vi at [α] ≠ 1 ∈ π_{1}(L, x_{0}). Sætning 5.15 giver så at der findes et n ∈ ℤ_{+} så [α] ≠ 1 ∈ π_{1}(L_{n}, x_{0}). Men L_{n} er homotopi ækvivalent med ℝ^{2} − {z_{1}, …, z_{n}} ∩ I(α), så [α] ≠ 1 ∈ π_{1}(ℝ^{2} − {z_{1}, …, z_{n}}∩I(α), x_{0}). Lemma 5.12 giver så at [α] ≠ 1 ∈ π_{1}(ℝ^{2}−{z_{1}, …, z_{n}}, x_{0}). Vi vælger nu en endelig åben overdækning V af ℝ^{2} − {z_{1}, …, z_{n}}, således at p_{V∗} : π_{1}(ℝ^{2} − {z_{1}, …, z_{n}}, x_{0}) → π_{1}(|N(V)|, ∗) er en isomorfi. I figur 4 har jeg skitseret hvordan dette kan gøres i tilfældet n = 3, for en mere generel metode se [12] side 152 opgave G5.

Betragt nu den åbne overdækning U af X hvor U = {V ∩ X | V ∈ V}. Vi kan da betragte |N(U)| som et delkompleks af |N(V)|. Dette gøres ved at indlejre |N(U)| i |N(V)| efter opskriften V ∩ X ↦ V når V ∩ X ≠ ∅. Det kan godt ske at V ∩ X = V′ ∩ X selvom V ≠ V′, så ovenstående opskrift giver os derfor ikke nogen entydig afbildning, vi er nødt til at træffe nogle valg.

Vi skal nu se at to indlejringer konstrueret udfra ovenstående opskrift er homotope. Lad i : |N(U)| → |N(V)| og i′ : |N(U)| → |N(V)| være sådanne indlejringer, og lad x ∈ |N(U)|. Der findes nu entydige simplexer [V_{1}, …, V_{n}] og [W_{1}, …, W_{m}] sådan at i(x) ∈< [V_{1}, …, V_{n}] > og i′(x) ∈< [W_{1}, …, W_{m}] >. På den anden side findes også et entydig simplex [V′_{1}∩X, …, V′_{l}∩X] så x ∈< [V′_{1}∩X, …, V′_{l}∩X] >. Da i og i′ er indlejringer, får vi i(x) ∈< [i(V′_{1} ∩ X), …, i(V′_{l} ∩ X)] > og i′(x) ∈<

Figur 4: Åben overdækning af ℝ^{2} − {z_{1}, z_{2}, z_{3}}

[i′(V′_{1} ∩ X), …, i′(V′_{l} ∩ X)] >. Af entydigheden følger at [i(V′_{1} ∩ X), …, i(V′_{l} ∩ X)] = [V_{1}, …, V_{n}] og [i′(V′_{1} ∩ X), …, i′(V′_{l} ∩ X)] = [W_{1}, …, W_{m}]. Heraf følger at V_{1} ∩ … ∩ V_{n} ∩ X = V′_{1} ∩ X ∩ … ∩ V′_{l} ∩ X = W_{1} ∩ … ∩ W_{m} ∩ X. Specielt er V_{1} ∩ … ∩ V_{n} ∩ W_{1} ∩ … ∩ W_{m} ≠ ∅. Dette viser at i og i′ er tilstødende og dermed homotope.

Betragt nu p_{V}|_{X} : X → |N(V)| og p_{U} : X → |N(U)| ⊆ |N(V)|. Vi påstår at de er homotope som afbildninger ind i |N(V)|. For at indse dette lader vi x ∈ X. Der findes da et entydig simplex [V_{1} ∩ X, …, V_{n} ∩ X] så p_{U}(x) ∈< [V_{1}∩X, …, V_{n}∩X] >. Vælg indlejring i : |N(U)| → |N(V)| sådan at V_{i}∩X ↦ V_{i}. Vi får dermed at i ∘ p_{U}(x) ∈< [V_{1}, …, V_{n}] >. Heraf følger at:

i(St(V_{1} ∩ X) ∩ … ∩ St(V_{n} ∩ X)) =
i(< [V_{1} ∩ X, …, V_{n} ∩ X] >) =
< [V_{1}, …, V_{n}] > =
St(V_{1}) ∩ … ∩ St(V_{n})

Resten af beviset kører så på samme måde som sætning 6.11 hvilket viser at p_{V}|_{X} og p_{U} er tilstødende for dette valg af indlejring. Da alle de mulige indlejringer er homotope, følger det ønskede.

Da φ([α]) = 1 har vi specielt at p_{U∗}([α]) = [α_{U}] = 1 ∈ π_{1}(|N(U)|). Dette medfører at p_{V∗}([α]) = 1 ∈ π_{1}(|N(V)|) i modstrid med at:

p_{V∗} : π_{1}(ℝ^{2} − {z_{1}, …, z_{n}}, x_{0}) → π_{1}(|N(V)|, ∗)

er en isomorfi.

■

7 Konsekvenser af hovedsætningen

Definition 7.1 En gruppe G kaldes hopfiansk hvis enhver surjektiv homomorfi φ : G → G er en isomorfi.

Sætning 7.2 Enhver endelig frembragt fri gruppe F er hopfiansk.

Bevis: Lad F være en endelig frembragt fri gruppe med basis X, og lad φ : F → F være en surjektiv homomorfi. Det er klart at cardφ(X) ≤ cardX. På den anden side var φ surjektiv, så φ(X) frembringer F. Da F er endelig frembragt fri, må cardφ(X) ≥ cardX. Vi har altså at |φ(X)| = |X|. Dermed er φ|_{X}X → φ(X) en bijektion. Heraf følger at φ er en isomorfi som ønsket.

■

Definition 7.3 En gruppe G kaldes lokalt fri hvis enhver endelig frembragt undergruppe er fri.

En gruppe G kaldes residualt endelig hvis der til ethvert g ∈ G − {1} eksisterer en homomorfi φ : G → H hvor H er en endelig gruppe således at φ(g) ≠ 1.

En gruppe kaldes fuldt residualt fri hvis der til enhver endelig delmængde {g_{1}, …, g_{n}} ⊆ G − {1} eksisterer en homomorfi φ : G → F hvor F er en fri gruppe således at φ(g_{i}) ≠ 1 for alle i ∈ {g_{1}, …, g_{n}}.

Sætning 7.4 Enhver fri fruppe F er residualt endelig.

Bevis: Lad ω = x_{1}x_{2} … x_{n} være et ord i F sådan at hver af x_{i}’erne er en frembringer for F eller invers af en frembringer. Ydermere skal gælde at x_{i} og x_{i+1} ikke er en frembringer og dennes inverse. Vi konstruerer en homomorfi φ : F → S_{n+1}. Hvis en frembringer ikke optræder i ω, sender vi den over i identitetspermutationen. Vi sender x_{i} over i en permutaion der sender i over i i + 1. Da x_{i} og x_{i+1} aldrig er hinandens inverse, kan vi altid vælge permutationer sådan at dette definerer en veldefineret afbildning. Da F er fri, definerer dette en homomorfi φ : F → S_{n+1}. Vi har at φ(ω) ≠ 1 da φ(ω)(1) = n + 1.

■

Sætning 7.5 Lad F være en invers grænse af et inverst system (F_{α}, φ_{αβ}, A) af frie grupper F_{α}. Da er F, og dermed enhver undergruppe af F, lokalt fri.

Bevis: Lad H < F være en endelig frembragt undergruppe. Da F er en invers grænse af et inverst system (F_{α}, φ_{αβ}, A) af endelig frembragte fri grupper F_{α}, findes til hvert α ∈ A en homomorfi φ_{α} : F → F_{α}. Disse homomorfier har egenskaben φ_{αβ} ∘ φ_{β} = φ_{α} når α ≤ β. Vi definerer H_{α} = φ_{α}(H). Da H_{α} < F_{α}, er H_{α} fri. Vi har også at rank H_{α} ≤ μ_{ℤ}(H) hvor μ_{ℤ}(H) er det mindste antal frembringere for H. Dermed må der findes et n ∈ ℤ_{+} så max_{α} rank H_{α} = n. Sæt H′ = lim H_{α}. Da diagrammet:

\xymatrix{H_{β} \ar[r]^{φ_{αβ}} & H_{α} \\ H \ar[u]^{φ_{β}} \ar[ur]_{φ_{α}}}

er kommutativt når α ≤ β, og φ_{α} og φ_{β} er surjektive, har vi at φ_{αβ} : H_{β} → H_{α} er surjektiv når α ≤ β. Heraf følger at rank H_{α} ≤ rank H_{β}, dette følger af sætning 2.12 i [9]. Da A er opad filtrerende, findes et γ ∈ A så rank H_{α} = n, for alle α ≥ γ. Betragt nu α og β med γ ≤ α ≤ β. Homomorfien φ_{αβ} : H_{β} → H_{α} er surjektiv, og da endelig frembragte fri grupper er hopfianske, er φ_{αβ} endda en isomorfi. Af dette, og da de α ∈ A hvorom det gælder at γ ≤ α udgør et kofinalt system, følger det af sætning 3.5 at vi kan nøjes med at betragte dette delsystem når vi skal beregne H′. Da alle morfierne φ_{αβ} i dette system er isomorfier, følger det at H′ ≅ H_{γ}. Heraf følger at H′ er fri. Betragt nu det kommutative diagram:

\xymatrix{(H) \ar[r]^{i} \ar[d]_{φ} & (F) \ar[d]^{φ} \\ (H_{α}, φ_{αβ}, A) \ar[r]_{i} & (F_{α}, φ_{αβ}, A)}

i pro-Grp. Her er i indlejringen af H i F, og i er morfien induceret af inklusionsafbildningerne i_{α} : H_{α} ↪ F_{α}. Anvender vi funktoren lim på dette, får vi et kommutativt diagram:

\xymatrix{H \ar[r]^{i} \ar[d]_{_{lim φ}} & F \ar[d]^{φ} \\ H′ \ar[r]_{i} & F}

Her er begge i’er indlejringer. Da φ er injektiv, følger det at lim φ er injektiv. Heraf følger at H er fri som ønsket.

■

Det inverse system med nerverne som objekter er et eksempel på en HPol_{∗}- udvidelse af et topologisk rum X. Dette vil ofte blot være en ud af mange mulige HPol_{∗}-udvidelser. Vi skal nu se en lille smule nærmere på relationen mellem forskellige HPol_{∗}-udvidelser af et givet topologisk rum X.

Vi bemærker at π_{1} : pro − HTop_{∗} → pro − Grp er en funktor ved fastsættelserne π_{1}(((X_{λ}, ∗), p_{λλ′}, Λ)) = ((π_{1}(X_{λ}, ∗)), p_{λλ′∗}, Λ), og π_{1}((f_{μ}, φ)) = (π_{1}(f_{μ}), φ). Det ses let at π_{1} respekterer sammensætning, identitet samt ækvivalensrelationen ∼ mellem morfier af inverse systemer.

Hvis X og X′ er to HPol_{∗}-udvidelser af et topologisk rum X, da har vi fra lemma 3.7 at der findes en isomorfi i : X → X′. Dermed er også π_{1}(i) : π_{1}(X) → π_{1}(X′) en isomorfi. Nu var lim en funktor fra pro −C ind i C, så lim π_{1}(X) ≅ lim π_{1}(X′).

For generelle HPol_{∗}-udvidelser X af et toplogisk rum X kaldes lim π_{1}(X), af grunde vi ikke kan komme ind på her, for formgruppen for X. Formgruppen for X benævnes, ligesom čechgruppen for X med π̌_{1}(X). Ovenstående betragtninger viser da også at formgruppen og čechgruppen er ens op til isomorfi. Da man sædvanligvis kan vælge mange forskellige HPol_{∗}-udvidelser af et givet topologisk rum, skal man kontrollerer at forskellige udvidelser giver samme formgruppe op til isomorfi. Ovenstående betragtninger siger præcis dette.

Det at man selv kan bestemme hvilken HPol_{∗}-udvidelse man vil arbejde med når man skal bestemme formgruppen, er yderst belejligt. Sammen med resultater som for eksempel sætning 3.5 kan dette ofte simplicificere ens problemer betragteligt. Vi vil straks benytte ovenstående til at vise en sætning.

Sætning 7.6 Lad X ⊆ ℝ^{2} være kompakt, da er π_{1}(X) lokalt fri, residualt endelig og fuldstændig residualt fri.

Bevis: Lad X ⊆ ℝ^{2} være kompakt. Vi konstruerer en følge (X_{n}) af kompakte, stykkevis lineære, mangfoldigheder i ℝ^{2} sådan at X = ⋂_{i=1}^{∞} X_{i}. Vi gør som følger: I det n’te skridt dækker vi ℝ^{2} med kvadrater på formen [k/n, k + 1/n] × [l/n, l + 1/n] hvor k, l ∈ ℤ. Vi sætter så X_{n} til at være foreningen af de kvadrater der rører X. Det er så klart at X_{n} er en kompakt, stykkevis lineær mangfoldighed. Det er også klart at X = ⋂_{i=1}^{∞} X_{i}. Vi ordner X_{n}’erne ved omvendt inklusion. Vi har så en invers følge X = (X_{n}, p_{nn+1}, ℤ_{+}) hvor p_{nn+1} : X_{n+1} → X_{n} bare er inklusionsafbildningen. Vi kan også definerer en morfi p : x → X i pro − HTop ved p = (p_{n}) hvor p_{n} : X → X_{n} er inklusionsafbildningen. Denne morfi gør X til en HPol_{∗}- udvidelse af X, vi vil ikke vise dette - se [7] side 3. Vi har nu at π̌_{1}(X, ∗) = lim X. Vi bemærker at π_{1}(X_{n}) er fri for alle n ∈ ℤ_{+}, da X_{n}’erne er komapkte mangfoldigheder med endeligt mange, og mindst en, randkomponenter. Af sætning 6.14 følger at π_{1}(X, ∗) ved den naturlige homomorfi φ indlejre i π̌_{1}(X, ∗). Sætning 7.5 giver så at π_{1}(X, ∗) er lokalt fri.

Figur 5: CE_{1} ∨ CE_{2}

For at vise at π_{1}(X, ∗) er fuldt residualt fri, betragter vi følgende sekvens af homomorfier:

\xymatrix{π_{1}(X, ∗) \ar[r]^{φ} & π̌_{1}(X, ∗) \ar[r]^{i} & Ππ_{1}(X_{i}) \ar[r]^{π_{n}} & π_{1}(X_{n})}

her er i inklusions homomorfien, og π_{n} er projektions homomorfien ned på den n’te koordinat. Hvis nu g_{1}, …, g_{n} ∈ π_{1}(X, ∗)−{1}, da findes X_{1}, …, X_{n} så p_{i∗}(g_{i}) ≠ 1 for i = 1, …, n. Vælg et et X_{N} ≥ X_{1}, …, X_{n}. Det følger nu umiddelbart at p_{X_{N} ∗}(g_{i}) ≠ 1 for alle i = 1, …, n. Sammensætter vi med projektionen ned på π_{1}(X_{N}) får vi den ønskede homomorfi.

Vi viser tilsidst at π_{1}(X, ∗) er residualt endelig. Lad g ∈ π_{1}(X, ∗) − {1}, da π_{1}(X, ∗) er fuldt residualt fri findes en homomorfi φ : π_{1}(X, ∗) → F hvor F er fri sådan at φ(g) ≠ 1. Ifølge sætning 7.4 er frie grupper residualt endelige, så der findes en homomorfi ψ : F → H hvor H er en endelig gruppe sådan at ψ(φ(g)) ≠ 1. Vi har altså at homomofien ψ ∘ φ : π_{1}(X, ∗) → H har den ønskede egenskab.

■

Vi kan også bruge ovenstående principper til at indse at det ikke generelt gælder at den naturlige homomorfi φ er injektiv. Et modeksempel er følgende: Lad E_{1} og E_{2} være to hawaiiøreringe, og betragt keglerne CE_{1} og CE_{2} på E_{1} og E_{2}. Vi betragter kilesummen CE_{1} ∨ CE_{2} med basispunkt (0, 0, 0). Kald cirklerne i E_{1} for a_{1}, a_{2}, …, og cirklerne i E_{2} for b_{1}, b_{2}, . . ..

Stien α : I → CE_{1} ∨ CE_{2} der først gennemløber a_{1}, derefter b_{1}, så a_{2}, derefter b_{2} o.s.v., er ikke nulhomotop i CE_{1} ∨ CE_{2}, se f.eks. [8] side 236-237. Lad nu A_{n,m} være kilesummen af keglen over a_{1} ∪ a_{2} ∪ … ∪ a_{n} og keglen over b_{1} ∪ b_{2} ∪ … ∪ b_{m} for n, m ∈ ℤ_{+}. Sæt p_{(n,m)(l,k)} : A_{l,k} → A_{n,m} til identiteten på C(a_{1} ∪ a_{2} ∪ … a_{n}) ∨ C(b_{1} ∪ a_{2} ∪ … b_{m}), og p_{(n,m)(l,k)}(x) = (0, 0, 0) ellers når n ≤ l og m ≤ k. Med disse fastsættelser er (A_{n,m}, p_{(n,m)(l,k)}, ℤ_{+} ×ℤ_{+}) et inverst system over HPol_{*}. Sæt p_{n,m} : CE_{1}∨CE_{2} → A_{n,m} til identiteten på C(a_{1}∪a_{2}∪…∪a_{n})∨C(b_{1}∪a_{2}∪…∪b_{m}), og p_{n,m}(x) = (0, 0, 0) ellers. Det er klart at p_{(n,m)(l,k)} ∘ p_{l,k} = p_{n,m}. Ydermere er hver af p_{n,m}’erne surjektive, og givet x, x′ ∈ CE_{1} ∨ CE_{2} med x ≠ x′ findes et p_{n,m} så p_{n,m}(x) ≠ p_{n,m}(x′). Korollar 3 i §5.2 og korollar 6 i §5.3 i [5] giver så at det inverse system (A_{n,m}, p_{(n,m)(l,k)}, ℤ_{+} × ℤ_{+}) er en HPol_{∗}-udvidelse af CE_{1} ∨ CE_{2} (A_{n,m}’erne er ANR’er da de er endelige CW-komplekser se [5] side 40). Men alle A_{n,m}’erne er kontraktible, specielt vil φ([α]) = 1.

Litteratur

[1] James R. Munkres. Topology second edition. Prentice Hall Inc. 2000, 1975.

[2] Christian Pommerenke. Boundary Behaviour of Conformal Maps. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1992.

[3] John G. Hocking og Gail S. Young. Topology. Addison-Wesley Publishing Company Inc., Reading Mass., 1961.

[4] Stephen Willard. General topology. Addison-Wesley Publishing Company Inc., Reading Mass., 1970.

[5] S. Mardesic og J. Segal. Shape theory: the inverse system approach. Amsterdam, North-Holland, 1982.

[6] Andreas Zastrow. Planar sets are aspherical. Habilitationsschrift. Ruhr-Universitet, Bochum, 1997-98. (Kan findes på http://math.univ.gda.pl/ zastrow/).

[7] Hanspeter Fischer og Andreas Zastrow. The fundamental groups of subsets of closed surfaces inject into their first shape groups. 2003. (Kan findes på http://www.cs.bsu.edu/homepages/fischer/resume/publications.html).

[8] J. W. Cannon og G. R. Conner. The combinatorial structure of the Hawaiian earring group. Topology and its Applications 106 (2000) 225-271.

[9] Roger C. Lyndon og Paul E. Schupp. Combinatorial Group Theory. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1977.

[10] M. L. Curtis og M. K. Fort Jr.. Singular homology of one-dimensional spaces. Annals of Mathematics 69, 309-313, 1959.

[11] Bruce Chandler og Wilhelm Magnus. The history of combinatorial group theory: a case study in the history of ideas. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences 9, Springer-Verlag New York Inc., 1982.

[12] Edwin H. Spanier. Algebraic Topology. McGraw-Hill Inc., 1966.

[13] Allen Hatcher. Algebraic Topology. Cambridge University Press 2002.

[14] Saharon Shelah. Can the fundamental group of a space be the rationals?. Proc. A.M.S. 103, 627-632,1988.

[15] James Dugundji. Topology. Allyn and Bacon Inc., Boston Mass., 1966.