Supplerende opgaver til Kapitel 1

Opgave 1 Vis at den kort-eksakte følge

\xymatrix{0 \ar[r] & C_{0}((0, 1)) & ι \ar[r] & C([0, 1]) & ψ \ar[r] & ℂ ⊕ ℂ \ar[r] & 0,}

hvor ψ(f) = (f(0), f(1)), ikke er split-eksakt. Opgave 2 Denne opgave går ud på at tjekke (nogle af) detaljerne i Afsnit 1.5. Lad A være en C^{∗}-algebra (med eller uden 1-element). Sæt

Ã = {(a, λ) | a ∈ A, λ ∈ ℂ},

definer addition, skalar-multiplikation og ^{∗}-operationen punktvis, og sæt

(a, λ) · (b, μ) = (ab + μa + λb, λμ).

Definer ι: A → Ã og s: Ã → ℂ ved ι(a) = (a, 0) og s(a, λ) = λ.

(i) Gør kort rede for, at Ã er en ^{∗}-algebra, at (0, 1) (herefter kaldet 1Ã eller blot 1) er et 1-element for Ã, at ι er en injektiv *-homomorfi, at s er en surjektiv *-homomorfi, og at billedet af ι er et 2-sidet ideal i Ã.

Vi undertrykker herefter ι, og opnår således

Ã = {a + λ · 1 | a ∈ A, λ ∈ ℂ},

og at A er et 2-sidet ideal i Ã. For hvert x ∈ Ã, sæt

∥|x∥|Ã = sup{∥ax∥_{A} | a ∈ A, ∥a∥_{A} ≤ 1}, ∥x∥Ã = max{∥|x∥|Ã, |s(x)|}. (ii) Vis at ∥a∥Ã = ∥a∥_{A} for alle a ∈ A. (iii) Vis at ∥x∥Ã = 0 ⇒ x = 0 for alle x ∈ Ã. (iv) Vis at Ã er en unital C^{∗}-algebra. (Tjek blot, at ∥ · ∥Ã opfylder trekantsuligheden, og

at identiteterne ∥xy∥Ã ≤ ∥x∥Ã∥y∥Ã, og ∥x^{∗}x∥Ã = ∥x∥2 ; Ã gælder.)

(v) Vis at ι er isometrisk, at A er et lukket 2-sidet ideal i Ã, og at vi har en split-eksakt

følge

[figure: 0; A; ι; Ã; s; ℂ; 0.]

(vi) Vis at Ã ≅ A ⊕ ℂ (som C^{∗}-algebraer) hvis og kun hvis A er unital.

Opgave 3 Et element p i en C^{∗}-algebra kaldes en projektion hvis p = p^{∗} = p^{2}, og et element u i en unital C^{∗}-algebra kaldes unitær hvis uu^{∗} = u^{∗}u = 1.

(i) Lad p være en projektion. Vis at sp(p) ⊆ {0, 1}. (ii) Antag, at p er normal og at sp(p) ⊆ {0, 1}. Vis at p er en projektion. (iii) Lad u være unitær. Vis at sp(u) ⊆ 𝕋, hvor 𝕋 = {z ∈ ℂ | |z| = 1}. (iv) Antag, at u er normal og at sp(u) ⊆ 𝕋. Vis at u unitær.

Opgave 4 Lad X være et kompakt Hausdorffrum, og lad μ være et Borelmål på X. Lad H være Hilbertrummet L^{2}(X, μ). For hvert f ∈ C(X) og for hvert ξ ∈ H definer M_{f}ξ: X → ℂ ved (M_{f}ξ)(x) = f(x)ξ(x).

(i) Vis at ∥M_{f}ξ∥_{2} ≤ ∥f∥_{∞}∥ξ∥_{2}, og (dermed), at M_{f}ξ ∈ H, at M_{f} ∈ B(H), og at

∥M_{f}∥ ≤ ∥f∥_{∞}. Definer π: C(X) → B(H) ved π(f) = M_{f}. (ii) Vis at π er en *-homomorfi. (iii) Vis at π er injektiv hvis målet μ har følgende egenskab: for enhver ikke-tom åben

delmængde U af X er 0 < μ(U) < ∞. (iv) Vis eksplicit at π er isometrisk hvis μ opfylder betingelsen i (iii).

(v) Antag X er separabel. Konstruer et Borelmål μ på X, som opfylder betingelsen i (iii).