Københavns Universitet Eksamen ved Det naturvidenskabelige Fakultet sommer 2001

Matematik 3 MI

Opgave til besvarelse i 3 timer. Opgavesættet er på 3 sider og består af 7 opgaver.

De første 90 minutter er uden hjælpemidler, de sidste 90 minutter er med alle sædvanlige hjælpemidler. Efter 90 minutter indsamles besvarelsen af stilopgaven (Opgave 1). Opgave 1 vægtes med 90 points, og de øvrige opgaver (Opgave 2 – 7) vægtes med tilsammen 90 points.

Opgave 1 — Stilopgave (90 points)

Tonellis og Fubinis sætninger.

Lad der være givet to målrum (X, 𝔼, μ), (Y, 𝔽, ν), som begge antages σ-endelige. I besvarelsen kan benyttes, at produktmålet μ⊗ν er det entydigt bestemte mål på produkt σ-algebraen 𝔼⊗𝔽 som opfylder μ⊗ν(A×B) = μ(A)ν(B) for A ∈ 𝔼, B ∈ 𝔽. Produktmålet er for G ∈ 𝔼 ⊗ 𝔽 givet ved formlen

μ ⊗ ν(G) = ∫_{X} ν(G_{x})dμ(x) = ∫_{Y} μ(G^{y})dν(y) ,

idet det også kan betragtes som kendt, at funktionerne x ↦ ν(G_{x}) og y ↦ μ(G^{y}) er målelige på henholdsvis X og Y. Husk, at

G_{x} = {y ∈ Y | (x, y) ∈ G} for x ∈ X; G^{y} = {x ∈ X | (x, y) ∈ G} for y ∈ Y .

a) Formuler og bevis Tonellis sætning om integration af f ∈ M^{+}(X × Y, 𝔼 ⊗ 𝔽).

b) Formuler og bevis Fubinis sætning.

c) Vis, at for f ∈ L(X, 𝔼, μ), g ∈ L(Y, 𝔽, ν) er f ⊗ g ∈ L(X × Y, 𝔼 ⊗ 𝔽, μ ⊗ ν) og der gælder

∫_{X×Y} f ⊗ gd(μ ⊗ ν) = ∫_{X} fdμ ∫_{Y} gdν .

Opgave 2 (10 points)

Bestem

lim_{x→0} ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos (\frac{x}{\sqrt{n}})}{2^{n}} .

Der skal argumenteres omhyggeligt for hvert skridt.

3. januar 2002/DA Opgavesættet fortsættes på side 2 Københavns Universitet Eksamen ved Det naturvidenskabelige Fakultet sommer 2001 Matematik 3 MI

Side 2

Opgave 3 (20 points)

For enhver Borel mængde E ⊆ ℝ defineres

μ(E) = ∫_{E} \frac{dm(x)}{1 + x^{2}} ,

hvor m som sædvanligt er Lebesguemålet på ℝ.

(i) Gør rede for (f.eks. ved henvisning til relevant sted i noterne), at μ er et mål på (ℝ, 𝔹(ℝ)) og at

∫ |x|^{a}dμ(x) = ∫ \frac{|x|^{a}}{1 + x^{2}} dm(x)  (∗)

for hvert a ∈ ℝ. (Som sædvanlig er 0^{a} = ∞ når a < 0 og |x|^{0} = 1 for alle x ∈ ℝ). (ii) Vis, at værdien af (∗) er endelig når −1 < a < 1.

Opgave 4 (10 points)

For hvert p ≥ 1 betegner L_{p}([0, 1]) rummet af p-dobbelt integrable funktioner på [0, 1] forsynet med Lebesguemålets restriktion til [0, 1].

Udregn ∥f∥_{p} for 1 ≤ p < ∞ for funktionen f(x) = x, og gør rede for (f.eks. ved henvisning til relevant sted i noterne), at funktionen p ↦ ∥f∥_{p} er voksende for p ∈ [1, ∞[.

Opgave 5 (15 points)

Lad S være enhedssfæren i ℝ^{3} givet ved

S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1} .

Vis, at m_{3}(S) = 0, hvor m_{3} er Lebesguemålet på ℝ^{3}. (Vink: Benyt at m_{3} kan opfattes som et produktmål).

Opgave 6 (15 points)

Lad f : ℝ → [0, ∞[ være defineret ved

f(t) = \{ \begin{matrix}0 , & t < 1 \\ \frac{k}{t} , & k ≤ t < k + 1 , k = 1, 2, · · · . \end{matrix}

(i) Skitser grafen for f og gør rede for, at f er en Borel funktion.

(ii) Vis, at ∫ fdm = ∞, hvor m er Lebesguemålet på ℝ.

Opgavesættet fortsættes på side 3 Københavns Universitet Eksamen ved Det naturvidenskabelige Fakultet sommer 2001 Matematik 3 MI

Side 3

Opgave 7 (20 points)

Lad (X, 𝔼, μ) være et vilkårligt målrum og definer μ^{∗} : P(X) → [0, ∞] ved

μ^{∗}(A) := inf{μ(E) | A ⊆ E, E ∈ 𝔼} for A ∈ P(X) ,

idet P(X) som sædvanlig betegner systemet af alle delmængder af X. Vis, at μ^{∗} er et ydre mål.