Skriftlig opgave til uge 13

1^{∘} Vis, at Riemanns zeta-funktion

ζ(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{x}}

er veldefineret og kontinuert for x ∈ ]1, ∞[.

(Vink. Find en majorant på intervallet [s, ∞[, hvor s > 1 er et fast men vilkårligt tal.)

2^{∘} Vis, at ζ(x) → ∞ for x → 1 og at ζ(x) → 0 for x → ∞. 3^{∘} Vis, at ζ er differentiabel med

ζ′(x) = − ∑_{n=1}^{∞} \frac{log n}{n^{x}}.

4^{∘} Gør rede for at ζ er vilkårligt ofte differentiabel.

Typeset by AMS-TEX