3MI-eksamen — Forårspensum — 23. maj 2000

Opgaver til besvarelse i 3 timer.

Opgavesættet er på 2 sider og består af 7 opgaver.

De første 90 minutter er uden hjælpemidler, de sidste 90 minutter er med alle sædvanlige hjælpemidler. Efter 90 minutter indsamles besvarelsen af stilopgaven (Opgave 1). Opgave 1 vægtes med 90 point, og de øvrige opgaver (Opgave 2 – 7) vægtes med tilsammen 90 point.

Opgave 1 — stilopgave (90 point)

Hölder og Minkowski’s uligheder.

Din besvarelse skal indeholde:

• En defintion af begrebet duale eksponenter,

• En formulering af Hölder’s ulighed og af Minkowski’s ulighed,

• Et bevis for begge ulighederne i punktet ovenfor!

For at komme godt igang med opgaven oplyses det, at et skridt på vejen til beviset for Hölder’s ulighed består i at vise Younge’s ulighed:

uv ≤ \frac{u^{p}}{p} + \frac{v^{q}}{q} , u, v ∈ [0, ∞[,

når p og q er duale eksponenter. (En del af din opgave er at vise Younge’s ulighed — du får altså ikke beviset for denne ulighed foræret!)

Opgave 2 (10 point) Bestem

lim_{n→∞} ∫_{−∞}^{∞} \frac{cos(\sqrt{1 + x^{2}/n})}{1 + x^{2}}dx.

Du skal argumentere omhyggeligt for hvert skridt.

Opgave 3 (10 point) Lad G være en åben ikke-tom delmængde af planen ℝ^{2}, og lad som sædvanligt m_{2} være Lebesguemålet på ℝ^{2}. Vis at m_{2}(G) > 0. [Vink: Benyt f.eks. Sætning 1.3.]

Opgave 4 (15 point) For hver Borel mængde E i ℝ, sæt

μ(E) = ∫_{E} t^{2}dm(t),

hvor m som sædvanligt er Lebesguemålet på ℝ.

(i) Gør rede for (f.eks. ved henvisning til relevant sted i noterne), at μ er et mål på (ℝ, 𝔹(ℝ)).

(ii) Bestem ∫_{ℝ} fdμ, hvor f: ℝ → ℝ er givet ved

f(x) = \begin{cases}1, & hvis − 5 ≤ x < 0, \\ 2, & hvis 0 ≤ x ≤ 7, \\ 0, & hvis x < −5 eller hvis x > 7. \end{cases}

Opgave 5 (15 point) Lad C være enhedscirklen i ℝ^{2} givet ved

C = {(x, y) | x^{2} + y^{2} = 1}.

Vis at m_{2}(C) = 0, hvor m_{2} er det sædvanlige Lebesguemål på ℝ^{2}. [Vink: Benyt f.eks. Korollar 6.8.]

Opgave 6 (25 point) Betragt målrummet (ℝ, 𝔹(ℝ), m).

(i) Vis at | cos(x)|^{n} → 0 m-n.o. for n → ∞.

(ii) Sæt A = ⋃_{n∈ℤ}[−π/4, π/4] + nπ. Vis at m(A) = ∞. Det oplyses (og skal ikke vises), at | cos(x)| ≥ \frac{\sqrt{2}}{2}1_{A}.

(iii) Er det sandt, at

lim_{n→∞} ∫_{−∞}^{∞} | cos(x)|^{n}dx = 0?

Dit svar skal begrundes. [Vink: Benyt f.eks. spørgsmål (ii).]

Opgave 7 (15 point) Lad (X, 𝔼, μ) være et målrum. Antag {f_{n}}_{n=1}^{∞} og {g_{n}}_{n=1}^{∞} er følger i L_{2}(μ), at f, g ∈ L_{2}(μ), og at f_{n} → f og g_{n} → g i 2-middel. Vis at f_{n}g_{n} → fg i 1-middel.