Opgave 4.9

Jakob Stubgaard

9. marts 2001

1: For x ∈]0; 1[ gælder at

∑_{n=0}^{∞}(1 − x^{a})x^{b−1+2na} = (1 − x^{a})x^{b−1} ∑_{n=0}^{∞}(x^{2a})^{n}  (1)

Den sidste række er en geometrisk række og da x ∈]0; 1[ og a > 0 er rækken konvergent med sum \frac{1}{1−x^{2a}} = \frac{1}{(1−x^{a})(1+x^{a})}. Dermed får vi at

∑_{n=0}^{∞}(1 − x^{a})x^{b−1+2na} = \frac{x^{b−1}}{(1 + x^{a})}  (2)

2: Vi definerer funktionen f_{n} :]0; 1[→ ℝ_{+} ved f_{n}(x) = (1 − x^{a})x^{b−1+2na} (og f_{n} er positiv da x ∈]0; 1[ og a > 0). f_{n} er kontinuert og derfor specielt målelig. Sætning 4.6 kombineret med 1: giver derfor at

∫_{0}^{1} \frac{x^{b−1}}{(1 + x^{a})}dx = ∫_{0}^{1} ∑_{n=0}^{∞} f_{n}(x)dx = ∑_{n=0}^{∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(x)dx  (3)

= ∑_{n=0}^{∞} ∫_{0}^{1}(x^{b−1+2na} − x^{a+b−1+2na})dx = ∑_{n=0}^{∞}(\frac{1}{b + 2na} − \frac{1}{b + (2n + 1)a})  (4)

hvilket var hvad der skulle vises. Bemærk at vi for at udføre integrationen i (4) skal bruge at b > 0 (jvf. opgave 4.4).