Vejledende besvarelse af opgave 4.22

Rasmus Ejlers Møgelberg

16. marts 2001

Lad (X, 𝔼, μ) være et målrum.

\underline{1^{∘}}: Antag først f, g : X → ℂ er integrable funktioner, samt at g er begrænset. Vi skal vise at fg er integrabel. Da f og g er målelige, er fg målelig. I følge sætning 4.11 (generaliseret på side 4.15 til funktioner ind i ℂ) er det nok at vise at ∫ |fg|dμ < ∞.

At g er begrænset betyder netop at der eksisterer et tal c så |g(x)| ≤ c for alle x ∈ X. Nu bliver:

∫ |fg|dμ ≤ ∫ c|f|dμ = c ∫ |f|dμ < ∞

som ønsket.

\underline{2^{∘}}: Antag nu at g : X → ℂ er 𝔼-målelig og begrænset, samt at μ(X) < ∞. Vi skal nu vise at g er integrabel. Som før er det nok at vise at ∫ |g|dμ er endelig. Da g er begrænset vælges igen c så |g(x)| ≤ c for alle x, og vi får:

∫ |g|dμ ≤ ∫ cdμ = cμ(X) < ∞

som ønsket.