Opgave 4.36

Jakob Stubgaard

22. marts 2001

Vi lader (X, 𝔼, μ) være et målrum og antager at ϕ : (X, 𝔼) → ℝ er en simpel 𝔼–målelig funktion. Da ϕ er simpel og 𝔼–målelig findes n reelle tal, a_{1}, ..., a_{n}, og n disjunkte mængder A_{1}, ..., A_{n} i 𝔼 således at ϕ(x) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}1_{A_{i}}(x) for alle x i X. Her er A_{i} = ϕ^{−1}({a_{i}}). Afbildningen B ↦ μ(ϕ^{−1}(B)), B ∈ 𝔹, er da et mål på Borelalgebraen (jvf. afsnit 4.5) som betegnes ϕ(μ). For en vilkårlig Borelmængde, B, gælder at

ϕ(μ)(B) = μ(ϕ^{−1}(B))  (1)
= μ(∪_{a_{i}∈B}A_{i})  (2)
= ∑_{a_{i}∈B} μ(A_{i})  (3)

= ∑_{i=1}^{n} μ(A_{i})ϵ_{a_{i}}(B)  (4)

I skridtet fra (2)-(3) udnyttede vi at mængderne A_{1}, ..., A_{n} var parvist disjunkte og i sidste skridt brugte vi definitionen at Diracmålet i a_{i}. Da B var vilkårlig gælder altså at ϕ(μ) = ∑_{i=1}^{n} μ(A_{i})ϵ_{a_{i}}, hvilket var hvad der skulle vises.