Opgave 5.7

Jakob Stubgaard

3. april 2001

Vi lader L = {2, 4, 6, ...} være mængden af lige tal og P = {2, 3, 5, 7, ...} være mængden af primtal. Med notation som i afsnit 5.1 skal vi bestemme 𝔻({L, P }) samt σ({L, P }). Enhver σ–klasse skal indeholde hele mængden, dvs. der må gælde at ℕ ∈ 𝔻({L, P }). Da en σ– klasse ydermere skal være stabil over for komplentærmængdedannelse må mængderne Ø, ∁L og ∁P også tilhøre 𝔻({L, P }). Mao. har vi at 𝔻 := {Ø, ℕ, L, ∁L, P, ∁P } ⊆ 𝔻({L, P }). Hvis vi kan vise at systemet 𝔻 er en σ–klasse så må der gælde lighedstegn idet 𝔻({L, P }) er den mindste σ–klasse der indeholder L og P. Man checker let at definition 5.1 gælder for systemet 𝔻, idet vi bemærker at de eneste ikke–trivielle disjunkte foreninger vi kan danne med mængder fra 𝔻 er L ∪ ∁L, P ∪ ∁P og ∅ ∪ ℕ. Disse foreningsmængder er alle lig med ℕ og de tilhører derfor 𝔻. Dermed har vi vist at 𝔻({L, P }) = 𝔻, specielt har vi vist at 𝔻({L, P }) indeholder netop 6 elementer.

For at bestemme σ({L, P }) benyttes samme strategi som i opgave 1.5 (jvf. uge 6). Vi danner først de 4 byggesten A_{ij}, i, j = 0, 1 som er givet ved A_{ij} = L_{i} ∩ P_{j}, hvor L_{0} = L, L_{1} = ∁L, P_{0} = P og P_{1} = ∁P. Mao. er

A_{00} = L ∩ P = {2} og A_{01} = L ∩ (∁P) = {4, 6, 8, ...}  (1)
A_{10} = (∁L) ∩ P = {3, 5, 7, 11, ...} og A_{11} = (∁L) ∩ (∁P) = {1, 9, 15, 21, ...}  (2)

Vi bemærker først at disse 4 mængder er disjunkte og at deres forening er lig ℕ. At de er disjunkte er klart og at deres foreningsmængde er ℕ skyldes at ethvert naturligt tal, n, jo enten vil ligge i L eller ∁L og tilsvarende for P. Vi vælger derfor den kombination af L, ∁L, P og ∁P således at n ∈ A_{ij}. Da σ({L, P }) er en σ–algebra som indeholder L og P må alle mængderne A_{ij} tilhøre σ({L, P }) (en σ–algebra er fællesmængdestabil) og da enhver σ–algebra endvidere er foreningsmængdestabil må samtlige tænkelige foreningsmængder af de fire mængder, A_{ij}, også tilhøre σ({L, P }). Disse foreninger er der netop 16 mulige af (inklusive den tomme forening ∅). Antallet af sådanne foreninger er nemlig lig med antallet af delmængder af en mængde på 4 elementer som jo er 2^{4} = 16. Kan vi vise at mængdesystemet bestående af disse 16 mængder, betegnet 𝔼, udgør en σ–algebra, så gælder at σ({L, P }) = 𝔼, idet σ({L, P }) er den mindste σ–algebra der indeholder L og P. Ifølge ovenstående er ℕ lig med foreningen af de fire mængde A_{ij} dvs. ℕ ∈ 𝔼. Endvidere er 𝔼 også stabil overfor tællelige foreninger idet hvis E_{1}, E_{2}, ... ∈ 𝔼, så er alle mængderne E_{n} en forening af de fire mængder A_{ij}, og derfor vil ∪_{n}E_{n} også være det. Endelig er 𝔼 også stabil overfor komplementærmængdedannelse, idet hvis E er en forening af nogle af A_{ij}’erne så er ∁E lig med foreningen af de resterende A_{ij}’er (mængderne A_{ij} var disjunkte og deres forening var ℕ). Altså er 𝔼 en σ–algebra, og hermed er det vist at antallet af elementer i σ({L, P }) er netop 16. I denne opgave har vi altså et eksempel på en σ–klasse som ikke er en σ–algebra. I opgave 1.5 viste vi, ved samme bevis som her, at antallet af elementer i σ({L, P }) var højst 16, men hvis beviset gås efter ser man, at grunden til, at vi får netop 16 elementer i denne opgave, er, at de fire byggesten, A_{ij}, er ikke–tomme.