Vejledende besvarelse af opgave 5.25

Rasmus Ejlers Møgelberg

18. april 2001

Lad E ⊆]0, 1] være en Borelmængde med positivt Lebesgue-mål. Vi definerer nu en ækvivalensrelation i E ved:

x ∼ y ⟺ x − y ∈ ℚ

Ækvivalensrelationen deler E i ækvivalensklasser, og ved hjælp af udvalgsaksiomet definerer vi mængden A til at bestå af netop en representant fra hver ækvivalensklasse. Vi skal nu vise at:

E ⊆ ∪_{q∈ℚ∩]−1,1[}(A + q) ⊆] − 1, 2[  (∗)

Givet x ∈ E findes a ∈ A i samme ækvivalensklasse som x. Dvs. x−a = q ∈ ℚ, og da x, a ∈]0, 1] er q ∈] − 1, 1[. Dette viser den første inklusion. Den anden inklusion følger af at A ⊆]0, 1].

I anden del af opgaven skal vi vise at A ikke er Lebesgue målelig. Antag for modstrid at A er Lebesgue målelig. Først bemærkes at foreningen i midten af ligningen (∗) er en tællelig forening af disjunkte mængder, ud fra konstruktionen af A. Antag nemlig at a_{1} + q_{1} = a_{2} + q_{2}, for a_{1}, a_{2} ∈ A og q_{1}, q_{2} ∈ ℚ∩] − 1, 1[, da er a_{1} ∼ a_{2}, og da der kun var et element i A for hver ækvivalensklasse må a_{1} = a_{2} og q_{1} = q_{2}. Hvis A er målelig er da A + q samt foreningen af disse målelig med mål:

m(∪_{q∈ℚ∩]−1,1[}(A + q)) = ∑_{q∈ℚ∩]−1,1[}m(A + q) = ∑_{q∈ℚ∩]−1,1[}m(A) = ∞ · m(A)

Af første inklusion i (∗) ses at foreningen må have mål større end E, som har strengt positivt mål. For at dette kan lade sig gøre må A have positivt mål. Af den anden inklusion ses at foreningen må have mål mindre end m(] − 1, 2[) = 3, hvilket medfører at A har mål nul. Dette er en modstrid.