Sommer 2000 opgave 2 og 6

Jakob Stubgaard

27. april 2001

OPGAVE 2: Vi skal bestemme

lim_{n→∞} ∫_{−∞}^{∞} \frac{cos(\sqrt{1 + x^{2}/n})}{1 + x^{2}}dx

For alle n ∈ ℕ og alle x ∈ ℝ gælder at |^{\frac{cos(\sqrt{1+x^{2}/n})}{1+x^{2}}}| ≤ \frac{1}{1+x^{2}} = f(x). f er integrabel idet den er målelig (da kontinuert) og

∫_{−∞}^{∞} f(x)dx = [arctan(x)]_{−∞}^{∞} = π < ∞  (1)

Dvs. f er en integrabel majorant for funktionsfølgen (f_{n})_{n∈ℕ}, hvor f_{n}(x) = ^{\frac{cos(\sqrt{1+x^{2}/n})}{1+x^{2}}}. Der gælder at f_{n} er målelig for alle n (da f_{n} er kontinuert) og desuden gælder at f_{n}(x) → \frac{cos(1)}{1+x^{2}} punktvis for n → ∞. Lebesgues majorantsætning giver derfor at

lim_{n→∞} ∫_{−∞}^{∞} \frac{cos(\sqrt{1 + x^{2}/n})}{1 + x^{2}}dx = ∫_{−∞}^{∞} \frac{cos(1)}{1 + x^{2}} dx = cos(1)π  (2)

Her følger sidste lighedstegn af (1).

OPGAVE 6:

i) For x ∈ ℝ\ℤπ gælder at | cos(x)| < 1 og derfor vil | cos(x)|^{n} → 0 for n → ∞. For x ∈ ℤπ er | cos(x)| = 1 og derfor vil | cos(x)|^{n} ikke konvergere mod 0 når n → ∞. Men mængden ℤπ er en m–nulmængde, da den er tællelig, dvs. | cos(x)|^{n} → 0 m–n.o. ii) Vi sætter A = ⋃_{n∈ℤ}([−\frac{π}{4} , \frac{π}{4} ] + nπ) = ⋃_{n∈ℤ}[−\frac{π}{4} + nπ, \frac{π}{4} + nπ]. A er en Borelmængde da den er en tællelig forening af afsluttede intervaller og da disse intervaller er disjunkte gælder at

m(A) = m( ⋃_{n∈ℤ}[−\frac{π}{4} + nπ, \frac{π}{4} + nπ]) = ∑_{n∈ℤ}m([−\frac{π}{4} + nπ, \frac{π}{4} + nπ]) = ∑_{n∈ℤ} \frac{π}{2} = ∞  (3)

iii) Vi får oplyst at | cos(x)| ≥ \frac{\sqrt{2}}{2}1_{A}(x) for x ∈ ℝ. Dermed gælder for et vilkårligt n ∈ ℕ at

∫_{−∞}^{∞} | cos(x)|^{n}dx ≥ ∫_{−∞}^{∞}(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n}1_{A}(x)dx = (\frac{\sqrt{2}}{2})^{n}m(A) = ∞  (4)

Dermed gælder altså ikke at lim_{n→∞} ∫_{−∞}^{∞} | cos(x)|^{n}dx = 0.