Vejledende besvarelse af opgave 4 og 5 fra eksamen maj 2000

Rasmus Ejlers Møgelberg

6. maj 2001

Opgave 4

(i) Vi skal vise at der ved:

μ(E) = ∫_{E} t^{2}dm(t)

defineres et mål på ℝ med Borelalgebraen. Hvis vi definerer ϕ : ℝ → ℝ ved ϕ(t) = t^{2} er ϕ kontinuert og positiv, og derfor ϕ ∈ M^{+}(ℝ, 𝔹), og μ er da blot Lebesguemålet med tæthed ϕ (ofte betegnet ϕ · m) som defineret på side 4.18 i noterne.

(ii) Nu skal vi bestemme ∫_{ℝ} fdμ, hvor f : ℝ → ℝ er defineret ved:

f(x) = \{ \begin{matrix}1 & hvis − 5 ≤ x < 0 \\ 2 & hvis 0 ≤ x ≤ 7 \\ 0 & hvis x < −5 eller x > 7 \end{matrix}

Bemærk at f = 1_{[−5,0[} + 2 ∗ 1_{[0,7]}, hvor 1_{A} betegner indikatorfunktionen for mængden A. De definerende egenskaber for integralet (hovedsætning 4.2 egenskaber (i) og (ii)) giver nu at:

∫_{ℝ} fdμ = μ([−5, 0[) + 2 ∗ μ([0, 7])

Regnes på dette fås:

∫_{−5}^{0} t^{2}dt + 2 ∫_{0}^{7} t^{2}dt = [^{1}/_{3}t^{3}]_{−5}^{0} + 2 [^{1}/_{3}t^{3}]_{0}^{7} = ^{1}/_{3}(125 + 686) = \frac{811}{3}

Opgave 5

Lad C være enhedscirklen i ℝ^{2}, dvs. C = {(x, y)|x^{2} + y^{2} = 1}. Vi skal vise at m_{2}(C) = 0. Bemærk at C er afsluttet og derfor målelig. Korollar 6.10 giver:

m_{2}(C) = ∫_{ℝ} m(C_{x})dx

hvor C_{x} betegner snitmængden {y|(x, y) ∈ C}. Bemærk at C_{x} er tom for x < −1 og x > 1, samt at for x = ±1 er C_{x} = {0} og for −1 < x < 1 består C_{x} af to punkter. Dvs. at C_{x} altid er endelig og derfor er m(C_{x}) = 0 for alle x. Nu har vi:

m_{2}(C) = ∫_{ℝ} m(C_{x})dx = ∫_{ℝ} 0dx = 0