Opgave 0.3

Jakob Stubgaard

9. februar 2001

Lad A og B være delmængder af en mængde X og lad (A_{j})_{j∈J} være en familie af delmængder af X. For at løse opgaven er det nok at vise følgende identiteter:

1 = 1_{A} + 1_{∁A}  (1)

1_{A∪B} + 1_{A∩B} = 1_{A} + 1_{B}  (2)

1_{∪_{j}A_{j}} = sup_{j} 1_{A_{j}}  (3)

1_{∩_{j}A_{j}} = inf_{j} 1_{A_{j}}  (4)

Ad 1: Lad x ∈ X være vilkårlig. Hvis x ∈ A så er 1_{A}(x) = 1 og 1_{∁A}(x) = 0, og hvis x ∉ A gælder omvendt at 1_{A}(x) = 0 og 1_{∁A}(x) = 1, hvilket viser det ønskede. Ad 2: Lad x ∈ X være vilkårlig. Hvis x ∈ A har vi to muligheder: Hvis x ∈ B, så tilhører x altså A ∩ B og begge sider i (2) giver derfor 2. Hvis derimod x ∉ B, så giver begge sider i (2) 1. Antages dernæst at x ∉ A, så er 1_{A∩B}(x) = 1_{A}(x) = 0 og det ses let at (2) er opfyldt (begge sider giver 1 hvis x ∈ B og 0 ellers). Ad 3: Lad x ∈ X. Vi deler da i to tilfælde: Hvis x ∈ ∪_{j}A_{j} (dvs. venstresiden i (3) er lig 1) så findes altså et j_{0} så x ∈ A_{j_{0}} og dermed bliver sup_{j} 1_{A_{j}}(x) = 1 som ønsket. Hvis omvendt x ∉ ∪_{j}A_{j} (dvs. venstresiden i (3) er lig med 0) så gælder altså for alle j at x ∉ A_{j} og derved bliver også sup_{j} 1_{A_{j}}(x) = 0. Ad 4: Lad x ∈ X. Igen deles i to tilfælde: Hvis x ∈ ∩_{j}A_{j} (dvs. venstresiden i (4) er lig 1) så gælder at x ∈ A_{j} for alle j og derfor er 1_{A_{j}}(x) = 1 for alle j, dvs. inf_{j} 1_{A_{j}}(x) = 1. Hvis omvendt x ∉ ∩_{j}A_{j} (dvs. venstresiden i (4) er lig 0) så findes et j_{0} så x ∉ A_{j_{0}} og derfor er 1_{A_{j_{0}}} (x) = 0. Dermed bliver inf_{j} 1_{A_{j}}(x) = 0.