Vejledende besvarelse af opgave 3.3

Rasmus Ejlers Møgelberg

13. februar 2001

Vi skal vise at μ : P(X) → [0, ∞] defineret ved:

μ(E) = \{ \begin{matrix}0 & når E er endelig eller numerabel \\ ∞ & ellers \end{matrix}

er et mål i X. Først bemærkes at P(X) er en σ-algebra, så (X, P(X)) er et målbart rum. Nu skal blot eftervises de to betingelser (i) og (ii) i definition 3.1.

Den tomme mængde er endelig, så μ(∅) = 0, hvilket viser (i). For at vise (ii), antag at E_{1}, E_{2}, … er en følge af parvist disjunkte delmængder af X. Antag først at alle mængderne i følgen er tællelige (dvs. endelige eller numerable). Da er også ∪_{i=1}^{∞}E_{i} tællelig og

μ(∪_{i=1}^{∞}E_{i}) = 0 = Σ_{i=1}^{∞}0 = Σ_{i=1}^{∞}μ(E_{i})

Antag modsat at mindst en af mængderne i følgen er overtællelig. Da er foreningen af alle mængderne i følgen også overtællelig og

μ(∪_{i=1}^{∞}E_{i}) = ∞ = Σ_{i=1}^{∞}μ(E_{i})

Dette beviser at μ er et mål.