Opgave 0.9

Jakob Stubgaard

22. februar 2001

Lad (a_{n}) være en talfølge i \overline{ℝ}. Da defineres tallene lim inf_{n} a_{n} og lim sup_{n} a_{n} (som kan være ±∞) ved udtrykkene lim inf_{n} a_{n} = sup_{p≥1} inf{a_{n}|n ≥ p} = lim_{p}(inf{a_{n}|n ≥ p}) lim sup_{n} a_{n} = inf_{p≥1} sup{a_{n}|n ≥ p} = lim_{p}(sup{a_{n}|n ≥ p}) Med disse definitioner skal vi vise følgende sætning:

Sætning 0.1. Talfølgen (a_{n}) er konvergent i \overline{ℝ} hvis og kun hvis lim inf_{n} a_{n} = lim sup_{n} a_{n}. Og som det fremgår af beviset er grænseværdien (som kan være ±∞) i bekræftende fald givet som lim_{n} a_{n} = lim inf_{n} a_{n} = lim sup_{n} a_{n}

Bevis. Antag først at følgen er konvergent med grænseværdi a. Vi deler da op i de tre tilfælde a ∈ ℝ, a = ∞ og a = −∞. Hvis vi først antager at a ∈ ℝ, så gælder, at der for et vilkårligt ϵ > 0, findes et N ∈ ℕ så |a − a_{n}| ≤ ϵ for alle n ≥ N. Dermed gælder altså for alle n ≥ N at a_{n} ∈ [a − ϵ, a + ϵ]. Dermed må også inf{a_{n}|n ≥ p} og sup{a_{n}|n ≥ p} tilhøre intervallet [a − ϵ, a + ϵ] for alle p ≥ N. Dvs. talfølgerne (inf{a_{n}|n ≥ p})_{p} og (sup{a_{n}|n ≥ p})_{p} konvergerer mod a og disse talfølgers grænseværdier er jo netop lim inf_{n} a_{n} hhv. lim sup_{n} a_{n}. Dernæst antager vi at a = ∞, og lader M > 0 være givet. Hvis vi kan vise at lim inf_{n} a_{n} ≥ M kan vi deraf slutte, da M er vilkårligt, at lim inf_{n} a_{n} = ∞. Endelig slutter vi at også lim sup_{n} a_{n} = ∞, da lim inf_{n} a_{n} ≤ lim sup_{n} a_{n}. Vi skal altså vise at lim inf_{n} a_{n} ≥ M. Da a_{n} → ∞ for n → ∞ kan vi finde et N ∈ ℕ således at a_{n} ≥ M for alle n > N. For alle p > N gælder derfor at inf{a_{n}|n ≥ p} ≥ M, dvs. lim inf_{n} a_{n} ≥ M. Tilsvarende vises i tilfældet a = −∞, at også lim sup_{n} a_{n} = −∞ og dermed vil også lim inf_{n} a_{n} = −∞ idet lim inf_{n} a_{n} ≤ lim sup_{n} a_{n}.

Antages nu at lim inf_{n} a_{n} = lim sup_{n} a_{n} = L, så skal det vises at følgen (a_{n}) er konvergent. Hertil kan man evt. benytte følgende egenskaber ved lim inf og lim sup (vi skal kun bruge 2 af dem, men jeg synes at de tilsammen giver en god karakterisering af lim inf og lim sup): 1a: Hvis c > lim sup_{n} a_{n} så er der kun endeligt mange n ∈ ℕ for hvilke a_{n} ≥ c (dvs. ∃N ∈ N∀n > N : a_{n} < c). Hvis nemlig a_{n} ≥ c for uendeligt mange n så er sup{a_{n}|n ≥ p} ≥ c for alle p og derved må lim sup_{n} a_{n} ≥ c. 1b: Hvis c < lim sup_{n} a_{n} så er der uendeligt mange n ∈ ℕ for hvilke a_{n} > c (dvs. ∀n∃p : a_{n+p} > c). Hvis nemlig a_{n} > c for kun endeligt mange n så er sup{a_{n}|n ≥ p} ≤ c for p stor nok og derved må lim sup_{n} a_{n} ≤ c. Helt tilsvarende kan man vise at der for lim inf gælder 2a: Hvis c > lim inf_{n} a_{n} så er der uendeligt mange n ∈ ℕ for hvilke a_{n} < c (dvs. ∀n∃p : a_{n+p} < c). 2b: Hvis c < lim inf_{n} a_{n} så er der kun endeligt mange n ∈ ℕ for hvilke a_{n} ≤ c (dvs. ∃N∀n > N : a_{n} > c).

Som ovenfor deler vi i tre tilfælde L ∈ ℝ, L = ∞ og L = −∞. Vi antager først at L ∈ ℝ, og lader ϵ > 0 være vilkårligt. Da L + ϵ > L = lim sup_{n} a_{n} giver 1a, at der kun er endeligt mange n ∈ ℕ med a_{n} ≥ L + ϵ, dvs. der findes et N_{1} ∈ ℕ så a_{n} < L + ϵ for alle n > N_{1}. Tilsvarende giver egenskab 2b (med c = L − ϵ) at der findes et N_{2} ∈ ℕ så L − ϵ < a_{n} for alle n > N_{2}. Men så er L − ϵ < a_{n} < L + ϵ for alle n > N = max{N_{1}, N_{2}}, dvs. a_{n} → L for n → ∞. Antages dernæst at L = ∞, så er specielt lim inf_{n} a_{n} = ∞ og egenskab 2b giver derfor at der for alle M ∈]0; ∞[ findes et N ∈ ℕ så a_{n} > M for alle n > N. Men dette betyder jo præcist at a_{n} → ∞ = L for n → ∞. Endelig udnyttes egenskab 1a til, på tilsvarende måde, at vise tilfældet L = −∞.