Vejledende besvarelse af opgave 3.13

Rasmus Ejlers Møgelberg

1. marts 2001

Lad (X, 𝔼, μ) være et målrum, og antag for funktioner fra X ind i ℝ at f_{n} → f μ-n.o. samt h_{n} = f_{n} μ-n.o. og h = f μ-n.o. . Vi skal vise at h_{n} → h n.o..

Antagelsen h_{n} = f_{n} n.o. betyder at der eksisterer nulmængder A_{n}, så h_{n}(x) = f_{n}(x) for x ∈ X \ A_{n}. Ligeledes eksisterer nulmængder B og C så f_{n}(x) → f(x) for alle x ∈ X \ B og f(x) = h(x) for x ∈ X \ C. Nu gælder klart at for x ∈ X \ (∪_{n∈ℕ}A_{n} ∪ B ∪ C) at h_{n}(x) = f_{n}(x) → f(x) = h(x), så hvis vi blot kan vise at ∪_{n∈ℕ}A_{n} ∪ B ∪ C er en nulmængde har vi vist det ønskede. Dette følger af følgende lemma:

Lemma 1. En tællelig forening af nulmængder er igen en nulmængde.

Bevis: Antag (U_{n})_{n∈ℕ} er en følge af nulmængder i X med hensyn til målet μ. Vi ved ikke nødvendigvis at hvert U_{n} er målelig, men vi ved at der findes målelige mængder V_{n} så U_{n} ⊆ V_{n} og μ(V_{n}) = 0. Nu er ∪_{n∈ℕ}U_{n} ⊆ ∪_{n∈ℕ}V_{n} og

μ(∪_{n∈ℕ}V_{n}) ≤ Σ_{n∈ℕ}μ(V_{n}) = 0

Så ∪_{n∈ℕ}U_{n} er en nulmængde som ønsket.