3MI-eksamen — Forårspensum — 4. januar 2001

Opgaver til besvarelse i 3 timer. Opgavesættet er på 3 sider og består af 7 opgaver. De første 90 minutter er uden hjælpemidler, de sidste 90 minutter er med alle sædvanlige hjælpemidler. Efter 90 minutter indsamles besvarelsen af stilopgaven (Opgave 1). Opgave 1 vægtes med 90 point, og de øvrige opgaver (Opgave 2 – 7) vægtes med tilsammen 90 point.

Opgave 1 — stilopgave (90 point) Carathéodory’s Sætning. Din besvarelse skal indeholde:

• En definition af begrebet et ydre mål μ^{∗},

• En definition af μ^{∗}-målelige mængder (hvor μ^{∗} er et ydre mål).

• En formulering af Carathéodory’s Sætning.

• Et bevis for Carathéodory’s Sætning. (Sidste punkt tæller 70 % af stilopgaven.) Du kan uden bevis benytte det lemma fra noterne, som siger, at hvis A er en familie af delmængder af en mængde X, således at A udgør en algebra, og A er afsluttet under tællelige disjunkte foreninger (dvs. for alle følger {A_{n}}_{n=1}^{∞} af parvis disjunkte mængder i A gælder ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} ∈ A), da er A en σ-algebra. Undervejs skal du bevise, at hvis {E_{n}}_{n=1}^{∞} er en følge af parvis disjunkte μ^{∗}-målelige mængder, hvis F_{n} = ⋃_{j=1}^{n} E_{j}, og hvis F = ⋃_{j=1}^{∞} E_{j}, så gælder identiteterne

(1)  μ^{∗}(A ∩ F_{n}) = ∑_{j=1}^{n} μ^{∗}(A ∩ E_{j}),
(2)  μ^{∗}(A) = μ^{∗}(A ∩ F) + μ^{∗}(A ∩ ∁F) = ∑_{j=1}^{∞} μ^{∗}(A ∩ E_{j}) + μ^{∗}(A ∩ ∁F),

for alle A ∈ P (X).

Opgave 2 (10 point) Bestem grænseværdien

lim_{n→∞} ∫_{−∞}^{∞} cos(\frac{x^{2} + 7n}{n})e^{−|x|}dx.

Du skal argumentere omhyggeligt for hvert skridt.

Opgave 3 (20 point) Lad f: ℝ → ℝ være givet ved

f(x) = \begin{cases}1, & x ∈ [−1, 0[, \\ −2, & x ∈ [0, 4], \\ 0, & x ∈ ]− ∞, −1[ ∪ ]4, ∞[, \end{cases}

Lad m være det sædvanlige Lebesguemål på ℝ, lad ε_{0} være Dirac målet i 0 på ℝ, og lad μ være tællemålet på ℝ.

(i) Gør rede for, at f er en Borel funktion.

(ii) Afgør om f ∈ L(m), afgør om f ∈ L(ε_{0}), og afgør om f ∈ L(μ).

(iii) Bestem de af nedenstående integraler som er definerede (jvf. spørgsmål (ii)):

∫_{ℝ} fdm,  ∫_{ℝ} fdε_{0},  ∫_{ℝ} fdμ.

Opgave 4 (15 point) Lad f: ℝ^{2} → ℝ være en kontinuert funktion. Gør rede for, at de to dobbeltintegraler nedenfor er veldefinerede og lig med hinanden for alle endelige positive tal N, M.

∫_{−N}^{N} ( ∫_{−M}^{M} f(x, y)dx)dy, ∫_{−M}^{M} ( ∫_{−N}^{N} f(x, y)dy)dx.

Opgave 5 (15 point) Vis at

| ∫_{0}^{1} xf(x)dx| ≤ \frac{1}{\sqrt{3}}( ∫_{0}^{1} |f(x)|^{2}dx)^{1/2}

for alle f ∈ L^{2}([0, 1], m).

Opgave 6 (15 point) Lad μ være målet på ℝ givet ved

μ(E) = ∫_{E} e^{x}dx,

og lad m være det sædvanlige Lebesguemål på ℝ. Betragt delmængden

E = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ y ≤ x ≤ 1}

af ℝ^{2}.

(i) Bestem snittet E_{x} for hvert x i ℝ. (ii) Bestem (m ⊗ μ)(E).

Opgave 7 (15 point) Lad E være delmængden af ℝ^{2} givet ved

E = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x + y ∈ ℚ}.

Gør rede for, at E er en Borel mængde og bestem m_{2}(E).