3MI-eksamen — Forårspensum — 14. januar 2000

Opgaver til besvarelse i 3 timer.

Opgavesættet er på 2 sider og består af 7 opgaver.

De første 90 minutter er uden hjælpemidler, de sidste 90 minutter er med alle sædvanlige hjælpemidler. Efter 90 minutter indsamles besvarelsen af stilopgaven (Opgave 1). Opgave 1 vægtes med 90 point, og de øvrige opgaver (Opgave 2 – 7) vægtes med tilsammen 90 point.

Opgave 1 — stilopgave (90 point)

Integral med reel parameter

For at komme godt i gang med opgaven kridtes banen op: Lad (X, 𝔼, μ) være et målrum, lad I være et interval på ℝ, og lad f: X × I → ℂ være en funktion, hvorom det gælder, at snitfunktionerne f^{t} tilhører L(X, 𝔼, μ) for alle t i I. Husk at f^{t}(x) = f(x, t). Sæt

F (t) = ∫_{X} f^{t} dμ = ∫_{X} f(x, t) dμ(x), t ∈ I.

Formuler og bevis en sætning, som udtaler sig om kontinuitet af F (Sætning 4.26).

Formuler og bevis en sætning, som udtaler sig om differentiabilitet af F, og hvori et udtryk for den afledede F′ gives (Sætning 4.28).

Opgave 2 (10 point) Lad E være mængden af punkter (x, y) ∈ ℝ^{2}, for hvilke enten x eller y er rational. Vis at E er en Borel delmængde af ℝ^{2}, og bestem m_{2}(E), hvor m_{2} er Lebesguemålet på ℝ^{2}.

Opgave 3 (20 point) Lad f: ℝ → ℝ være en kontinuert funktion. For hvert naturligt tal n sæt

f_{n}(x) = \begin{cases}f(x), & hvis |f(x)| ≤ n, \\ n, & hvis f(x) > n, \\ −n, & hvis f(x) < −n. \end{cases}

(i) Begrund at f_{n} er målelig for alle naturlige tal n.

(ii) Vis at f er integrabel mht. Lebesguemålet m på ℝ hvis

sup_{n∈ℕ}∫_{ℝ} |f_{n}| dm < ∞. (†)

(iii) Undersøg om man omvendt kan slutte at (†) gælder, hvis det vides, at f er integrabel. Opgave 4 (15 point) Sæt

A = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 < x ≤ y ≤ π/2} ⊆ ℝ^{2},

og lad f: ℝ^{2} → ℝ være givet ved

f(x, y) = \begin{cases}cos(y)/y, & hvis (x, y) ∈ A, \\ 0, & hvis (x, y) ∈ ℝ^{2} \ A \end{cases}

Gør omhyggeligt rede for, at

∫_{ℝ^{2}} f(x, y) dm_{2}(x, y) = ∫_{ℝ} ( ∫_{ℝ} f(x, y) dm(x))dm(y) = ∫_{ℝ} ( ∫_{ℝ} f(x, y) dm(y))dm(x), og beregn dernæst integralet. Opgave 5 (15 point) Vis at

| ∫_{0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx| ≤ \sqrt[3]{16} ( ∫_{0}^{1} |f(x)|^{3} dx)^{1/3}

for alle f ∈ L_{3}([0, 1], m). Opgave 6 (10 point) Gør omhyggeligt rede for, at

lim_{n→∞} ∫_{0}^{∞} cos (\frac{x^{2} + 1}{n})e^{−x}dx = 1.

Opgave 7 (20 point) Lad μ være tællemålet på ℤ, lad som sædvanligt m være Lebesguemålet på ℝ, og sæt

E = {(t, n) ∈ ℝ × ℤ | |t| + |n| ≤ 2}.

(i) Gør rede for, at E tilhører produkt σ-algebraen 𝔹(ℝ) ⊗ P (ℤ). (ii) Bestem snittet E^{n} for alle n ∈ ℤ. (iii) Bestem (m ⊗ μ)(E), hvor m ⊗ μ er produktmålet på ℝ × ℤ.