UNAM

Posgrado de matemáticas

Semestre 2018-I

   

La probabilidad aplicada es una subárea de probabilidad que se enfoca en establecer métodos para calcular propiedades probabilistas en modelos estocásticos “reales” (tales como la teoría de riesgo en seguros, teoría de colas, telecomunicaciones y genética). Ejemplos de estas propiedades incluyen probabilidades de ruina, distribuciones de equilibrio y longitudes de árboles ancestrales de genes. Se usan métodos de procesos estocásticos, entre ellos: cadenas y procesos de Markov, distribuciones tipo fase y matriz exponenciales, martingalas, teoría de renovación, caminatas aleatorias, métodos regenerativos, movimiento Browniano y procesos aditivos de Markov. Estos temas serán estudiados rigurosamente durante el curso. En este curso nos enfocaremos principalmente en las aplicaciones a los riesgos de seguros, basado en el uso de distribuciones tipo fase. Las distribuciones tipo fase, que forman una clase de distribuciones densa dentro de la clase de distribuciones no-negativas, permiten establecer fórmulas explícitas para obtener las soluciones de muchos modelos complejos. Están definidas en términos de procesos de Markov de saltos y generalizan las mezclas y convoluciones de las distribuciones exponenciales.

 

Bibliografía: Bladt & Nielsen (2017) Matrix-exponential distributions in applied probability. Springer Verlag.

   

Presentaciones

Renovación 1

Renovación 2

Anscombe

PH renewal

Random Walk I

Random Walk II

Estimación

Programa EMPht

Proyecto final

Descripción

Datos en archivos de texto aqui y aqui

Programa para estimar distribuciones tipo fase aqui

Examen Final: Jueves 30, a las 12 hrs. en el salon de siempre. Cada alumno expone su trabajo por 10-15 min seguido por preguntas de 5-10 min. Se puede presentar en el orden que prefieren.

Clases

  • 8.8.2017 : Introducción al curso y repaso del proceso de Poisson con énfasis en la definición infinitesimal y el concepto de intensidad. Paginas: 1-6.

  • 10.8.2017: Leer como repaso p. 6-36. En clase veremos p. 27-36, i.e. introduccíon a distribuciones tipo fase discreto. La definicion del producto Kronecker y sus propiedades pueden encontrar en el Apendice A4, p. 717. Ejercicio 1.3.59 nos servira como ejemplo principal de una distribución tipo fase discreta.

  • 15.8.2017: Propiedades de distribuciones tipo fase discreto: convolucion, mezcla, mínimo y máximo, función generador y momentos factoriales (pp. 32-36). Procesos multidimensionales y el orden lexicográfica (pp. 27-28) junto con propiedades básicas del producto Kronecker.

  • 17.8.2017: Cadenas de Markov en tiempo continua (pp. 36-43), uniformización (pp. 51-53) y procesos multidimensionales (pp. 55-57).

  • 22.8.2017: Uniformización (pp. 51-53), procesos multidimensionales (pp. 55-57), la suma Kronecker (pp. 719-720) e introduccion a distribuciones tipo fase.

  • 24.8.2017: Propiedades básicas de distribuciones tipo fase (pp. 3.1.1-3.1.3).

  • 29.8.2017: 3.1.4 - 3.1.8

  • 31.8.2017: 3.2.1

  • 5.9.2017: 5.1.1 hasta Definition 5.1.6.

  • 7.9.2017: 5.1.1-5.1.3.

  • 12.9.2017: Teorema de Blackwell, Sec. 5.2.1.

  • 14.9.2017: 5.2.2, 5.2.3, 5.2.4 y 5.2.5.

  • 19.9.2017: Teorema de Anscombe (5.2.5) y inicio a teoria de renovación tipo fase (5.3)

  • 21.9.2017: Clase cancelada por el sismo.

  • 26.9.2017: Clase cancelada por el Foro Estadística.

  • 28.9.2017: Terminando teoria de renovación tipo fase y caminatas aleatorias (Cap. 6).

  • 3.10.2017: Caminatas aleatorias con componentes tipo fase y exponencial. Wiener-Hopf. (p. 367-380).

  • 5.10.2017: Caminatas aleatorias con componentes tipo fase y exponencial. Modelos de riesgo, probabilidades ruina.

  • 10.10.2017: Estimación de distribuciones tipo fase. Algoritmo EM. (p. 659-660, 671-681).

  • 12.10.2017: Datos censurados, ajuste a distribución téorico, MCMC. (p. 681-691, 662--668).

  • 17.10.2017: Cancelación por examen en otro curso.

  • 19.10.2017: Ejemplos de estimación (programa) y datos censurados. Programa para la estimacion lo pueden bajar aqui. Programa R que se puede ejecutar durante o despues la corrida del EMpht para desplegar el ajuste aqui (Recuerda ajustar el path adecuadamente).

  • 24.10.2017 y 26.10.2017: Trabajo de proyecto. El proyecto se publicará el fin de semana anterior. Proyecto esta aqui y datos aqui

  • 31.10.2017: MCMC y la estimación de distribuciones tipo fase. (Sec. 12.8, 13.6, 13.7, 13.8.1)

  • 7.10.2017: Iniciando procesos aditivos de Markov. (Cap. 9)