K-TEORI FOR C^{∗}-ALGEBRAER

KASPER K. S. ANDERSEN & JESPER K. GRODAL

Date: 1. Maj 1995.

Indhold

Forord 1 1. Notation og forberedelser 3 2. K_{0} 9 3. K_{1} og indexafbildningen 14 4. K_{0} og K_{1} for udvalgte C^{∗}-algebraer 20 5. Homologi og Bott periodicitet 21 6. Konstruktioner med C^{∗}-algebraer 25 7. Surjektivitet af K_{0} og K_{1} 27 Litteratur 29

K-TEORI FOR C^{∗}-ALGEBRAER 1

Forord

K-teori for C^{∗}-algebraer generaliserer den klassiske K-teori for topologiske rum. Her studeres isomorfiklasser af komplekse vektorbundter over et (kompakt) topologisk rum X. Disse udstyres med regneoperationen ‘punktvis direkte sum af vektorrum’ (Whitney sum). Herved fås en abelsk monoide, og ved at tage Grothendieckgruppen hørende til denne monoide fremkommer en abelsk gruppe K^{0}(X). Swans sætning siger at ethvert vektorbundt E over et kompakt rum kan trivialiseres, dvs. der findes et vektorbundt F så E ⊕ F er triviel, altså isomorf med X × ℂ^{n}. Dette giver for hvert x ∈ X en projektion P_{x} : ℂ^{n} → E_{x}. Altså fås en projektion i 𝕄_{∞}(C(X)) for ethvert vektorbundt E. Omvendt er det klart at enhver projektion i 𝕄_{∞}(C(X)) giver anledning til et vektorbundt over X. Identificeres similære projektioner fås en bijektion. K-teori for C^{∗}-algebraer er en generalisering af dette idet C(X) erstattes af en vilkårlig C^{∗}-algebra A (med enhed). Når man studerer projektioner i 𝕄_{∞}(A) falder similaritet sammen med andre naturlige ækvivalensrelationer, nemlig Murray-von Neumann ækvivalens, unitær ækvivalens og homotopiækvivalens (i hvert fald hvis man betragter tilstrækkeligt store matricer). I tilfældet hvor C^{∗}-algebraen ikke har enhed, må man ligesom i tilfældet med ikke-kompakte, lokalkompakte rum sno sig lidt for at definere K_{0}-gruppen.

Vi får således introduceret en kovariant funktor K_{0} fra kategorien af C^{∗}-algebraer C^{∗} til kategorien af abelske grupper Ab som viser sig at være kontinuert, homotopiinvariant, stabil, halveksakt og spliteksakt.

I topologien indføres også andre K-grupper, nemlig K^{−n}, n ∈ ℕ ved suspension. Ved at betragte unitære elementer i 𝕄_{∞}(A) indføres endnu en kovariant halveksakt funktor K_{1} : C^{∗} → Ab. Desuden konstrueres en randafbildning δ, der til en korteksakt følge 0 → I →^{ι} A →^{π} A/I → 0 inducerer en eksakt følge

K_{1}(I) →^{ι_{∗}} K_{1}(A) →^{π_{∗}} K_{1}(A/I) →^{δ} K_{0}(I) →^{ι_{∗}} K_{0}(A) →^{π_{∗}} K_{0}(A/I)

Funktoren K_{1} viser sig at være funktorielt isomorf med K_{0}Σ (hvor Σ er suspensionsfunktoren), hvilket knytter forbindelsen til den topologiske definition af K^{−1}. Funktoren K_{1} viser sig også at være kontinuert, homotopiinvariant, stabil og spliteksakt.

I topologien haves en funktoriel isomorfi K^{−2} ≃ K^{0} kaldet Bott-periodicitet. I K-teori for C^{∗}-algebraer findes tilsvarende en funktoriel isomorfi K_{0} ≃ K_{1}Σ, der giver anledning til en 6-leds cyklisk eksakt følge, der fås ved at hæfte enderne i følgen ovenfor sammen.

\xymatrix{K_{1}(I) \ar[r]^{ι_{∗}} & K_{1}(A) \ar[r]^{π_{∗}} & K_{1}(A/I) \ar[d]^{δ} \\ K_{0}(A/I) \ar[u]^{δ} & K_{0}(A) \ar[l]^{π_{∗}} & K_{0}(I) \ar[l]^{ι_{∗}}}

Bott-periodiciteten kan bemærkelsesværdigt nok vises ved at overføre det topologiske bevis. Vi giver et kortere og mere elegant bevis, som skyldes Cuntz, der dog bygger på teorien for tensorprodukter.

Herefter gennemgås nogle vigtige konstruktioner med C^{∗}-algebraer, og deres sammenhæng med det topologiske tilfælde diskuteres. Afslutningsvis udnyttes disse konstruktioner og den cykliske følge til at vise at ethvert par af abelske grupper kan realiseres som hhv. K_{0} og K_{1} for en C^{∗}-algebra.

I vores beviser for de forskellige egenskaber ved K_{0} og K_{1} har vi valgt at udnytte samspillet mellem funktorerne K_{0}, K_{1} og Σ = − ⊗ C_{0}(ℝ), knyttet via isomorfierne K_{1} ≃ K_{0}Σ og K_{0} ≃ K_{1}Σ og forskellige kommutativitetsregler. Dette gør at man slipper for en del tekniske problemer, samt at man får lagt mere vægt på strukturen i teorien. Det skal dog bemærkes, at mange af egenskaberne kan vises mere direkte udfra definitionerne.

1. Notation og forberedelser

Vi får i vores projekt brug for en række tekniske resultater bl.a. vedrørende egenskaber ved projektioner og invertible elementer. Disse resultater er vigtige redskaber i de K-teoretiske beviser, men både resultater og beviser er af en karakter der falder lidt uden for projektets hovedtema. Vi har derfor valgt at samle disse i et indledende afsnit for sig. Beviserne, der ikke er specielt svære, er ofte kun skitseret eller blot direkte henvisninger til litteraturen.

• Med 𝔹 menes 𝔹(ℌ), hvor ℌ er separabelt, og 𝕂 betegner de kompakte operatorer i 𝔹.

• Det ses umiddelbart at der (også) i C^{∗}-algebra tilfældet gælder at enhver korteksakt følge er isomorf med en standard korteksakt følge af formen 0 → I → A → A/I → 0, hvor I er et ideal i A. Vi vil derfor ofte, for at lette notationen, i formuleringer af sætninger og i beviser nøjes med at betragte standard korteksakte følger.

• Vi vil i det følgende ofte betragte C^{∗}-algebraer uden enhed. I definitionerne af K-grupperne får vi brug for at tilføje en enhed. Vi vil gøre dette ved at betragte par (a, λ) ∈ A × ℂ med punktvis addition og ^{∗}-operation, og multiplikation givet ved (a, λ)(b, μ) = (ab + λb + μa, λμ). Dette bliver faktisk igen en C^{∗}-algebra der betegnes A^{+}, og indeholder A som et ideal af codimension 1. Projektionen A^{+} → ℂ betegnes π_{ℂ}, eller blot π. Hvis α : A → B er en morfi induceres på naturlig måde en morfi α^{+} : A^{+} → B^{+}, som sender enhed i enhed og er hhv. injektiv, surjektiv og bijektiv netop hvis α er det. Hvis A i forvejen er en C^{∗}-algebra med enhed, bliver A^{+} isomorf med A ⊕ ℂ.

• I K-teori beskæftiger man sig ikke blot med en C^{∗}-algebra A, men ligeledes med matricer over den. Hvis α er en morfi A → B induceres på naturlig måde en morfi 𝕄_{n}(A) → 𝕄_{n}(B), som igen betegnes α. Med p_{k} betegner vi projektionen med k ettaller øverst i diagonalen og nuller ellers. Denne skal opfattes som et element i 𝕄_{n}(A^{+}) eller 𝕄_{n}(ℂ) hvor n ≥ k, afhængig af konteksten. For m ≥ n vil vi opfatte 𝕄_{n}(A) som indlejret som øverste venstre hjørne i 𝕄_{m}(A) og fylde op med nuller. Ligeleledes vil vi opfatte U_{n}(A) som indlejret i U_{m}(A) ved at fylde op med ettaller i diagonalen. Vi sætter 𝕄_{∞}(A) = ∪_{n}𝕄_{n}(A). Tilsvarende defineres GL_{∞}(A) og U_{∞}(A).

• Tilføjelsen af enhed kan give nogle problemer, når man betragter matricer, idet 𝕄_{n}(A^{+}) ≠ 𝕄_{n}(A)^{+}. Vi indfører derfor 𝕄_{n}^{+}(A) = {x ∈ 𝕄_{n}(A^{+})|π_{ℂ}(x) = 1_{n}}, som på naturlig måde er isomorf med 𝕄_{n}(A)^{+}. Ligeledes bruges den analoge notation U_{n}^{+} og GL_{n}^{+}. Disse betegnes normaliserede matricer.

• Vi siger at to elementer a, b ∈ B, hvor B er en delmængde af en C^{∗}-algebra A, er homotope i B, hvis de ligger i samme kurvesammenhængskomponent af B.

• Lad A og B være to C^{∗}-algebraer. To morfier α, β siges at være homotope, hvis der findes en familie af morfier (γ_{t})_{t∈I}, således at γ_{0} = α, γ_{1} = β og afbildningen t ↦ γ_{t}(a) er kontinuert for hvert a ∈ A.

—————————–

Gruppen K_{1}(A) afspejler strukturen af de invertible og de unitære elementer i (matricer over) A. Desuden spiller disse elementer en rolle i vores beviser for egenskaberne ved K_{0}.

Sætning 1.1. Hvis A har enhed er U_{n}(A) en stærk deformationsretrakt af GL_{n}(A). Hvis A er en vilkårlig C^{∗}-algebra er U_{n}^{+}(A) en stærk deformationsretrakt af GL_{n}^{+}(A).

Bevis : Afbildningen z ↦ z|z|^{−1} giver den ønskede retrakt, som er homotop med identiteten via γ_{t}(z) = z|z|^{−1} exp(t Log |z|). □

Korollar 1.2. Hvis A har enhed og u, v ∈ U_{n}(A) er homotope i GL_{n}(A) er de homotope i U_{n}(A). Ligeledes med normaliserede matricer.

Bevis : Dette følger umiddelbart af foregående sætning. □

Sætning 1.3. Hvis n ∈ ℕ∪{∞} da er grupperne U_{n}^{+}(A)/U_{n}^{+}(A)_{0}, U_{n}(A^{+})/U_{n}(A^{+})_{0}, GL_{n}^{+}(A)/ GL_{n}^{+}(A)_{0}, og GL_{n}(A^{+})/ GL_{n}(A^{+})_{0} isomorfe. Her betegner G_{0} 1’s kurvesammenhængskomponent i G, hvor G er en vilkårlig topologisk gruppe. Hvis A har enhed gælder GL_{n}^{+}(A) ≃ GL_{n}(A), og U_{n}^{+}(A) ≃ U_{n}(A) som topologiske grupper.

Bevis : Hovedingrediensen i beviset er sætning 1.1 — se f.eks. [10, 4.2.6]. □

Sætning 1.4. Hvis x, y ∈ 𝕄_{n}(A^{+}), med x invertibel og ∥x − y∥ < 1/∥x∥ da er x og y homotope i GL_{n}(A^{+}).

Bevis : For λ ∈ [0; 1] fås

∥(1 + λ(x^{−1}y − 1)) − 1∥ ≤ λ∥x^{−1}∥∥y − x∥ < 1

Altså er 1 + λ(x^{−1}y − 1) invertibel og dermed også λy + (1 − λ)x invertibel. □

Sætning 1.5. Lad A være en C^{∗}-algebra med enhed. Da er ethvert selvadjungeret unitært element (en symmetri) homotop til 1 i U(A).

Bevis : Lad u være en symmetri, og definer u_{t} = exp(iπt(1 − u)/2). Det ses let at u_{t} er unitær, og at t ↦ u_{t} er kontinuert. Endvidere fås u_{0} = 1, og benyttes relationen (1 − u)^{n} = 2^{n−1}(1 − u) fås også let u_{1} = u. □

Sætning 1.6. Homotopiklasserne i GL_{n}(A^{+}) er uændrede under række- og søjleoperationer. Hvis u, v ∈ U_{n}(A^{+}) er matricerne uv og vu homotope i U_{2n}(A^{+}). Dette gælder ligeledes med normalisering.

Bevis : Se f.eks. [10, 4.2.9]. □

—————————–

Gruppen K_{0}(A) er defineret ud fra projektionerne i 𝕄_{∞}(A). Vi vil i det følgende definere de grundlæggende ækvivalensrelationer for projektioner, samt undersøge hvordan disse forholder sig til hinanden.

Definition 1.7. Lad p og q være to projektioner i en C^{∗}-algebra A.

• p og q kaldes Murray-von Neumann ækvivalente (eller blot ækvivalente) hvis der findes en partiel isometri u så p = uu^{∗} og q = u^{∗}u. Dette betegnes p ∼ q.

• p og q siges at være unitært ækvivalente, hvis der findes en u ∈ U(A^{+}) så p = uqu^{∗}. Dette skrives p ∼_{u} q.

• p og q siges at være homotopiækvivalente hvis de er homotope i mængden af projektioner. Denne relation betegnes p ∼_{h} q.

Bemærkning 1.8. Det er klart at unitær ækvivalens og homotopiækvivalens er ækvivalensrelationer. Murray-von Neumann ækvivalens er klart refleksiv og symmetrisk, og for at vise transitivitet antages p = vv^{∗}, q = v^{∗}v = ww^{∗}, r = w^{∗}w. Da fås p = p^{2} = v(v^{∗}v)v^{∗} = vww^{∗}v^{∗} = (vw)(vw)^{∗}. Tilsvarende er r = (vw)^{∗}(vw).

Bemærkning 1.9. Det er let at se at unitær ækvivalens er ensbetydende med similaritet. Hvis nemlig p = zqz^{−1} fås pz = zq hermed z^{∗}p = qz^{∗}. Heraf ses qz^{∗}z = z^{∗}pz = z^{∗}zq, dvs. q kommuterer med z^{∗}z og derfor med |z|^{−1}. Sættes u = z|z|^{−1} ses at u er unitær og vi har

uqu^{∗} = z|z|^{−1}q|z|^{−1}z^{∗} = zq(z^{∗}z)^{−1}z^{∗} = zqz^{−1} = p

Bemærkning 1.10. To projektioner p og q er ækvivalente netop hvis der findes en partiel isometri v så p = vqv^{∗} og q = v^{∗}pv. Antag nemlig først at p = vv^{∗} og q = v^{∗}v. Så gælder p = p^{2} = vqv^{∗} og tilsvarende q = v^{∗}pv. Antag omvendt p = vqv^{∗} og q = v^{∗}pv for en partiel isometri v. Sæt w = pv. Så gælder w^{∗}w = v^{∗}pv = q og vi har p = vqv^{∗} = vv^{∗}pvv^{∗}, hvilket giver:

ww^{∗} = pvv^{∗}p = pvv^{∗}vv^{∗}pvv^{∗} = pvv^{∗}pvv^{∗} = p^{2} = p

Dette viser direkte at unitær ækvivalens medfører Murray - von Neumann ækvivalens. Faktisk fås lidt mere generelt at hvis v er en isometri og p er en projektion, da er vpv^{∗} en ækvivalent projektion.

Bemærkning 1.11. Hvis to projektioner p, q ∈ 𝕄_{n}(A) er Murray - von Neumann ækvivalente i 𝕄_{∞}(A), da er de ækvivalente i 𝕄_{n}(A). Hvis nemlig p = vv^{∗} og q = v^{∗}v, da gælder v = vv^{∗}vv^{∗}v = pvq ∈ 𝕄_{n}(A).

Bemærkning 1.12. Lad A være en C^{∗}-algebra og I et ideal. Da er to projektioner p, q ∈ I ækvivalente i I netop hvis de er ækvivalente i A. Antag nemlig p = vv^{∗} og q = v^{∗}v, da er pv = v. Altså fås v ∈ I.

Sætning 1.13. To projektioner p og q er homotopiækvivalente hvis ∥p − q∥ < 1.

Bevis : Se f.eks. [2, 4.6.6] eller [10, 5.2.6]. □

Sætning 1.14. Lad p og q være to projektioner. Der gælder følgende implikationer:

p ∼_{h} q ⇒ p ∼_{u} q ⇒ p ∼ q

Bevis : Vi har allerede vist p ∼_{u} q ⇒ p ∼ q. For den første implikation se f.eks. [10, 5.2.10]. □

Sætning 1.15. Lad p og q være to projektioner. Der gælder følgende implikationer:

p ∼ q ⇒ diag(p, 0) ∼_{u} diag(q, 0), p ∼_{u} q ⇒ diag(p, 0) ∼_{h} diag(q, 0)

Bevis : Et bevis kan findes i f.eks. [10, 5.2.12]. □

Bemærkning 1.16. To projektioner p og q i 𝔹(ℌ) er Murray - von Neumann ækvivalente netop hvis de har samme rang. Dette følger af at p ∼ q netop hvis pℌ og qℌ er isometrisk isomorfe (tænk geometrisk!), dvs. netop hvis de har samme rang. Dette gælder også for 𝕂, idet 𝕂 er et ideal i 𝔹, jvf. bemærkning 1.12.

—————————–

Løfteproblemer er et stort selvstændigt emne. Vi får kun brug for et par små resultater angående løft af projektioner og unitære elementer.

Sætning 1.17. Lad α : A → B være en epimorfi mellem C^{∗}-algebraer med enhed, som sender enhed i enhed. Hvis u ∈ U(B)_{0} findes et unitært løft v ∈ U(A)_{0}.

Bevis : Se f.eks. [10, 4.3.3]. □

Bemærkning 1.18. Der gælder ikke generelt at unitære elementer kan løftes. Betragt f.eks. Calkinalgebraen 𝔹/𝕂, og lad S ∈ 𝔹 være den ensidede skifteoperator. Så er π(S) et unitært element, der ikke har et unitært (ikke engang et invertibelt) løft. Antag nemlig at T ∈ 𝔹 er invertibel med T − S ∈ 𝕂. Da gælder 0 = index(T) = index(S) = −1, hvilket er en modstrid.

Sætning 1.19. Enhver projektion i Calkinalgebraen 𝔹/𝕂 kan løftes til en projektion i 𝔹.

Bevis : Lad x være et selvadjungeret element således at π(x) er en projektion i 𝔹/𝕂. Så er x^{2} − x kompakt, og har dermed tælleligt spektrum. Heraf følger at også x har tælleligt spektrum idet λ ∈ σ(x) ⇒ λ^{2} −λ ∈ σ(x^{2} −x). Vælg nu et t ∈]0; 1[ så t ∉ σ(x), og lad f være indikatorfunktionen for intervallet [t; ∞[. Bemærk at f er kontinuert på σ(x). Altså er f(x) en projektion i 𝔹 og π(f(x)) = f(π(x)) = π(x). □

Bemærkning 1.20. Der gælder ikke generelt at projektioner kan løftes. Betragt f.eks. den surjektive morfi α : C_{0}(]0; 2]) → C([1; 2]) givet ved restriktion. Da er 1 ∈ C([1; 2]) en projektion, der oplagt ikke kan løftes.

—————————–

Elementer med en særlig egenskab i en direkte limes kan ofte approximeres med elementer med samme egenskab. Dette er emnet for de følgende sætninger.

Sætning 1.21. Lad (A_{i}, Φ_{ij})_{I} være et orienteret system af C^{∗}-algebraer med enhed, sådan at Φ_{ij} sender enhed i enhed. Lad A = \underrightarrow{lim}A_{i}. For givet invertibelt element x ∈ A og ϵ > 0 findes et invertibelt element y ∈ A_{i} så ∥Φ_{i}(y) − x∥ < ϵ.

Bevis : Et bevis kan findes i f.eks. [10, 4.4.1] eller [2, 3.3.3]. □

Korollar 1.22. Lad (A_{i}, Φ_{ij})_{I} være et orienteret system af C^{∗}-algebraer med enhed, sådan at Φ_{ij} sender enhed i enhed. Lad A = \underrightarrow{lim}A_{i}. Hvis u ∈ A er unitær så findes for vilkårligt ϵ > 0 et i ∈ I og et unitært element v ∈ A_{i} så ∥Φ_{i}(v) − u∥ < ϵ.

Bevis : Da afbildningen z ↦ z|z|^{−1} er kontinuert i u ∈ GL(A) kan vi vælge δ > 0 så ∥u − z∥ < δ ⇒ ∥u − z|z|^{−1}∥ < ϵ. Vælg nu et invertibelt element y ∈ A_{i} så ∥u−Φ_{i}(y)∥ < δ. Nu er v = y|y|^{−1} unitær og ∥u−Φ_{i}(v)∥ = ∥u−Φ_{i}(y)|Φ_{i}(y)|^{−1}∥ < ϵ. □

Korollar 1.23. Lad (A_{i}, Φ_{ij})_{I} være et orienteret system af C^{∗}-algebraer med enhed, sådan at Φ_{ij} sender enhed i enhed. Hvis z_{0}, z_{1} ∈ GL(\underrightarrow{lim}A_{i}) er homotope, da findes i ∈ I og elementer y_{0}, y_{1} ∈ GL(A_{i}) så Φ_{i}(y_{0}) ∼_{h} z_{0} ∼_{h} z_{1} ∼_{h} Φ_{i}(y_{1}).

Bevis : Se f.eks. [10, 4.4.2]. □

Sætning 1.24. Lad (A_{i}, Φ_{ij})_{I} være et orienteret system af C^{∗}-algebraer. Lad A = \underrightarrow{lim}A_{i}. For en vilkårlig projektion p ∈ A og ϵ > 0 findes et i ∈ I og en projektion q ∈ A_{i} så ∥Φ_{i}(q) − p∥ < ϵ.

Bevis : Et bevis kan findes i [2, 4.5.1,4.5.2]. □

—————————–

Vi får i projektet også brug for tensorprodukter på C^{∗}-algebraer. I det generelle tilfælde kan det algebraiske tensorprodukt A ⊙ B udstyres med flere forskellige C^{∗}- normer. Vi vil med notationen A ⊗ B betegne det rumlige tensorprodukt. Dette fås ved at repræsentere A og B tro på Hilbertrum ℌ og 𝔎, dernæst, ved udvidelse ved kontinuitet, at opfatte A ⊙ B som operatorer på ℌ ⊗ 𝔎, og lade A ⊗ B være normafslutningen af A ⊙ B i 𝔹(ℌ ⊗ 𝔎). En udførlig behandling af tensorprodukter kan findes i både [10] og [8].

Sætning 1.25. Lad (A_{i}, Φ_{ij})_{I} være et orienteret system af C^{∗}-algebraer, med A = \underrightarrow{lim}A_{i}, og antag at Φ_{i} : A_{i} → A er injektiv for alle i ∈ I. Hvis B er en vilkårlig C^{∗}-algebra da haves en naturlig isomorfi (\underrightarrow{lim}A_{i}) ⊗ B ≃ \underrightarrow{lim}(A_{i} ⊗ B).

Bevis : Betragt diagrammet

\xymatrix{... \ar[r] & A_{i} ⊗ B \ar[r] \ar[drr] & ... \ar[r] & \underrightarrow{lim}(A_{i} ⊗ B) \ar[d] \\  &  &  & A ⊗ B}

Da afbildningerne A_{i} ⊗ B → A ⊗ B er injektive, og da ∪_{I}(Φ_{i} ⊗ id_{B})(A_{i} ⊗ B) er tæt i A ⊗ B fås påstanden umiddelbart. Naturligheden er klar. □

Bemærkning 1.26. En C^{∗}-algebra A kaldes nukleær hvis der for hver C^{∗}-algebra B, kun findes en C^{∗}-norm på A⊙B. Klassen af nukleære C^{∗}-algebraer er forholdsvis stor og lukket under mange konstruktioner. Ethvert ideal og enhver kvotient af en nukleær C^{∗}-algebra er igen nukleær. Ligeledes er en ekstension af et par af nukleære C^{∗}-algebraer selv nukleær. Ydermere er en tællelig direkte limes af nukleære C^{∗}-algebraer igen nukleær. Af definitionen fås at tensorproduktet af to nukleære C^{∗}-algebraer er nukleært. Desuden er enhver abelsk og enhver endeligdimensional C^{∗}-algebra nukleær. Hvis A er en AF -algebra, dvs en tællelig direkte limes af endeligdimensionale C^{∗}-algebraer, fås altså at A er nukleær. Specielt er 𝕂 nukleær. Der gælder ikke at enhver delalgebra af en nukleær C^{∗}-algebra er nukleær. Dog nedarves nuklearitet til arvelige delalgebraer(!). Hvis ℌ er uendeligdimensional er 𝔹(ℌ) ikke nukleær.

Bemærkning 1.27. Man siger at en C^{∗}-algebra A er eksakt, hvis − ⊗ A er en eksakt funktor på kategorien C^{∗}. Hvis man betragter en korteksakt følge 0 → B →^{α} C →^{β} D → 0, fås algebraisk altid en eksakt følge 0 → B ⊙ A →^{α⊙id_{A}} C ⊙ A →^{β⊙id_{A}} D ⊙ A → 0, idet A er fri, og dermed flad som ℂ-modul. Der kan dog opstå nogle problemer i forbindelse med fuldstændiggørelsen. Det er let at se at vi igen får en nulfølge, og at afbildningerne α ⊗ id_{A} og β ⊗ id_{A} bliver hhv. injektiv og surjektiv, men det kan hænde, at Im(α ⊗ id_{A}) er en ægte delmængde af Ker(β ⊗ id_{A}).

Enhver nukleær C^{∗}-algebra er eksakt. Dette fås direkte af følgende resultat: Hvis 0 → B → C → D → 0 er en korteksakt følge og A er en C^{∗}-algebra, sådan at D ⊙A har en entydig C^{∗}-norm, da er følgen 0 → B ⊗ A → C ⊗ A → D ⊗ A → 0 eksakt. Mere generelt er en C^{∗}-algebra eksakt, netop hvis den er en delalgebra af en nukleær C^{∗}-algebra. Heraf ses at delalgebraer af eksakte C^{∗}-algebraer er eksakte. Desuden er kvotienter og tællelige direkte limes af eksakte C^{∗}-algebraer eksakte. Endvidere ses

8 KASPER K. S. ANDERSEN & JESPER K. GRODAL

direkte at det rumlige tensorprodukt af eksakte C^{∗}-algebraer eksakt. I modsætning til nuklearitet, bevares eksakthed ikke nødvendigvis ved ekstensioner.

2. K_{0}

Vi vil i dette afsnit indføre gruppen K_{0}(A), hvis elementer består af formelle differenser af ækvivalensklasser af projektioner i 𝕄_{∞}(A^{+}). Man er nødt til at betragte matricer over A^{+}, idet der generelt ikke er nok projektioner i A, til at man kan definere en veldefineret komposition på projektionerne.

Definition 2.1. Lad V (A) betegne mængden af ækvivalensklasser af projektioner i 𝕄_{∞}(A). Vi definerer en komposition på V (A) ved [p] + [q] = [diag(p, q)], der oplagt er veldefineret. Med denne komposition bliver V (A) en abelsk monoide med [0] som neutralt element. Definer nu K_{00}(A) som Grothendieck gruppen for V (A). Bemærk at V og K_{00} på naturlig måde er funktorer fra C^{∗} til hhv. kategorien af abelske monoider og Ab.

Bemærkning 2.2. Hvis p og q er ortogonale projektioner i 𝕄_{n}(A) gælder [p] +

[q] = [p + q] idet vi for v = ( \begin{matrix}p & q \\ 0 & 0 \end{matrix} ) har vv^{∗} = diag(p + q, 0) og v^{∗}v = diag(p, q).

Eksempel 2.3. Da projektioner i 𝕄_{∞}(ℂ) er ækvivalente netop hvis de har samme rang, ses umiddelbart at V (ℂ) = ℕ_{0}. Idet 𝕄_{k}(𝕄_{n}(A)) = 𝕄_{kn}(A) fås generelt at V (𝕄_{n}(A)) = V (A), specielt er V (𝕄_{n}(ℂ)) = ℕ_{0}. Vi har altså K_{00}(ℂ) = K_{00}(𝕄_{n}(ℂ)) = ℤ, og K_{00}(𝕄_{n}(A)) = K_{00}(A).

Eksempel 2.4. Da 𝕄_{n}(𝔹) ≃ 𝔹 og da projektioner i 𝔹 er ækvivalente netop hvis de har samme rang fås V (𝔹) = ℕ_{0} ∪ {∞} og K_{00}(𝔹) = 0. Hvis ℌ ikke er separabelt får V (𝔹(ℌ)) flere uendelige elementer, men vi har stadig K_{00}(𝔹(ℌ)) = 0 idet diag(p, I) ∼ diag(q, I) for alle projektioner p og q. Det er oplagt at 𝕄_{n}(𝕂) ≃ 𝕂 og 𝕄_{n}(𝔹/𝕂) ≃ 𝔹/𝕂. Vi har at V (𝕂) = ℕ_{0} idet alle projektioner i 𝕂 har endelig rang og at to projektioner er ækvivalente i 𝕂 netop hvis de har samme rang. Heraf fås K_{00}(𝕂) = ℤ. For Calkinalgebraen 𝔹/𝕂 haves V (𝔹/𝕂) = {0, ∞}. Bemærk nemlig først at enhver projektion i 𝔹/𝕂 kan løftes til projektion i 𝔹 ifølge sætning 1.19. Enhver projektion ≠ 0 i Calkinalgebraen løfter derfor til en uendelig rangs projektion i 𝔹, og er derfor ækvivalent med I i 𝔹/𝕂. Specielt gælder altså K_{00}(𝔹/𝕂) = 0.

Sætning 2.5. Hvis X er et sammenhængende, ikke-kompakt topologisk rum, og A er en C^{∗}-algebra, da er V (C_{0}(X → A)) = 0. Specielt er K_{00}(C_{0}(X → A)) = 0.

Bevis : Lad P ∈ 𝕄_{n}(C_{0}(X → A)) = C_{0}(X → 𝕄_{n}(A)) være en projektion. Hvis ∥P (x)∥ < 1 er P (x) = 0, da P (x) er en projektion i 𝕄_{n}(A) for hvert x. Dermed er mængden Y = {x ∈ X|∥P (x)∥ < 1} = {x ∈ X|P (x) = 0} både åben og afsluttet i X. Da P forsvinder i uendelig og X ikke er kompakt fås Y ≠ Ø. Altså fås Y = X da X er sammenhængende, så P = 0, specielt er [P] = 0. □

Det viser sig at i enhedstilfældet er K_{00} spliteksakt, mens den ikke generelt er det. Vi viser i eksempel 4.1 at K_{00}(C(𝕋^{2})) = K_{0}(C(𝕋^{2})) = ℤ^{2}, sådan at vi ved anvendelse af K_{00} på den spliteksakte følge 0 → C_{0}(ℝ^{2}) → C(𝕋^{2}) ↔ ℂ → 0 får følgen 0 → 0 → ℤ^{2} → ℤ → 0, der ikke kan være spliteksakt.

Vi indfører derfor gruppen K_{0} for at rette op på dette problem. Hvis vi ønsker at K_{0} skal være en spliteksakt funktor og stemme overens med K_{00} i enhedstilfældet må vi have følgende diagram

[figure: K_{00}(A^{+}); ≃; π_{∗}; ι_{∗}; K_{00}(ℂ); ≃; 0; K_{0}(A); K_{0}(A^{+}); π_{∗}; ι_{∗}; K_{0}(ℂ); 0]

idet vi har en spliteksakte følge

[figure: 0; A; A^{+}; π; ι; ℂ; 0]

Vi definerer derfor

Definition 2.6. K_{0}(A) = Ker(π_{∗} : K_{00}(A^{+}) → K_{00}(ℂ)).

Sætning 2.7. K_{0} er en kovariant funktor.

Bevis : Da K_{00} er en funktor fås påstanden ved at betragte diagrammet

[figure: Ker(π_{∗}); α_{∗}; K_{00}(A^{+}); α_{∗}; π_{∗}; K_{00}(ℂ); Ker(π_{∗}); K_{00}(B^{+}); π_{∗}; K_{00}(ℂ)]

□

Sætning 2.8. Lad (A_{i})_{I} være C^{∗}-algebraer. Så haves naturlige isomorfier

⊕_{I}π_{i∗} : V (⊕_{I}A_{i}) ≃ ⊕_{I}V (A_{i})
⊕_{I}π_{i∗} : K_{00}(⊕_{I}A_{i}) ≃ ⊕_{I}K_{00}(A_{i})

induceret af projektionerne π_{j} : ⨁_{I} A_{i} → A_{j}.

Bevis : Påstanden vedrørende V er oplagt, idet A_{i}’erne ikke blander i den direkte sum ⨁_{I} A_{i}. Heraf følger påstanden for K_{00} idet Grothendieck konstruktionen respekterer direkte sum. □

Sætning 2.9. Der gælder K_{00}(A^{+}) ≃ K_{0}(A)⊕ℤ. Hvis A har enhed haves K_{0}(A) ≃ K_{00}(A). Disse isomorfier er naturlige.

Bevis : Lad π : A^{+} → ℂ være projektionen, og ι : ℂ → A^{+} være indlejringen. Da πι = id_{ℂ} fås at følgen K_{00}(A^{+}) ↔ ℤ → 0, er eksakt, og per definition af K_{0}(A) fås herved den eksakte følge 0 → K_{0}(A) ↪ K_{00}(A^{+}) ↔ ℤ → 0, hvilket giver K_{00}(A^{+}) ≃ K_{0}(A) ⊕ ℤ. Hvis A har enhed gælder A^{+} = A ⊕ ℂ, så K_{00}(A^{+}) = K_{00}(A) ⊕ ℤ. Her er K_{00}(A) = Ker π_{∗} = K_{0}(A). Naturligheden af de to isomorfier ses direkte. □

Eksempel 2.10. Vi kan umiddelbart slutte K_{0}(ℂ) = K_{0}(𝕄_{n}(ℂ)) = ℤ, og K_{0}(𝔹) = K_{0}(𝔹/𝕂) = 0.

Sætning 2.11. Hvis A er en separabel C^{∗}-algebra, da er K_{0}(A) tællelig.

Bevis : Da A er separabel er 𝕄_{∞}(A^{+}) separabel. Lad (x_{n})_{n∈ℕ} være en tæt delmængde af 𝕄_{∞}(A^{+}). Sæt P_{n} = \{[p] ∈ V (A^{+})|p projektion,∥p − x_{n}∥ < \frac{1}{2}\}. Idet projektioner af afstand mindre end 1 er ækvivalente, består hver P_{n} af højst et element. Da (x_{n})_{n∈ℕ} er tæt gælder ∪P_{n} = V (A^{+}). Altså er K_{00}(A^{+}), og dermed K_{0}(A), tællelig. □

Bemærkning 2.12. Man kunne ud fra de foregående eksempler spørge sig selv om alle K-grupper er torsionsfri. Dette er dog ikke tilfældet. Vi viser senere (se sætning 7.2), at man faktisk kan realisere alle par af abelske grupper som hhv. K_{0} og K_{1} for en passende C^{∗}-algebra. Det er dog ikke svært at konstruere et eksempel på en C^{∗}-algebra, hvor K_{0} har torsion. Lad n ≥ 2 og lad O_{\} være den universelle C^{∗}-algebra frembragt af elementer V_{1}, …, V_{n} og identiteten I med relationerne

V_{1}^{∗}V_{1} = ⋯ = V_{n}^{∗}V_{n} = I = V_{1}V_{1}^{∗} + ⋯ + V_{n}V_{n}^{∗}

Denne C^{∗}-algebra kan f.eks. realiseres på 𝔹 ved at lade V_{i} være isometrien der sender e_{k} i e_{n(k−1)+i}. Projektionerne V_{i}V_{i}^{∗} er ortogonale, da deres sum er I, så i K_{0}(O_{\}) gælder

[I] = [V_{1}V_{1}^{∗} + ⋯ + V_{n}V_{n}^{∗}] = [V_{1}V_{1}^{∗}] + ⋯ + [V_{n}V_{n}^{∗}] = [V_{1}^{∗}V_{1}] + ⋯ + [V_{n}^{∗}V_{n}] = n[I]

hvilket viser at K_{0}(O_{\}) har torsion, når man har indset at [I] ≠ 0. Faktisk gælder K_{0}(O_{\}) ≃ ℤ/(\ − ∞), frembragt af [I]. Disse algebraer kaldes Cuntz algebraerne.

Bemærkning 2.13. Man kunne spørge sig selv om der er nogen (enkel) sammenhæng mellem (ækvivalensklasser af) projektioner i A og i 𝕄_{n}(A). Vi har klart en indlejring af ækvivalensklasser af projektioner i A i V (A), jvf. bemærkning 1.11, og hvis A er stabil er denne indlejring surjektiv. I det generelle tilfælde kan der komme flere ækvivalensklasser af projektioner, f.eks. ved at betragte diagonalmatricer bestående af projektioner fra A. Dette sker f.eks. i tilfældet A = ℂ. Yderligere kan der komme endnu flere projektioner hvilket f.eks. er tilfældet for A = C(𝕋^{n}). Her har man at C(𝕋^{n}) kun indeholder de trivielle projektioner 0 og 1, mens K_{00}(C(𝕋^{n})) = K_{0}(C(𝕋^{n})) = ℤ^{2^{n−1}}! (jvf. eksempel 4.1).

Bemærkning 2.14. Tilføjelsen af enhed i definitionen af K_{0} er af afgørende betydning. Ifølge sætning 2.5 er V (C_{0}(ℝ^{2n})) = 0, mens K_{0}(C_{0}(ℝ^{2n})) ≠ 0 (ifølge eksempel 4.2), dvs. K_{00}(C_{0}(ℝ^{2n})) ≠ K_{0}(C_{0}(ℝ^{2n})). Faktisk kan man lave endnu mere ekstreme eksempler. For en vilkårlig C^{∗}-algebra A haves nemlig K_{0}(A) ≃ K_{0}(Σ^{2}A) (Bott periodicitet) mens V (Σ^{2}A) = 0 ifølge sætning 2.5.

Sætning 2.15. Lad A være en C^{∗}-algebra. Da gælder :

1. Elementerne i K_{0}(A) kan skrives som differenser [p] − [q], hvor p og q er projektioner i 𝕄_{n}(A^{+}) og p − q ∈ 𝕄_{n}(A). Hvis A har enhed kan vi vælge p, q ∈ 𝕄_{n}(A).

2. Faktisk kan elementerne i K_{0}(A) skrives på formen [p] − [p_{k}] for et k ≤ n hvor p er en projektion i 𝕄_{n}(A^{+}) og p − p_{k} ∈ 𝕄_{n}(A).

3. Et element [p] − [q] er lig 0 i K_{0}(A) netop hvis der findes m ≤ k sådan at diag(p, p_{m}) ∼_{h} diag(q, p_{m}) i 𝕄_{n+k}(A^{+}).

Bevis : Påstandene følger er en elementær omend omstændelig øvelse i brugen af definitionerne. Et udførligt bevis kan findes i [10, 6.2.7]. □

Sætning 2.16 (Kontinuitet af K_{0}). Lad (A_{i}, Φ_{ij})_{I} være et orienteret system af C^{∗}-algebraer. Da haves en naturlig isomorfi K_{0}(\underrightarrow{lim}A_{i}) ≃ \underrightarrow{lim}K_{0}(A_{i}).

Bevis : Vi viser først V (\underrightarrow{lim}A_{i}) ≃ \underrightarrow{lim}V (A_{i}). Anvendes V på systemet (A_{i}, Φ_{ij})_{I} fås et orienteret system af abelske monoider (V (A_{i}), Ψ_{ij})_{I}, hvor Ψ_{ij} = Φ_{ij∗}. Ved den universelle egenskab for direkte limes ses at der findes en homomorfi Ξ : \underrightarrow{lim}V (A_{i}) → V (\underrightarrow{lim}A_{i}), der passer i det kommutative diagram

\xymatrix{V (A_{j}) \ar[r]^{Ψ_{ij}} \ar[drr]^{Φ_{j∗}} & V (A_{i}) \ar[r]^{Ψ_{i}} \ar[dr]^{Φ_{i∗}} & \underrightarrow{lim}V (A_{i}) \ar[d]^{Ξ} \\  &  & V (\underrightarrow{lim}A_{i})}

Vi viser nu at Ξ er en isomorfi. For at vise surjektiviteten betragtes en projektion p ∈ 𝕄_{n}(A). Da 𝕄_{n}(\underrightarrow{lim}A_{i}) = \underrightarrow{lim}𝕄_{n}(A_{i}) findes ifølge sætning 1.24 et i ∈ I og en projektion q ∈ 𝕄_{n}(A_{i}), så ∥p − Φ_{i}(q)∥ < 1. Ifølge sætning 1.13 gælder da at ΞΨ_{i}([q]) = Φ_{i∗}([q]) = [Φ_{i}(q)] = [p]. For at vise injektiviteten af Ξ, betragtes to elementer x, y ∈ \underrightarrow{lim}V (A_{i}), så Ξ(x) = Ξ(y). Vælg i_{0} og projektioner p_{i_{0}}, q_{i_{0}} så x = Ψ_{i_{0}}([p_{i_{0}}]) og y = Ψ_{i_{0}}([q_{i_{0}}]). Sæt p = Φ_{i_{0}}(p_{i_{0}}) og q = Φ_{i_{0}}(q_{i_{0}}). Da [p] = [q] kan vi vælge n og unitær u ∈ U_{n}((\underrightarrow{lim}A_{i})^{+}) så q = upu^{∗}. Da 𝕄_{n}((\underrightarrow{lim}A_{i})^{+}) = \underrightarrow{lim}𝕄_{n}(A_{i}^{+}) kan vi ifølge korollar 1.22 vælge i_{1} og unitær u_{i_{1}} ∈ U_{n}(A_{i_{1}}^{+}) så ∥u − Φ_{i_{1}}^{+}(u_{i_{1}})∥ < ϵ < \frac{1}{2}. Vælg nu i_{2} > i_{0}, i_{1}, og sæt

p_{i_{2}} = Φ_{i_{2}i_{0}}(p_{i_{0}}), q_{i_{2}} = Φ_{i_{2}i_{0}}(q_{i_{0}}), u_{i_{2}} = Φ_{i_{2}i_{1}}^{+}(u_{i_{1}}), q′_{i_{2}} = u_{i_{2}}p_{i_{2}}u_{i_{2}}^{∗}, u′ = Φ_{i_{2}}^{+}(u_{i_{2}})

Altså haves ∥u − u′∥ < ϵ, og dermed ∥Φ_{i_{2}}(q′_{i_{2}}) − Φ_{i_{2}}(q_{i_{2}})∥ = ∥u′pu′^{∗} − upu^{∗}∥ ≤ 2∥u′ − u∥ < 2ϵ < 1. Dermed findes et i > i_{2} sådan at ∥Φ_{ii_{2}}(q′_{i_{2}}) − Φ_{ii_{2}}(q_{i_{2}})∥ < 1. Definer q′_{i} = Φ_{ii_{2}}(q′_{i_{2}}), q_{i} = Φ_{ii_{2}}(q_{i_{2}}) og p_{i} = Φ_{ii_{2}}(p_{i_{2}}). Altså fås ∥q′_{i} − q_{i}∥ < 1, dvs [q_{i}] = [q′_{i}] = [p_{i}]. Men dvs. x = Ψ_{i}([p_{i}]) = Ψ_{i}([q_{i}]) = y.

Da direkte limes kommuterer med tilføjelsen af enhed og med dannelse af Grothendieck gruppen, fås altså en naturlig isomorfi K_{00}((\underrightarrow{lim}A_{i})^{+})) ≃ \underrightarrow{lim}K_{00}(A_{i}^{+}), og dermed en naturlig isomorfi K_{0}(\underrightarrow{lim}A_{i})) ≃ \underrightarrow{lim}K_{0}(A_{i}). □

Lemma 2.17. For enhver unital C^{∗}-algebra A inducerer morfien A → A⊗𝕂 : a ↦ a ⊗ e_{11} en funktoriel isomorfi K_{0}(A) ≃ K_{0}(A ⊗ 𝕂).

Bevis : Vi viser først V (A) ≃ V (𝕄_{n}(A)). Betragt nemlig indlejringen ι : A → 𝕄_{n}(A) givet ved a ↦ diag(a, 0). Idet 𝕄_{∞}(M_{n}(A)) ≃ 𝕄_{∞}(A), og da afbildningen ι_{∗} blot, løst sagt, består i at sprede matricen ud, ses den let at være en isomorfi, idet ækvivalensklasserne er stabile under konjugation. Heraf fås umiddelbart K_{00}(A) ≃ K_{00}(𝕄_{n}(A)), og dermed K_{0}(A) ≃ K_{0}(𝕄_{n}(A)) idet A er unital. Vi har K_{0}(A⊗𝕂) = K_{0}(A ⊗ \underrightarrow{lim}𝕄_{n}(ℂ)) ≃ K_{0}(\underrightarrow{lim}(A ⊗ 𝕄_{n}(ℂ))) ≃ \underrightarrow{lim}K_{0}(𝕄_{n}(A)), ifølge sætning 1.25. Isomorfien er induceret af morfien a ↦ a ⊗ e_{11}, idet diagrammet

\xymatrix{A \ar[r]^{ι} \ar[dr] & A ⊗ 𝕄_{n}(ℂ) \ar[d] \\  & A ⊗ 𝕂}

kommuterer. Det ses let at isomorfien er naturlig. □

Eksempel 2.18. Af lemmaet fås umiddelbart at K_{0}(𝕂) = K_{0}(ℂ ⊗ 𝕂) ≃ K_{0}(ℂ) = ℤ.

Sætning 2.19 (Halveksakthed af K_{0}). K_{0} er en halveksakt funktor.

Bevis : Betragt en korteksakt følge 0 → I →^{ι} A →^{π} A/I → 0.

Im ι_{∗} ⊆ Ker π_{∗}: Lad x = [p] − [p_{k}] ∈ K_{0}(I), hvor p − p_{k} ∈ 𝕄_{∞}(I). Vi har da direkte π_{∗}(ι_{∗}(x)) = [π_{I}(p)] − [p_{k}] = [p_{k}] − [p_{k}] = 0.

Ker π_{∗} ⊆ Im ι_{∗}: Antag nu at x ∈ Ker π_{∗}. Skriv nu x = [p] − [p_{k}], hvor p er en projektion i 𝕄_{n}(A^{+}) med p − p_{k} ∈ 𝕄_{n}(A), n ≥ k. Da π_{∗}(x) = 0 findes m, l så diag(π_{I}(p), p_{l}) ∼_{u} diag(p_{k}, p_{l}) i 𝕄_{m}((A/I)^{+}), m ≥ n + l. Vælg u ∈ U_{m}((A/I)^{+}) så u diag(π_{I}(p), p_{l})u^{∗} = diag(p_{k}, p_{l}), og lad w ∈ U_{2m}(A^{+}) være et løft af diag(u, u^{∗}). Nu er q = w diag(p, p_{l})w^{∗} en projektion med

π_{I}(q) = diag(u, u^{∗}) diag(π_{I}(p), p_{l}) diag(u^{∗}, u) = diag(p_{k}, p_{l})

Heraf ses q ∈ 𝕄_{2m}(I^{+}), hvilket giver

ι_{∗}([q] − [p_{k+l}]) = [diag(p, p_{l})] − [diag(p_{k}, p_{l})] = [p] − [p_{k}] = x
□

Sætning 2.20. Afbildningen n ↦ [p_{n}] er en indlejring af ℤ i K_{0}(A) (som en direkte summand), for enhver kommutativ C^{∗}-algebra A med enhed.

Bevis : Enhver kommutativ C^{∗}-algebra A med enhed er via Gelfandtransformationen isomorf med C(X) hvor X er kompakt Hausdorff. Vælg x ∈ X, og lad ϵ_{x} betegne evalueringsafbildningen i x. Lad α betegne indlejringen af ℂ i C(X) som konstante afbildninger. Den naturlige spliteksakte følge

[figure: 0; Ker ϵ_{x}; C(X); ϵ_{x}; α; ℂ; 0; A]

inducerer på K_{0}-grupper en følge

[figure: K_{0}(Ker ϵ_{x}); K_{0}(C(X)); ϵ_{x∗}; α_{∗}; ℤ; 0; K_{0}(A)]

idet K_{0} er halveksakt. Altså fås en indlejring ℤ ↪ K_{0}(A), givet ved n ↦ [p_{n}] idet isomorfien mellem A og C(X) bevarer enheden. Når vi senere viser at K_{0} er spliteksakt fås, at ℤ faktisk er en direkte summand i K_{0}(A). □

Sætning 2.21 (Homotopiinvarians af K_{0}). K_{0} er en homotopiinvariant funktor.

Bevis : Lad α, β : A → B være to morfier, forbundet af en homotopi γ_{t}. Lad [p]−[q] være et element i K_{0}(A). Da er γ_{t}^{+}(p) en homotopi mellem α^{+}(p) og β^{+}(p), så α_{∗}([p]) = β_{∗}([p]). Ligeledes fås α_{∗}([q]) = β_{∗}([q]), dvs. α_{∗}([p] − [q]) = β_{∗}([p] − [q]) som ønsket. □

Sætning 2.22. Lad A være en C^{∗}-algebra og lad X være et kompakt kontraktibelt rum. Da er A en deformationsretrakt af C(X → A), specielt er K_{0}(C(X → A)) ≃ K_{0}(A).

Bevis : Lad γ_{t} : X → X være en kontraktion γ_{0} = id_{X}, γ_{1}(·) = x_{0}. Vi har evalueringsafbildningen ϵ_{x_{0}} : C(X → A) → A, og indlejringen ι : A → C(X → A), givet ved ι(a)(·) = a. Vi har ϵ_{x_{0}}ι = id_{A} og ιϵ_{x_{0}} er homotop med identiteten på C(X → A) via homotopien γ_{t}^{∗}. □

3. K_{1} og indexafbildningen

Vi vil i dette afsnit introducere K_{1}-gruppen som består af ækvivalensklasser af invertible elementer. Desuden introduceres indexafbildningen, som er et kraftigt redskab. Denne hjælper os til at vise de fleste af K_{1}’s egenskaber samt at vise nogle manglende egenskaber ved K_{0}.

Definition 3.1. For en C^{∗}-algebra A defineres

K_{1}(A) = U_{∞}^{+}(A)/U_{∞}^{+}(A)_{0} ≃ U_{∞}(A^{+})/U_{∞}(A^{+})_{0}
≃ GL_{∞}^{+}(A)/ GL_{∞}^{+}(A)_{0} ≃ GL_{∞}(A^{+})/ GL_{∞}(A^{+})_{0}

hvor isomorfierne følger af sætning 1.3. Sætningen giver også at hvis A har enhed gælder K_{1}(A) ≃ U_{∞}(A)/U_{∞}(A)_{0} ≃ GL_{∞}(A)/ GL_{∞}(A)_{0}.

Bemærkning 3.2. Vi har generelt en naturlig isomorfi

K_{1}(A^{+}) ≃ U_{∞}(A^{+})/U_{∞}(A^{+})_{0} ≃ K_{1}(A)

for enhver C^{∗}-algebra A.

Sætning 3.3. K_{1} er en kovariant funktor C^{∗} → Ab.

Bevis : At K_{1}(A) er abelsk følger af sætning 1.6. For at se at K_{1} er en funktor betragtes en morfi α : A → B. Denne inducerer, via α^{+} en afbildning U_{∞}^{+}(A) → U_{∞}^{+}(B). Da denne oplagt sender U_{∞}^{+}(A)_{0} ind i U_{∞}^{+}(B)_{0} fås en veldefineret homomorfi K_{1}(α) : K_{1}(A) → K_{1}(B). □

Eksempel 3.4. U_{n}(A) er kurvesammenhængende hvis A er en von Neumann algebra, idet von Neumann algebraer er lukket under Borelfunktionskalkylen. Hvis u ∈ 𝕄_{n}(A) er unitær haves nemlig u = (exp Log)(u) = exp(Log u), så vi har en homotopi t ↦ exp(t Log u), mellem u og 1. Idet A^{+} er en von Neumann algebra når A er det, gælder altså K_{1}(A) = 0. Specielt haves K_{1}(ℂ) = K_{1}(𝕄_{n}(ℂ)) = K_{1}(𝔹) = 0. Vi kan analogt til ovenstående slutte at K_{1}(𝕂) = 0. Hvis nemlig u ∈ U_{n}^{+}, u = 1 + k, k ∈ 𝕄_{n}(𝕂), har k tælleligt spektrum og dermed u tælleligt spektrum indeholdt i 𝕋. Vi kan derfor vælge en kontinuert logaritmefunktion på σ(u), og analogt til før konstruere en homotopi mellem u og 1.

Sætning 3.5 (Homotopiinvarians af K_{1}). K_{1} er en homotopiinvariant funktor.

Bevis : Dette følger direkte udfra definitionerne af K_{1} og af homotopiinvarians. Hvis α, β : A → B er homotope via homotopien γ_{t} fås for [u] ∈ K_{1}(A) at α_{∗}([u]) = [α^{+}(u)] = [β^{+}(u)] = β_{∗}([u]) idet γ_{t}^{+}(u) er en homotopi mellem α^{+}(u) og β^{+}(u). □

Sætning 3.6 (Kontinuitet af K_{1}). Lad (A_{i}, Φ_{ij})_{I} være et orienteret system af C^{∗}- algebraer. Da haves en naturlig isomorfi K_{1}(\underrightarrow{lim}A_{i}) ≃ \underrightarrow{lim}K_{1}(A_{i}).

Bevis : Anvendes K_{1} på systemet (A_{i}, Φ_{ij})_{I} fås et orienteret system af grupper (K_{1}(A_{i}), Ψ_{ij})_{I}, hvor Ψ_{ij} = Φ_{ij∗}. Ved den universelle egenskab for direkte limes ses at der findes en homomorfi Ξ der passer i det kommutative diagram

\xymatrix{K_{1}(A_{j}) \ar[r]^{Ψ_{ij}} \ar[drr]^{Φ_{j∗}} & K_{1}(A_{i}) \ar[r]^{Ψ_{i}} \ar[dr]^{Φ_{i∗}} & \underrightarrow{lim}K_{1}(A_{i}) \ar[d]^{Ξ} \\  &  & K_{1}(\underrightarrow{lim}A_{i})}

Vi vælger at opfatte K_{1}(\underrightarrow{lim}A_{i}) som GL_{∞}(\underrightarrow{lim}A_{i})/ GL_{∞}(\underrightarrow{lim}A_{i})_{0}. Da vi kan approximere ethvert invertibelt element i 𝕄_{n}(\underrightarrow{lim}A_{i}^{+}) = \underrightarrow{lim}𝕄_{n}(A_{i}^{+}) med et invertibelt element i 𝕄_{n}(A_{i}^{+}) ifølge sætning 1.21 og da invertible elementer tæt på hinanden er homotope ifølge sætning 1.4 ses at Ξ er surjektiv. Injektiviteten ses direkte af korollar 1.23. □

Eksempel 3.7. Da K_{1}(𝕄_{n}(ℂ)) = 0 fås heraf at K_{1}(A) = 0 for enhver AF-algebra A. Specielt fås igen at K_{1}(𝕂) = 0.

Sætning 3.8. Hvis A er separabel er K_{1}(A) tællelig.

Bevis : Antag at A er separabel. Da er A^{+}, og dermed også 𝕄_{∞}(A^{+}) separabel. Da 𝕄_{∞}(A^{+}) er metriserbar er ligeledes GL_{∞}(A^{+}) separabel. Vi kan derfor vælge en tællelig tæt delmængde (x_{n}) af GL_{∞}(A^{+}). Lad nu x ∈ GL_{∞}(A^{+}) være vilkårlig, og vælg x_{n} så ∥x − x_{n}∥ < 1/∥x∥. Så er x og x_{n} homotope ifølge lemma 1.4. Dette viser det ønskede. □

Sætning 3.9. Lad I være et ideal i C^{∗}-algebraen A, og lad x = [u] ∈ K_{1}(A/I), u ∈ U_{n}^{+}(A/I). Vælg v ∈ U_{k}^{+}(A/I), så diag(u, v) ∼_{h} 1_{n+k}. Vælg et løft w ∈ U_{n+k}^{+}(A) af diag(u, v). Definer indexafbildningen δ : K_{1}(A/I) → K_{0}(I) ved δ(x) = [wp_{n}w^{∗}]− [p_{n}]. Dette er en veldefineret og funktoriel homomorfi.

Bevis : Bemærk først at v altid eksisterer, idet vi f.eks. kan tage v = u^{∗}. Ligeledes findes w idet diag(u, v) ∼_{h} 1_{n+k}. Vi har [wp_{n}w^{∗}] − [p_{n}] ∈ K_{0}(I) idet π_{I}(wp_{n}w^{∗}) = p_{n}, dvs. wp_{n}w^{∗} ∈ 𝕄_{n+k}(I^{+}), og π_{ℂ}([wp_{n}w^{∗}] − [p_{n}]) = [π_{ℂ}(wp_{n}w^{∗})] − [π_{ℂ}(p_{n})] = [p_{n}] − [p_{n}] = 0. Vi mangler nu at tjekke at afbildningen virkelig er veldefineret, dvs. den ikke afhænger af (1) løftet w af diag(u, v), ikke af (2) n og k og (3) ikke af valget af u og v.

(1): Lad w′ ∈ U_{n+k}^{+}(A) være et andet løft af diag(u, v), og sæt z = w′w^{∗}. Da fås π_{I}(z) = diag(u, v) diag(u^{∗}, v^{∗}) = 1_{n+k}, dvs. z ∈ U_{n+k}^{+}(I), og dermed [wp_{n}w^{∗}] − [p_{n}] = [zwp_{n}w^{∗}z^{∗}] − [p_{n}] = [w′p_{n}w′^{∗}] − [p_{n}] i K_{0}(I) som ønsket.

(2): Antag at u erstattes af diag(u, 1_{m}) og v erstattes af diag(v, 1_{l}). Skriv w =

( \begin{matrix}w_{11} & w_{12} \\ w_{21} & w_{22} \end{matrix} ), hvor blokkene har størrelser svarende til u og v. Sæt

W = ( \begin{matrix}w_{11} & 0 & w_{12} & 0 \\ 0 & 1_{m} & 0 & 0 \\ w_{21} & 0 & w_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1_{l} \end{matrix} )

Det er klart at W er et unitært løft af diag(u, 1_{m}, v, 1_{l}), og som allerede vist kan vi frit bruge dette. Ved matrixoperationer i 𝕄_{n+m+k+l}(I^{+}) fås

W p_{m+n}W^{∗} ∼_{h} diag(w, 1_{m+l})p_{n+m} diag(w^{∗}, 1_{m+l})
∼_{h} diag(w, 1_{m+l}) diag(1_{n}, 0_{k}, 1_{m}, 0_{l}) diag(w^{∗}, 1_{m+l})
= diag(wp_{n}w^{∗}, p_{m})

Dvs [W p_{n+m}W^{∗}] − [p_{n+m}] = [diag(wp_{n}w^{∗}, p_{m})] − [p_{n+m}] = [wp_{n}w^{∗}] − [p_{n}]. (3) Lad u, u′ ∈ U_{n}^{+}(A/I) og v, v′ ∈ U_{k}^{+}(A/I) med u ∼_{h} u′ og

diag(u, v) ∼_{h} diag(u′, v′) ∼_{h} 1_{n+k}

Da u^{∗}u′ ∼_{h} 1_{n} kan u^{∗}u′ løftes til a ∈ U_{n}^{+}(A)_{0}, og da

diag(v^{∗}v′, 1_{n}) ∼_{h} diag(1_{n}, v^{∗}v′) ∼ diag(u^{∗}u′, v^{∗}v′) ∼ diag(u^{∗}, v^{∗}) diag(u′, v′) ∼_{h} 1_{n_{k}} har diag(v^{∗}v′, 1_{n}) et løft b ∈ U_{n+k}^{+}(A)_{0}. Da diag(a, b) således er et unitært løft af diag(u^{∗}u′, v^{∗}v′, 1_{n}) er y := diag(w, 1_{n}) diag(a, b) et unitært løft af diag(u′, v′, 1_{n}). Vi har nu

yp_{n}y^{∗} = diag(w, 1_{n}) diag(a, b)p_{n} diag(a^{∗}, b^{∗}) diag(w^{∗}, 1_{n})
= diag(w, 1_{n})p_{n} diag(w^{∗}, 1_{n}) = diag(wp_{n}w^{∗}, 0_{n})

hvoraf ses at indexet er uafhængigt af u og v.

Vi viser nu at δ er en homomorfi. Lad u_{1}, u_{2} ∈ U_{n}^{+}(A/I), og lad w_{1} og w_{2} være unitære løft af hhv. diag(u_{1}, u_{1}^{∗}) og diag(u_{2}, u_{2}^{∗}). Men da har diag(u_{1}, u_{2}, u_{1}^{∗}, u_{2}^{∗}) et løft w_{3} som kan fås udfra diag(w_{1}, w_{2}) ved skalære matrixoperationer. Men så fås

δ([u_{1}u_{2}]) = δ([diag(u_{1}, u_{2})]) = [w_{3}p_{2n}w_{3}^{∗}] − [p_{2n}]
= [diag(w_{1}, w_{2})p_{2n} diag(w_{1}^{∗}, w_{2}^{∗})] − [p_{2n}]
= [diag(w_{1}, w_{2}) diag(p_{n}, p_{n}) diag(w_{1}^{∗}, w_{2}^{∗})] − [p_{n}] − [p_{n}]
= [diag(w_{1}p_{n}w_{1}^{∗})] − [p_{n}] + [diag(w_{2}p_{n}w_{2}^{∗})] − [p_{n}]
= δ([u_{1}]) + δ([u_{2}])

Vi mangler nu blot at tjekke naturlighed. Betragt hertil følgende diagram

\xymatrix{0 \ar[r] & I \ar[r] \ar[d]^{α} & A \ar[r] \ar[d]^{α} & A/I \ar[r] \ar[d]^{α} & 0 \\ 0 \ar[r] & J \ar[r] & B \ar[r] & B/J \ar[r] & 0}

Lad [u] ∈ K_{1}(A), og vælg v, w som i definitionen af δ. Da fås at α^{+}(v) og α^{+}(w) kan bruges som ‘v og w’ i definitionen af δ(α_{∗}([u])). Altså fås kommutativitet i følgende diagram

\xymatrix{K_{1}(A/I) \ar[r]^{δ} \ar[d]^{α_{∗}} & K_{0}(I) \ar[d]^{α_{∗}} \\ K_{1}(B/J) \ar[r]^{δ} & K_{0}(J)}

hvilket viser naturligheden af δ. □

Bemærkning 3.10. Hvis A har enheden 1_{A} gælder U_{∞}(A) ≃ U_{∞}^{+}(A). Opfattes A^{+} som A ⊕ ℂ er isomorfien givet ved x ↦ x ⊕ 1_{∞}. Antag at u ∈ U_{n}(A/I), v ∈ U_{k}(A/I), så diag(u, v) er homotop til 1_{n+k} i U_{n+k}(A/I) og w ∈ U_{n+k}(A) er et løft af diag(u, v). Da haves u ⊕ 1_{n} ∈ U_{n}^{+}(A/I), v ⊕ 1_{k} ∈ U_{k}^{+}(A/I), og diag(u, v) ⊕ 1_{n+k} er homotop til 1_{n+k} ⊕ 1_{n+k} i U_{n+k}^{+}(A/I) og w ⊕ 1_{n+k} ∈ U_{n+k}^{+}(A) er et løft af diag(u, v) ⊕ 1_{n+k}. Vi har ligeledes

[(w ⊕ 1_{n+k})p_{n}(w ⊕ 1_{n+k})^{∗}] − [p_{n}] = [wp̃_{n}w^{∗}] − [p̃_{n}]

hvor p̃_{n} betegner matricen med n 1_{A}’er i diagonalen og p_{n} betegner matricen med n 1_{A^{+}}’er i diagonalen (1_{A^{+}} = 1_{A} ⊕ 1). Hvis altså A har enhed og K_{1}(A) opfattes som U_{∞}(A)/U_{∞}(A)_{0} kan vi altså direkte beregne δ uden at gå via U_{∞}^{+}(A)/U_{∞}^{+}(A)_{0}.

Bemærkning 3.11. Indexafbildningen er en generalisering af det klassiske Fredholm index. Lad F ∈ 𝔹 være en Fredholmoperator med polardekompositionen F = V |F |. Da er også V Fredholm med index V = index F, og π(V) er unitær i 𝔹/𝕂, idet Ker V = Ker F og Ker V^{∗} = Ker F^{∗}. Da |F | er Fredholm med index |F | = 0 findes en partiel isometri U med endelig rang, så |F | + U er invertibel. Da 𝔹 er en von Neumann algebra er kurven t ↦ exp(t Log(|F |+U)) en homotopi mellem |F |+U og I. Dermed er π(|F |) og I homotope i GL(𝔹/𝕂). I GL(𝔹/𝕂)/ GL(𝔹/𝕂)_{0} fås derfor

[π(F)] = [π(V)]. Sæt W = ( \begin{matrix}V & −(I − V V^{∗}) \\ I − V^{∗}V & V^{∗} \end{matrix} ), så er W et unitært løft

af diag(π(V), π(V)^{∗}). Da isomorfien GL_{∞}(A)/ GL_{∞}(A)_{0} → U_{∞}(A)/U_{∞}(A)_{0} sender [π(F)] = [π(V)] i [π(V)] jvf. sætning 1.1, gælder

δ([π(F)]) = δ([π(V)]) = [W p_{1}W^{∗}] − [p_{1}] = [diag(V V^{∗}, I − V^{∗}V)] − [I]
= [I − V^{∗}V] − [I − V V^{∗}] = dim Ker F − dim Ker F^{∗} = index F

idet vi som sædvanlig identificerer K_{0}(𝕂) med ℤ ved at identificere [p] med rang p.

Lemma 3.12. Lad I være et ideal i C^{∗}-algebraen A. Så er følgen

K_{1}(A) →^{π_{∗}} K_{1}(A/I) →^{δ} K_{0}(I) →^{ι_{∗}} K_{0}(A)

eksakt.

Bevis : Im π_{∗} ⊆ Ker δ: Antag x = [π_{I}(v)] ∈ Im π_{∗}, med v ∈ U_{n}^{+}(A). Da gælder oplagt diag(π_{I}(v), π_{I}(v)^{∗}) ∼_{h} 1_{2n}, og vi har det unitære løft diag(v, v^{∗}). Da dette kommuterer med p_{n} fås δ(x) = [diag(v, v^{∗})p_{n} diag(v, v^{∗})^{∗}] − [p_{n}] = [p_{n}] − [p_{n}] = 0.

Im δ ⊆ Ker ι_{∗}: Lad x ∈ K_{1}(A/I), og vælg u, v, w som i definitionen. Så haves wp_{n}w^{∗} ∼_{u} p_{n} i K_{0}(A), så derfor fås ι_{∗}δ(x) = [wp_{n}w^{∗}] − [p_{n}] = 0.

Ker δ ⊆ Im π_{∗}: Lad x = [u] ∈ Ker δ, u ∈ U_{n}^{+}(A/I). Lad w være et unitært løft af diag(u, u^{∗}), w ∈ U_{2n}^{+}(A). Nu er v = wp_{n} ∈ 𝕄_{2n}(A^{+}) en partiel isometri da v^{∗}v = p_{n} og q = vv^{∗} = wp_{n}w^{∗} er projektioner. Vi har klart π_{I}(v) = π_{I}(w)π_{I}(p_{n}) = diag(u, 0_{n}), så π_{I}(q) = π_{I}(v)^{∗}π_{I}(v) = p_{n}. Heraf sluttes q ∈ 𝕄_{2n}(I^{+}). Da δ(x) = 0 fås [wp_{n}w^{∗}] − [p_{n}] = 0 i K_{0}(I). Dette betyder at diag(q, p_{k}) ∼_{u} diag(p_{n}, p_{k}) i 𝕄_{2n+m}(I^{+}) for passende k, m, m ≥ k. Dermed er også deres ortogonale komplementer unitært ækvivalente, så vi kan finde en partiel isometri y ∈ 𝕄_{2n+m}(I^{+}) med yy^{∗} = diag(1_{2n} − q, 1_{m} − p_{k}) og y^{∗}y = diag(1_{2n} − p_{n}, 1_{m} − p_{k}). Bemærk nu at

π_{I}(y)p_{n} = π(y)π_{I}(y^{∗}y)p_{n} = π_{I}(y) diag(1_{2n} − p_{n}, 1_{m} − p_{k})p_{n} = 0

og tilsvarende p_{n}π_{I}(y) = 0. Heraf fås π_{I}(y) = diag(0_{n}, y′) hvor y′ ∈ 𝕄_{n+m}(ℂ). De partielle isometrier y og diag(v, p_{k}) er ortogonale og deres sum z = y⊕diag(v, p_{k}) er unitær, idet både deres støtteprojektioner og deres billedprojektioner er hinandens ortogonalkomplementer. Vi har nu π_{I}(z) = π_{I}(y) ⊕ diag(π_{I}(v), p_{k}) = diag(0_{n}, y′) + diag(u, 0_{n}, p_{k}) = diag(u, U), hvor U ∈ 𝕄_{n+m}(ℂ) er unitær, da z er det. Lad Z = diag(1_{n}, U^{∗})z. Så er Z unitær og der gælder π_{I}(Z) = diag(1_{n}, U^{∗}) diag(u, U) = diag(u, 1_{n+m}), så Z er normaliseret idet vi har π_{ℂ}(Z) = π_{ℂ}(π_{I}(Z)) = 1_{2n+m}. Vi har nu π_{∗}([Z]) = [π_{I}(Z)] = [diag(u, 1_{n+m})] = x.

Ker ι_{∗} ⊆ Im δ: Lad x ∈ Ker ι_{∗}. Skriv x = [p] − [p_{k}], hvor k ≤ n, p ∈ 𝕄_{n}(I^{+}) og p − p_{k} ∈ 𝕄_{n}(I). Vi har altså [p] − [p_{k}] = 0 i K_{0}(A), så vi kan finde l, m så l ≥ m og diag(p, 1_{m}) ∼_{h} diag(p_{k}, 1_{m}) i 𝕄_{n+l}(A^{+}). Her opfattes p_{k} som en n × nmatrix ligesom p. Vælg unitær u ∈ 𝕄_{n+l}(ℂ) så u diag(p_{k}, p_{m})u^{∗} = p_{k+m}. Sæt q = u diag(p, p_{m})u^{∗}. Da u har komplekse koefficienter haves u ∼_{h} 1_{n+l}, så vi har q ∼_{h} diag(p, p_{m}) ∼_{h} diag(p_{k}, p_{m}) ∼_{h} p_{k+m}. Vælg unitær w ∈ U_{n+l}^{+}(A) sådan at

wp_{k+m}w^{∗} = diag(p, p_{m}) og w ∼_{h} 1_{n+l}. Skriv w = ( \begin{matrix}w_{11} & w_{12} \\ w_{21} & w_{22} \end{matrix} ) hvor w_{11} er en

(k + m) × (k + m)-matrix. Vi har π_{I}(p) = p_{k}, hvilket giver

π_{I}(w)p_{k+m}π_{I}(w)^{∗} = π_{I}(q) = π_{I}(u) diag(π_{I}(p), p_{m})π_{I}(u)^{∗} = u diag(p_{k}, p_{m})u^{∗} = p_{k+m}

Dette viser at π_{I}(w) kommuterer med p_{k+m}, så π_{I}(w) = diag(π_{I}(w_{11}), π_{I}(w_{22})) ∼_{h} 1_{n+l}, idet vi jo har w ∼_{h} 1_{n+l}. Altså er diag(π_{I}(w_{11}), π_{I}(w_{22})) homotop til 1_{n+l} og har det unitære løft w. Dette giver det ønskede :

δ(π_{I}(w_{11})) = [wp_{k+m}w^{∗}] − [p_{k+m}] = [q] − [p_{k+m}] = [diag(p, p_{m})] − [p_{k+m}] = x

□

Definition 3.13. Sæt • IA = C([0; 1] → A) = C([0; 1]) ⊗ A, cylinderen over A

• CA = C_{0}(]0; 1] → A) = C_{0}(]0; 1]) ⊗ A, keglen over A

• ΣA = C_{0}(]0; 1[→ A) = {f ∈ CA|f(1) = 0} = C_{0}(]0; 1[) ⊗ A, suspensionen af A.

Lemma 3.14. Der gælder følgende :

1. I, C og Σ er kovariante eksakte funktorer.

2. CA er kontraktibel.

3. A er en deformationsretrakt af IA.

4. Hvis A er kontraktibel da er ΣA kontraktibel.

5. Følgen 0 → ΣA → CA → A → 0 er en eksakt følge.

6. Hvis A er separabel, da er IA, CA og ΣA også separable.

Bevis : Den første påstand følger af at C([0; 1]), C_{0}(]0; 1]) og C_{0}(]0; 1[) er abelske og dermed eksakte. For at vise (2) defineres homotopien γ_{t} : CA → CA ved γ_{t}(f(s)) = f(st). Så er γ_{0} = 0 og γ_{1} = id_{CA}. Påstanden (3) fås af sætning 2.22. (4) er oplagt,

(5) er ligeså. Da tensorproduktet af separable C^{∗}-algebraer er separabelt fås det ønskede, idet C([0; 1]), C_{0}(]0; 1]) og C_{0}(]0; 1[) er separable ifølge Stone-Weierstraß sætning. □

Sætning 3.15. Vi har en funktoriel isomorfi K_{1} ≃ K_{0}Σ.

Bevis : Den eksakte følge 0 → ΣA → CA → A → 0 giver ved anvendelse af lemma 3.12 følgen

K_{1}(CA) → K_{1}(A) →^{δ} K_{0}(ΣA) → K_{0}(CA)

Da CA er kontraktibel fås K_{1}(A) ≃ K_{0}(ΣA), og da δ er naturlig, er dette en funktoriel isomorfi. □

Bemærkning 3.16. Af isomorfien og sætning 3.14 følger igen at hvis A er separabel, da er K_{1}(A) tællelig, idet vi har den analoge sætning for K_{0}.

Sætning 3.17 (Halveksakthed af K_{1}). K_{1} er en halveksakt funktor.

Bevis : Idet K_{0} er halveksakt og Σ er eksakt følger resultatet af isomorfien K_{1} ≃ K_{0}Σ. □

Sætning 3.18. Lad I være et ideal i C^{∗}-algebraen A. Så er følgen

K_{1}(I) →^{ι_{∗}} K_{1}(A) →^{π_{∗}} K_{1}(A/I) →^{δ} K_{0}(I) →^{ι_{∗}} K_{0}(A) →^{π_{∗}} K_{0}(A/I)

eksakt.

Bevis : Idet K_{0} og K_{1} er halveksakte følger påstanden af sætning 3.12. □

Sætning 3.19 (Spliteksakthed af K_{0} og K_{1}). K_{0} og K_{1} er spliteksakte.

Bevis : Lad 0 → A → B ↔ C → 0 være en spliteksakt følge. Da fås ifølge sætning 3.18 en eksakt følge

K_{1}(B) ↔ K_{1}(C) →^{δ} K_{0}(A) → K_{0}(B) ↔ K_{0}(C)

Det ses at afbildningen K_{0}(B) → K_{0}(C) er surjektiv og δ = 0, hvoraf ses at følgen 0 → K_{0}(A) → K_{0}(B) ↔ K_{0}(C) → 0 er spliteksakt, dvs. K_{0} er spliteksakt. Da K_{1} ≃ K_{0}Σ fås at også K_{1} er spliteksakt. □

Sætning 3.20 (Stabilitet af K_{0}). For enhver C^{∗}-algebra A inducerer morfien A → A ⊗ 𝕂 : a ↦ a ⊗ e_{11} en funktoriel isomorfi K_{0}(A) ≃ K_{0}(A ⊗ 𝕂). Hvis specielt A og B er stabilt isomorfe, dvs. A ⊗ 𝕂 ≃ B ⊗ 𝕂 fås K_{0}(A) ≃ K_{0}(B).

Bevis : Vi har allerede set at påstanden gælder hvis A er unital ifølge sætning 2.17. Da vi nu har spliteksaktheden til vores rådighed følger det generelle resultat let. Betragt nemlig den spliteksakte følge 0 → A → A^{+} ↔ ℂ → 0. Da 𝕂 er nukleær, og dermed specielt eksakt, fås heraf den spliteksakte følge 0 → A ⊗ 𝕂 → A^{+} ⊗ 𝕂 ↔ ℂ ⊗ 𝕂 → 0. Resultatet fås nu ved anvendelse af femlemmaet på følgende kommutative diagram

[figure: 0; K_{0}(A); K_{0}(A^{+}); ≃; K_{0}(ℂ); ≃; 0; 0; K_{0}(A ⊗ 𝕂); K_{0}(A^{+} ⊗ 𝕂); K_{0}(ℂ ⊗ 𝕂); 0]

Naturligheden er oplagt. □

Sætning 3.21 (Stabilitet af K_{1}). For enhver C^{∗}-algebra A inducerer morfien A → A ⊗ 𝕂 : a ↦ a ⊗ e_{11} en funktoriel isomorfi K_{1}(A) ≃ K_{1}(A ⊗ 𝕂). Hvis specielt A og B er stabilt isomorfe, dvs. A ⊗ 𝕂 ≃ B ⊗ 𝕂 fås K_{1}(A) ≃ K_{1}(B).

Bevis : Betragt det kommutative diagram

\xymatrix{0 \ar[r] & ΣA \ar[r] \ar[d]^{id ⊗e_{11}} & CA \ar[r] \ar[d]^{id ⊗e_{11}} & A \ar[r] \ar[d]^{id ⊗e_{11}} & 0 \\ 0 \ar[r] & ΣA ⊗ 𝕂 \ar[r] & CA ⊗ 𝕂 \ar[r] & A ⊗ 𝕂 \ar[r] & 0}

Da δ er naturlig induceres et kommutativt diagram

\xymatrix{K_{1}(A) \ar[r]^{K_{1}(id ⊗e_{11})} \ar[d]_{δ}^{≃} & K_{1}(A ⊗ 𝕂) \ar[d]_{δ}^{≃} \\ K_{0}(ΣA) \ar[r]^{K_{0}(id ⊗e_{11})}_{≃} & K_{0}(ΣA ⊗ 𝕂)}

hvilket giver det ønskede. Naturligheden er klar. □

Eksempel 3.22. Da vi har 𝕂 = ℂ ⊗ 𝕂 fås nu for tredie gang at K_{1}(𝕂) = 0.

4. K_{0} og K_{1} for udvalgte C^{∗}-algebraer

Vi har tidligere vist at der er en funktoriel isomorfi K_{1} ≃ K_{0}Σ. Vi vil i næste afsnit vise at der ligeledes er en funktoriel isomorfi K_{0} ≃ K_{1}Σ, kaldet Bott periodicitet. Vi vil i det nedenstående bruge dette til at udregne nogle konkrete K-grupper for nogle kommutative C^{∗}-algebraer.

Eksempel 4.1. Vi viser i det følgende at K_{0}(C(𝕋^{n})) ≃ K_{1}(C(𝕋^{n})) ≃ ℤ^{2^{n−1}}. Betragt den spliteksakte følge 0 → ΣA → C(𝕋 → A) ↔ A → 0. Denne giver ved Bott periodicitet

K_{0}(C(𝕋 → A)) ≃ K_{0}(ΣA) ⊕ K_{0}(A) ≃ K_{0}(A) ⊕ K_{1}(A)
K_{1}(C(𝕋 → A)) ≃ K_{1}(ΣA) ⊕ K_{1}(A) ≃ K_{0}(A) ⊕ K_{1}(A)

Sættes A = ℂ fås K_{0}(C(𝕋)) ≃ K_{1}(C(𝕋)) ≃ ℤ. Bemærk nu at det er en følge af eksponentiallemmaet (se evt. [1, 5.5]) at C(𝕋^{n}) ≃ C(𝕋 → C(𝕋^{n−1})). Ved induktion fås nu

K_{0}(C(𝕋^{n+1})) ≃ K_{1}(C(𝕋^{n+1})) ≃ K_{0}(C(𝕋^{n})) ⊕ K_{1}.(C(𝕋^{n})) ≃ ℤ^{2^{n−1}} ⊕ ℤ^{2^{n−1}} ≃ ℤ^{2^{n}}

Eksempel 4.2. Ved brug af eksponentiallemmaet fås at Σ^{n}ℂ ≃ C_{0}(ℝ^{n}). Da K_{0}(ℂ) = ℤ og K_{1}(ℂ) = 0 fås ved Bott periodicitet at K_{0}(C_{0}(ℝ^{2n})) ≃ K_{1}(C_{0}(ℝ^{2n+1})) ≃ ℤ og K_{0}(C_{0}(ℝ^{2n+1})) ≃ K_{1}(C_{0}(ℝ^{2n})) ≃ 0.

Eksempel 4.3. Da S^{n} er etpunktskompaktifikationen af ℝ^{n} fås på naturlig måde en spliteksakt følge 0 → C_{0}(ℝ^{n}) → C(S^{n}) ↔ ℂ → 0. Heraf fås at K_{i}(C(S^{n})) ≃ K_{i}(C_{0}(ℝ^{n})) ⊕ K_{i}(ℂ), dvs. K_{0}(C(S^{2n})) ≃ ℤ^{2}, K_{0}(C(S^{2n+1})) ≃ ℤ, K_{1}(C(S^{2n})) ≃ 0 og K_{1}(C(S^{2n+1})) ≃ ℤ, jvf. det foregående eksempel.

5. Homologi og Bott periodicitet

Vi vil i dette afsnit vise Bott periodiciteten. Først vil dog gøre en lille détour for at undersøge sammenhængen mellem forskellige egenskaber ved en funktor C^{∗} → Ab.

Definition 5.1. En funktor F : C^{∗} → Ab kaldes additiv hvis der for morfier α, β : A → B med α(A) · β(A) = 0 gælder F (α + β) = F (α) + F (β).

Sætning 5.2. Betragt følgende 5 betingelser for en funktor F:

1. F er spliteksakt

2. F er halveksakt

3. F er halveksakt på spliteksakte følger

4. F er halveksakt på følger af formen 0 → A_{1} → A_{1} ⊕ A_{2} → A_{2} → 0.

5. F er additiv Der gælder følgende implikationer

[figure: (1); (4); (3); (2); (5)]

Bevis : (1) ⇒ (3), (2) ⇒ (3) og (3) ⇒ (4) er oplagte, så vi skal kun vise (4) ⇔ (5). For at se at (4) ⇒ (5) betragter vi først følgen

[figure: 0; A; ι_{1}; π_{1}; A ⊕ A; π_{2}; ι_{2}; A; 0]

Vi får nu at følgerne F (A) →^{F (ι_{1})} F (A ⊕ A) →^{F (π_{2})} F (A) og F (A) →^{F (ι_{2})} F (A ⊕ A) →^{F (π_{1})}

F (A) er eksakte, specielt er F (π_{2})F (ι_{1}) = F (π_{1})F (ι_{2}) = 0. Lad x ∈ F (A ⊕ A). Så gælder x = F (ι_{1})(F (π_{1})(x)) + (x − F (ι_{1})(F (π_{1})(x))), F (π_{1})(x − F (ι_{1})(F (π_{1})(x)) = 0. Altså haves F (A ⊕ A) = Im F (ι_{1}) + Ker F (π_{1}) = Im F (ι_{1}) + Im F (ι_{2}). Vælg y, z ∈ F (A) så x = F (ι_{1})(y) + F (ι_{2})(z). Da fås

(F (ι_{1})F (π_{1}) + F (ι_{2})F (π_{2}))(x) = (F (ι_{1})F (π_{1}) + F (ι_{2})F (π_{2})(F (ι_{1})(y) + F (ι_{2})(z))

= F (ι_{1})(y) + F (ι_{2})(z) = x

så F (ι_{1})F (π_{1}) + F (ι_{2})F (π_{2}) = id_{F (A⊕A)}. Dette giver F (ι_{1} + ι_{2}) = (F (ι_{1})F (π_{1}) + F (ι_{2})F (π_{2}))F (ι_{1} + ι_{2}) = F (ι_{1}) + F (ι_{2}). Heraf fås det generelle tilfælde let: Lad α_{1}, α_{2} : A → B med være morfier med α_{1}(A) · α_{2}(A) = 0. Så er

F (α_{1} + α_{2}) = F ((α_{1}π_{1} + α_{2}π_{2})(ι_{1} + ι_{2})) = F (α_{1}π_{1} + α_{2}π_{2})F (ι_{1} + ι_{2})
= F (α_{1}π_{1} + α_{2}π_{2})F (ι_{1}) + F (α_{1}π_{1} + α_{2}π_{2})F (ι_{2}) = F (α_{1}) + F (α_{2})

Antag nu at F er additiv. Betragt følgen

[figure: 0; A_{1}; ι_{1}; π_{1}; A_{1} ⊕ A_{2}; π_{2}; ι_{2}; A_{2}; 0]

Vi har id_{A_{1}⊕A_{2}} = ι_{1}π_{1} + ι_{2}π_{2}, så da ι_{1}π_{1}(A_{1} ⊕ A_{2}) · ι_{2}π_{2}(A_{1} ⊕ A_{2}) = 0 fås id_{F (A_{1}⊕A_{2})} = F (ι_{1})F (π_{1}) + F (ι_{2})F (π_{2}), hvoraf fås at følgen

[figure: 0; F (A_{1}); F (ι_{1}); F (π_{1}); F (A_{1} ⊕ A_{2}); F (π_{2}); F (ι_{2}); F (A_{2}); 0]

er spliteksakt, specielt halveksakt. □

Bemærkning 5.3. I modultilfældet gælder at enhver additiv funktor er spliteksakt, så betingelserne (1), (3), (4) og (5) bliver ensbetydende.

Korollar 5.4. K_{0} og K_{1} er additive.

Bemærkning 5.5. Som det ses af sætningen er en funktor additiv netop hvis den kommuterer med endelige direkte summer. Vi viser senere at K_{0} og K_{1} kommuterer med vilkårlige direkte summer.

Bemærkning 5.6. Definer Toeplitz algebraen T som algebraen frembragt af den ensidede skifteoperator S i 𝔹. Toeplitz algbraen har følgende universelle egenskab. Hvis v er en isometri i en unital C^{∗}-algebra B, findes en entydig morfi α : T → B med α(S) = v. For et bevis se f.eks. [8, 3.5.18]. Vi viser nu at 𝕂 ⊆ T . Det er let at se at P_{n} = 1−S^{n}S^{∗n}, så e_{n} ⊙e_{n} = P_{n} −P_{n−1} ligger i T . Da S^{m}(e_{n} ⊙e_{n}) = e_{n+m} ⊙e_{n}, og S^{∗m}(e_{n}⊙e_{n}) = e_{n−m}⊙e_{n} ses at e_{i}⊙e_{j} ∈ T for alle i og j. Heraf fås P_{n}KP_{n} ∈ T , for alle K ∈ 𝕂. Da (P_{n}) er en approksimativ enhed for 𝕂 fås heraf 𝕂 ⊆ T . Det er let at se at σ(π(S)) = 𝕋, hvor π : 𝔹 → 𝔹/𝕂 er kvotientafbildningen. Heraf fås direkte at T /𝕂 = C^{∗}(π(S)) ≃ C(𝕋). Herved fås en afbildning κ : T → ℂ ved sammensætning af kvotientafbildningen og punktevaluering i 1. Lad T_{′} betegne kernen af denne afbildning. Vi har altså 𝕂 ⊆ T_{′} og T_{′}/𝕂 ≃ C_{′}(ℝ). Lad endelig ι : ℂ → T være den unitale indlejring, og bemærk at κι = id_{ℂ}. Bemærk at T er nukleær idet vi har den eksakte følge 0 → 𝕂 → T → C(𝕋) → 0.

For at vise Bott periodiciteten får vi brug for følgende fundamentale lemma.

Lemma 5.7. Der gælder K_{0}(T_{′} ⊗ A) = ′, for enhver C^{∗}-algebra A.

Bevis : Bemærk at 𝕂 ⊗ T er et afsluttet ideal i T ⊗ T , og at T ⊗ I er en C^{∗}- delalgebra af T ⊗ T . Derfor er T̂ = 𝕂 ⊗ T + T ⊗ I en C^{∗}-delalgebra af T ⊗ T . Vi har en indlejring θ : T → T̂ : T ↦ T ⊗ I. Dette giver os et pullback

T̄ = {x ⊕ y ∈ T̂ ⊕ T |π̂(x) = π̂θ(y)}

Definer η : 𝕂 ⊗ T → T̄, x ↦ x ⊕ 0, π̄ : T̄ → T , π̄(x ⊕ y) = y og γ : T → T̄, y ↦ (y ⊗ I) ⊕ y. Vi har således en spliteksakt følge

[figure: 0; 𝕂 ⊗ T; η; T̄; π̄; γ; T; 0]

Da T er nukleær og K_{0} er spliteksakt fås at (η⊗id_{A})_{∗} : K_{0}(𝕂⊗T ⊗A) → K_{0}(T̄ ⊗A) er injektiv. Betragt indlejringen σ : T → 𝕂 ⊗ T , givet ved T ↦ (I − SS^{∗}) ⊗ T. Da K_{0} er stabil, og tensorproduktet er associativt ses (σ ⊗ id_{A})_{∗} at være en isomorfi. Det er nok at vise identiteten

(η ⊗ id_{A})_{∗}(σ ⊗ id_{A})_{∗}(ι ⊗ id_{A})_{∗}(κ ⊗ id_{A})_{∗} = (η ⊗ id_{A})_{∗}(σ ⊗ id_{A})_{∗}  (1)

Dette vil medføre at (ι ⊗ id_{A})_{∗}(κ ⊗ id_{A})_{∗} = id_{K_{0}(T ⊗A)}. Vi har en spliteksakt følge

[figure: 0; T_{0}; T; κ; ι; ℂ; 0]

Da ℂ er nukleær og K_{0} er spliteksakt fås en spliteksakt følge

[figure: 0; K_{0}(T_{0} ⊗ A); K_{0}(T ⊗ A); (κ⊗id_{A})_{∗}; (ι⊗id_{A})_{∗}; K_{0}(ℂ ⊗ A); 0]

Da (ι ⊗ id_{A})_{∗}(κ ⊗ id_{A})_{∗} = id_{K_{0}(T ⊗A)} fås K_{0}(T_{0} ⊗ A) = 0 som ønsket.

For at vise (1) defineres to symmetrier i T̂

u_{0} = S^{2}S^{∗2} ⊗ I + ((I − SS^{∗})S^{∗}) ⊗ S + (S(I − SS^{∗})) ⊗ S^{∗} + (I − SS^{∗}) ⊗ (I − SS^{∗})
u_{1} = S^{2}S^{∗2} ⊗ I + ((I − SS^{∗})S^{∗}) ⊗ I + (S(I − SS^{∗})) ⊗ I

Det er let at tjekke at disse faktisk er symmetrier. Af sætning 1.5 fås nu at vi kan finde en homotopi (u_{t}) i U(T̂) mellem u_{0} og u_{1}. Elementet (u_{t}(S ⊗ I)) ⊕ S er en isometri i T̄, så af den universelle egenskab for T ses at der findes morfier β_{t} : T → T̄ med β_{t}(S) = (u_{t}(S⊗I))⊕S. Bemærk at β_{t} er en homotopi. Da ∥β_{t}∥ ≤ 1 er det nok at vise at t ↦ β_{t}(T) er kontinuert hvis T er et polynomium i S og S^{∗}. Da regneoperationerne er kontinuerte kommer dette ud på at tjekke at t ↦ β_{t}(S) er kontinuert, men dette er klart. Derfor er også (β_{t} ⊗ id_{A}) en homotopi. Bemærk at S^{2}S^{∗} er en isometri i den unitale C^{∗}-algebra SS^{∗}T SS^{∗}, så (S^{2}S^{∗} ⊗ I) ⊕ S er en isometri i den unitale C^{∗}-algebra θ(SS^{∗}T SS^{∗}) ⊕ T . Af den universelle egenskab ved Toeplitz algebraen ses at der findes en entydig morfi α : T → θ(SS^{∗}T SS^{∗})⊕T , med α(S) = (S^{2}S^{∗} ⊗ I) ⊕ S. Da

π̂(S^{2}S^{∗} ⊗ I) − π̂θ(S) = π̂(S(I − SS^{∗}) ⊗ I) = 0

ses α(S) ∈ T̂. Da T er frembragt af S ses at vi kan finde en morfi β : T → T̄, med β(T) = α(T) for alle T ∈ T . Ved indsættelse fås

β_{0}(S) = (S^{2}S^{∗} ⊗ I + (I − SS^{∗}) ⊗ S) ⊕ S
β_{1}(S) = (S^{2}S^{∗} ⊗ I + (I − SS^{∗}) ⊗ I) ⊕ S
ησ(S) = ((I − SS^{∗}) ⊗ S) ⊕ 0
ησικ(S) = ((I − SS^{∗}) ⊗ I) ⊕ 0

Altså fås β_{0} = β + ησ og β_{1} = β + ησικ, idet de stemmer overens på S. Vi får altså

(β_{0} ⊗ id_{A}) = (β ⊗ id_{A}) + (η ⊗ id_{A})(σ ⊗ id_{A})
(β_{1} ⊗ id_{A}) = (β ⊗ id_{A}) + (η ⊗ id_{A})(σ ⊗ id_{A})(ι ⊗ id_{A})(κ ⊗ id_{A})

Ved direkte udregning fås

β(S)ησ(S) = β(S)ησ(S^{∗}) = β(S^{∗})ησ(S) = β(S^{∗})ησ(S^{∗}) = 0

så β(T ) · ησ(T ) = 0. Heraf fås (β ⊗ id_{A})(T ⊗ A) · (ησ ⊗ id_{A})(T ⊗ A) = 0. Da K_{0} er additiv fås (1) direkte, idet (β_{0} ⊗ id_{A})_{∗} = (β_{1} ⊗ id_{A})_{∗} da K_{0} er homotopiinvariant. □

Bemærkning 5.8. Vi har K_{0}(T_{0}) = K_{0}(T_{0} ⊗ ℂ) = 0 og K_{1}(T_{0}) = K_{0}(T_{0} ⊗ C_{0}(ℝ)) = 0. Af beviset fås K_{0}(T ⊗ A) ≃ K_{0}(ℂ ⊗ A) = K_{0}(A), så K_{0}(T ) = ℤ og K_{1}(T ) = 0.

Sætning 5.9 (Bott periodicitet). Vi har en funktoriel isomorfi K_{1}Σ ≃ K_{0}.

Bevis : Betragt den korteksakte følge 0 → 𝕂 → T_{0} → C_{0}(ℝ) → 0. Da C_{0}(ℝ) er nukleær fås en eksakt følge 0 → 𝕂⊗A → T_{0}⊗A → C_{0}(ℝ)⊗A → 0, jvf. bemærkning 1.27. Heraf fås en eksakt følge

K_{1}(T_{0} ⊗ A) → K_{1}(C_{0}(ℝ) ⊗ A) →^{δ} K_{0}(𝕂 ⊗ A) → K_{0}(T_{0} ⊗ A)

Af lemmaet fås K_{1}(T_{0} ⊗ A) = K_{0}(T_{0} ⊗ A ⊗ C_{0}(ℝ)) = 0 og K_{0}(T_{0} ⊗ A) = 0. Altså fås K_{1}(ΣA) ≃ K_{0}(𝕂 ⊗ A) ≃ K_{0}(A), hvor isomorfierne er naturlige. □

Bemærkning 5.10. Vores bevis for Bott periodicitet har kun benyttet funktorielle egenskaber ved K_{0} og K_{1}. Faktisk kan man vise at enhver halveksakt homotopiinvariant funktor fra C^{∗} til Ab inducerer en homologiteori, der bliver cyklisk hvis funktoren er stabil.

Definition 5.11. Lad 0 → I → A → A/I → 0 være en korteksakt følge. Da defineres eksponentialafbildningen δ : K_{0}(A/I) → K_{1}(I) udfra diagrammet

[figure: K_{0}(A/I); ≃; δ; K_{1}(I); ≃; K_{1}(Σ(A/I)); δ; K_{0}(ΣI)]

Bemærk at eksponentialafbildningen er naturlig.

Hovedsætning 5.12. Enhver korteksakt følge 0 → I →^{ι} A →^{π} A/I → 0 inducerer en cyklisk følge

\xymatrix{K_{1}(I) \ar[r]^{ι_{∗}} & K_{1}(A) \ar[r]^{π_{∗}} & K_{1}(A/I) \ar[d]^{δ} \\ K_{0}(A/I) \ar[u]^{δ} & K_{0}(A) \ar[l]^{π_{∗}} & K_{0}(I) \ar[l]^{ι_{∗}}}

hvor afbildningerne er naturlige.

Bevis : Betragt diagrammet

\xymatrix{K_{0}(A) \ar[r]^{π_{∗}} \ar[d]_{≃} & K_{0}(A/I) \ar[r]^{δ} \ar[d]_{≃} & K_{1}(I) \ar[r]^{ι_{∗}} \ar[d]_{≃} & K_{1}(A) \ar[d]_{≃} \\ K_{0}(ΣA) \ar[r]^{π_{∗}} & K_{1}(Σ(A/I)) \ar[r]^{δ} & K_{0}(ΣI) \ar[r]^{ι_{∗}} & K_{0}(ΣA)}

Dette er kommutativt på grund af de funktorielle isomorfier K_{0} ≃ K_{1}Σ og K_{1} ≃ K_{0}Σ. Da Σ er eksakt bliver nederste række eksakt, hvorved vi får det ønskede. Naturligheden er klar. □

Bemærkning 5.13. De fleste af egenskaberne ved K_{0} og K_{1} kan fås af den cykliske følge, der dermed kan betragtes som hovedsætningen i projektet. Således fås halveksaktheden og spliteksaktheden direkte, og isomorfierne K_{0} ≃ K_{1}Σ og K_{1} ≃ K_{0}Σ fås ved at betragte den cykliske følge hørende til den spliteksakte følge 0 → ΣA → CA ↔ A → 0.

6. Konstruktioner med C^{∗}-algebraer

En række konstruktioner kendt fra topologien så som kegler og suspensioner kan også indføres i det ikke-kommutative tilfælde. Vi vil i dette afsnit indføre disse samt diskutere hvordan disse relaterer til det kommutative tilfælde.

Definition 6.1. Lad A, B være C^{∗}-algebraer, og lad α : A → B være en morfi. Definer:

• IA = C([0; 1] → A), cylinderen over A.

• CA = C_{0}(]0; 1] → A) = {f ∈ IA|f(0) = 0}, keglen over A.

• ΣA = C_{0}(]0; 1[→ A) = {f ∈ CA|f(1) = 0} = {f ∈ IA|f(0) = 0, f(1) = 0}, suspensionen af A.

• I_{α} = {a ⊕ f ∈ A ⊕ IB|α(a) = f(1)}, afbildningscylinderen for α.

• C_{α} = {a ⊕ f ∈ I_{α}|f(0) = 0} = {a ⊕ f ∈ A ⊕ CB|α(a) = f(1)}, afbildningskeglen for α.

Bemærkning 6.2. De her indførte konstruktioner stammer alle fra topologien. Hvis X er et lokalkompakt Hausdorff rum ses det af eksponentiallemmaet at IC_{0}(X) = C_{0}(IX), CC_{0}(X) = {f ∈ C_{0}(CX)|f([(0, x)]) = 0} = C_{0}(]0; 1] × X) og ΣC_{0}(X) = {f ∈ C_{0}(ΣX)|f([(0, x)]) = f([(1, x)]) = 0} = C_{0}(]0; 1[×X). Hvis α : X → Y er en proper afbildning, hvor Y ligeledes er lokalkompakt definerer man i topologien afbildningscylinderen (og analogt afbildningskeglen) ved et pushout

\xymatrix{X \ar[r]^{α} \ar@{^{(}->}[d] & Y \ar[d] \\ IX \ar[r] & I_{α}}

Betragtes C_{0} på rummene fås diagrammet

[figure: C_{0}(I_{α}); φ; C_{0}(Y); α^{∗}; I_{α^{∗}}; IC_{0}(X); C_{0}(X)]

hvor den stiplede pil er induceret af pullbackets universelle egenskab. Antag omvendt at vi har et element f ⊕ g i I_{α^{∗}}, dvs. vi har gα = α^{∗}g = f_{1}. Vi får altså induceret en kontinuert afbildning ψ(f ⊕ g) : I_{α} → ℂ. En nærmere overvejelse giver at ψ(f ⊕ g) ∈ C_{0}(I_{α}). Det følger udfra konstruktionen at φ og ψ er hinandens inverse, således at vi på naturlig måde kan identificere C_{0}(I_{α}) med I_{α^{∗}}. For afbildningskeglen fås at vi kan identificere C_{α^{∗}} med {f ∈ C_{0}(C_{α})|f([(0, x)]) = 0}. Vi ser således at konstruktionerne i C^{∗}-algebra tilfældet er analoge til de topologiske konstruktioner. Vi bemærker at pushout konstruktioner i topologien erstattes med pullback konstruktioner idet C_{0} er en kontravariant funktor.

Sætning 6.3. Hvis α, β : A → B er homotope, da er Iα, Iβ : IA → IB, Cα, Cβ : CA → CB og Σα, Σβ : ΣA → ΣB parvis homotope.

Bevis : Lad γ_{t} være en homotopi fra α til β, og lad f ∈ IA. Afbildningen [0; 1] × [0; 1] → B : (t, s) ↦ γ_{t}(f(s)) er kontinuert idet vi har vurderingen

∥γ_{t}(f(s)) − γ_{t_{0}}(f(s_{0}))∥ ≤ ∥γ_{t}(f(s)) − γ_{t}(f(s_{0}))∥ + ∥γ_{t}(f(s_{0})) − γ_{t_{0}}(f(s_{0}))∥
≤ ∥f(s) − f(s_{0})∥ + ∥γ_{t}(f(s_{0})) − γ_{t_{0}}(f(s_{0}))∥

Af ekspontiallemmaet fås nu at afbildningen t ↦ γ_{t}(f) er kontinuert [0; 1] → IB. Beviset for kegle og suspension er tilsvarende. □

Sætning 6.4. Lad α : A → B være en morfi, og lad π_{A} : C_{α} → A være projektionen på A. Da findes en cyklisk følge

\xymatrix{K_{1}(C_{α}) \ar[r]^{π_{A∗}} & K_{1}(A) \ar[r]^{α_{∗}} & K_{1}(B) \ar[d] \\ K_{0}(B) \ar[u] & K_{0}(A) \ar[l]_{α_{∗}} & K_{0}(C_{α}) \ar[l]_{π_{A∗}}}

Bevis : Bemærk først at A er en deformationsretrakt af I_{α}. Vi nemlig projektionsafbildningen π : I_{α} → A og afbildningen i : a ↦ a ⊕ α(a) fra A til I_{α}, hvor α(a) opfattes som en konstant afbildning. Vi har nu at πi er identiteten og iπ er homotop til identiteten via homotopien γ_{t}(a ⊕ f(s)) = a ⊕ f(s + t(1 − s)). Vi har oplagt en eksakt følge 0 → C_{α} →^{ι} I_{α} →^{π_{B}} B → 0. Resultat fås nu ved at anvende den cykliske følge på denne, hvorved vi får et kommutativt diagram

[figure: K_{1}(C_{α}); π_{A∗}; K_{1}(A); α_{∗}; K_{1}(B); K_{1}(C_{α}); ι_{∗}; K_{1}(I_{α}); π_{∗}; ≃; π_{B∗}; K_{1}(B); K_{0}(B); K_{0}(I_{α}); π_{B∗}; π_{∗}; ≃; K_{0}(C_{α}); ι_{∗}; K_{0}(B); K_{0}(A); α_{∗}; K_{0}(C_{α}); π_{A∗}]

□

7. Surjektivitet af K_{0} og K_{1}

Sætning 7.1. Lad (A_{i})_{I} være C^{∗}-algebraer. Da haves naturlige isomorfier

K_{0}(⨁_{I} A_{i}) ≃ ⨁_{I} K_{0}(A_{i})

K_{1}(⨁_{I} A_{i}) ≃ ⨁_{I} K_{1}(A_{i})

induceret af projektionerne.

Bevis : Påstanden for K_{1} følger umiddelbart af at U_{∞}^{+}(⨁_{I} A_{i}) ≃ ⨁_{I} U_{∞}^{+}(A_{i}). Da tensorprodukt kommuterer med vilkårlige direkte summer, fås påstanden for K_{0} udfra Bott periodiciteten idet

K_{0}(⨁_{I} A_{i}) ≃ K_{1}(C_{0}(ℝ) ⊗ (⨁_{I} A_{i})) ≃ K_{1}(⨁_{I}(C_{0}(ℝ) ⊗ A_{i}))
≃ ⨁_{I} K_{1}(C_{0}(ℝ) ⊗ A_{i}) ≃ ⨁_{I} K_{0}(A_{i})
□

Sætning 7.2. Til vilkårlige to abelske grupper G_{0} og G_{1} findes en C^{∗}-algebra A så K_{i}(A) = G_{i}, i = 0, 1.

Bevis : Det er nok at vise at der til en vilkårlig abelsk gruppe G findes en C^{∗}-algebra A, så K_{0}(A) = 0 og K_{1}(A) = G. Vælg nemlig C^{∗}-algebraer A_{i}, så K_{0}(A_{i}) = 0 og K_{1}(A_{i}) = G_{i}. Sæt da A = ΣA_{0} ⊕ A_{1}. Af Bott periodiciteten fås da umiddelbart K_{i}(A) = G_{i}. Lad altså G være en vilkårlig abelsk gruppe. Vælg en fri resolution

\xymatrix{0 \ar[r] & H′ \ar[r]^{ψ} & H \ar[r]^{π} & G \ar[r] & 0}

af G. Lad {h′_{i}}_{i∈I} og {h_{j}}_{j∈J} være baser for hhv. H′ og H, og lad (n_{ij}) være matricen for ψ mht disse baser. Sæt J_{+}^{⟩} = {| ∈ J |\_{⟩|} ≥ ′}, og sæt J_{−}^{⟩} = {| ∈ J |\_{⟩|} < ′}. Lad ψ_{+}, ψ_{−} : H′ → H være givet ved

ψ_{+}(h′_{i}) = ∑_{j∈J_{+}^{i}} n_{ij}h_{j}, ψ_{−}(h′_{i}) = ∑_{j∈J_{−}^{i}} −n_{ij}h_{j}

Bemærk at ψ = ψ_{+} − ψ_{−}. Definer F′ = H′ ⊕ H og F = H ⊕ H. Lad φ : F′ → F være givet ved φ(x, y) = (ψ_{+}(x) + y, ψ_{−}(x) + y) og lad η(x, y) = π(x − y). Vi har således følgen

\xymatrix{0 \ar[r] & F′ \ar[r]^{φ} & F \ar[r]^{η} & G \ar[r] & 0}

Eksakthed i F′ og G er oplagt, og det følger ligeledes umiddelbart at ηφ = 0. Antag omvendt at (x, y) ∈ Ker η, dvs π(x − y) = 0. Vælg z ∈ H′, så ψ(z) = x − y. Sæt w = x − ψ_{+}(z) = y − ψ_{−}(z), så gælder φ(z, w) = (x, y). Lad {f′_{k}}_{k∈K} og {f_{l}}_{l∈L} være de naturlige baser for hhv. F′ og F, og bemærk at φ i disse har matricen

(m_{kl}) = [φ] = ( \begin{matrix}[ψ_{+}] & I \\ [ψ_{−}] & I \end{matrix} )

med m_{kl} ≥ 0. Definer C^{∗}-algebraerne A′ = ⨁_{k∈K} 𝕂_{k} og A = ⨁_{l∈L} 𝕂_{l}. Definer α : A′ → A ⊗ 𝕂 koordinatvis ved α_{kl} : 𝕂_{k} → 𝕂_{l} ⊗ 𝕂, x_{k} ↦ x_{k} ⊗ p_{m_{kl}}. Bemærk at K_{0}(A′) ≃ F′, K_{0}(A ⊗ 𝕂) ≃ F, og ved nogle overvejelser ses at vi med disse

28 KASPER K. S. ANDERSEN & JESPER K. GRODAL

identifikationer har α_{∗} = φ. Vi har desuden K_{1}(A′) = 0 og K_{1}(A ⊗ 𝕂) = 0. Lad C_{α} være afbildningskeglen for α, så af sætning 6.4 fås den cykliske følge

\xymatrix{K_{1}(C_{α}) \ar[r] & 0 \ar[r] & 0 \ar[d] \\ F \ar[u] & F′ \ar[l]_{φ} & K_{0}(C_{α}) \ar[l]}

Da φ er injektiv fås K_{0}(C_{α}) = 0 og K_{1}(C_{α}) ≃ G. □

Litteratur

[1] Kasper K. S. Andersen and Jesper Grodal. Homotopigrupper og overlejringer. Bachelorprojekt ved Københavns Universitet, Matematisk Institut, December 1993.

[2] Bruce Blackadar. K-Theory for Operator Algebras. Springer Verlag, 1986.

[3] J. Cuntz. K-theory and C^{∗}-algebras. In Proc. Conf. on K-Theory, pages 55–79. Lecture Notes in Mathematics, 1046. Springer Verlag, 1982.

[4] Kenneth R. Davidson. C^{∗}-algebras by Example, volume 6 of Fields Institute Monographs. AMS, 1996.

[5] James Dugundji. Topology. Allyn and Bacon, 1973.

[6] Edward G. Effros. Dimensions and C^{∗}-algebras. Number 46 in Conference board of the Mathematical Sciences. American Mathematical Society, 1981.

[7] George A. Elliott. On the classification of inductive limits of sequences of semisimple finite dimensional algebras. Journal of Algebra, 38:29–44, 1976.

[8] Gerard J. Murphy. C^{∗}-Algebras and Operator Theory. Academic Press, Inc., 1990.

[9] Gert K. Pedersen. Analysis Now. Graduate Texts in Mathematics, 118. Springer-Verlag New York Inc., 1989.

[10] Niels Erik Wegge-Olsen. K-Theory and C^{∗}-Algebras. Oxford University Press, 1993.

[11] Kehe Zhu. An introduction to Operator Algebras. CRC Press, 1993.