Kursusnavn: Algebra 2

Forkortelse: Alg2

Kursusdesigner(e): Anders Thorup og Gunnar Forst

Størrelse: 7.5 ECTS

Placering: 1. år, blok 4C

Udbydes: Hvert år

Kompetencebeskrivelse: bevisførelse og problemløsning trænes

Emner:

Grupper II.

-----------

5. Homomorfi og isomorfi: Kerne, billede, homomorfisætning,

isomorfisætning, Noethers første og anden sætning

6. Struktursætning for kommutative grupper: produkt af grupper,

struktursætning for endelige abelske grupper

7. Gruppevirkninger: Cayley's sætning, bane, stabilisatorgruppe,

fixpunkt, konjugering, Burnside's formel, Polya's formel

8. Sylow's sætninger: Sylow-undergruppe, anvendelser af Sylow's

sætninger, A_n er simpel

Symmetrier. IKKE EKSAMENSPENSUM.

-----------

1. Ortogonale afbildninger

2. Flytninger

3. Symmetrier

4. Punktgrupper og translationsgrupper

5. Tapetgrupper

6. Rummets endelige drejningsgrupper

Ringe og legemer.

-----------------

1. Ringbegrebet: talringe, funktionsringe, matrixringe, karakteristik og

primring, integritetsområde og skævlegeme

2. Ideal og kvotientring: ideal, hovedideal, prim- og maksimalideal,

primidealer i Z, kvotientring

3. Homomorfi og isomorfi: kerne og billede, homomorfisætning,

isomorfisætning, Noether's anden isomorfisætning

4. Brøklegeme: brøker, rationale tal

5. PID og UFD: primelement og irreducibelt element, et PID er et UFD

6. Kvadratiske talringe: Gauss' talring, ikke-faktorielle talringe,

Pell's ligning, den kvadratiske ligning, Euler's sætning,

Pytagoræiske tal

Polynomier.

-----------

1. Polynomiumsringen: grad af polynomium, flere variable

2. Division af polynomier: division med rest, Euklid's algoritme, L[X]

er et PID

3. Rødder: rod i polynomium, algebraens fundamentalsætning, reelle

koefficienter, koefficienter i endelige legemer, (Z/p)^* er cyklisk

4. Rationale koefficienter: Gauss' lemma, Eisensteins irreducibilitetskriterium,

5. Adjunktion af rod: adjunktion af rod, konstruktion af legemer

Lærebøger og andet undervisningsmateriale:

Forudsætninger: Dis1 – Al 1

Undervisningsform: 6 timers forelæsninger og 4 timers øvelser pr. uge

Evalueringsform: En skriftlig og en mundtlig prøve med karakter og ekstern censur

Bemærkninger: