Kursusnavn: Kompleks funktionsteori

Forkortelse: KomAn

Kursusdesigner(e):CB, BD, HPJ

Størrelse: 7.5 ECTS

Placering: 2. eller 3. år, blok 3B

Udbydes: Hvert år

Kompetencebeskrivelse: De studerende skal opnå fornemmelse for at metoder

fra kompleks analyse kan give indsigt i problemer som naturligt hører

under reel analyse. Desuden skal de lære de afgørende forskelle mellem

reel og kompleks analyse.

I termer af Niss'es liste kan følgende kompetencer i hvert tilfælde

siges at være dækkede: Problembehandling, ræsonnement og

repræsentation. Formentlig også hjælpemiddel. Ingen af de 8

kompetencer går nok helt ram forbi.

Emner: Der tages udgangspunkt i de foreliggende noter til 2KF af CB

således at emner deri suppleres. Her følger et uddrag af

indholdsfortegnelsen fra 2KF med nye mener tilføjet til sidst:

Simple egenskaber ved holomorfe funktioner, Cauchy-Riemanns

ligninger

Potenssrækker definerer holomorfe funktioner

Eksponentialfunktionen, de trigonometriske funktioner, de

hyperbolske funktioner og deres potensrækker

Kurveintegraler og stamfunktioner i det komplekse

Cauchys sætninger

Anvendelser af Cauchys sætninger: Udvikling af holomorfe funktioner

i potensrække, harmoniske funktioner, lokal uniform konvergens,

Liouvilles sætning, algebraens fundamentalsætning

Argument, logaritme, potens, herunder lidt om n'te rødder og deres

Riemann flade heuristisk

Nulpunkter og poler, meromorfe funktioner, Laurentrækker

Residuesætningen, Rouch\'es sætning, udregning af bestemte

integraler og sum af uendelige rækker

Maksimumprincippet

Nye: Mobius transformationer

Eksempler på konform afbildning

Gamma-funktionen

Hele funktioner

Iteration, Mandelbrot mængden

Nogle af disse emner kan/skal indgå i projekter

Lærebøger og andet undervisningsmateriale: Udbygning af noterne til 2KF

Forudsætninger: An2

Fortrolighed med komplekse tal og uendelige

rækker, herunder elementært om potensrækker, kontinuitet og

differentiabilitet af funktioner af en og to variable.

Undervisningsform: Forelæsninger (2x2 t.) samt en oplægstime (1 t.),

som kan

vedrøre forskellige ting, fx. give overblik, oplæg til opgaveregning,

gruppearbejde

oplæg til projekter , gruppearbejde med

stoffet (uden tilkaldevagt), opgaveregning/øvelser (4

timer) samt projektarbejde, som igangsættes af lærer.

Evalueringsform: Skriftlig eksamen samt godkendelse af projekter (1

eller 2?). Med karakter og ekstern censur

Undervisningsbelastning:

1. Lærer 1: F 4 + 1 + projektudarbejdelse/hjælp

2. Instruktorer eller andre hjælpelærere: 1 pr. 20 elever: 4 t/u +

tid til at læse (20 eller 40 projekter)/antal elever i gruppe

Bemærkninger: