Løsninger til opgaver 4 og 5 side 71 og opgave 2 side 76, lavet af Þórunn Björk

Opgave 4. Let X be the graph of the real valued function θ(x) = |x|, x ∈ ℝ. Define a functional structure on X by taking f ∈ F (U) ⇔ f is the restriction to U of a C^{∞} function on some open set V in the plane with U = V ∩ X. Show that X with this structure is not diffeomorphic to the real line with usual C^{∞} structure.

Løsning:

\xymatrix{ & ℝ^{2} \ar[ddl]_{f′} \\  & X \ar[u]_{i} \ar[dl]^{f} \ar[r]^{ϕ} & ℝ \ar[l]^{ϕ^{−1}} \ar[dr]^{g} \\ ℝ &  &  & ℝ}

Antag at (X, F_{X}) er diffeomorf med (ℝ, C^{∞}). Så findes kontinuerte ϕ : X → ℝ og ϕ^{−1} : ℝ → X så g ↦ g∘ϕ fører F_{ℝ}(W) ind i F_{X}(ϕ^{−1}(W)) og f ↦ f ∘ϕ^{−1} fører F_{X}(U) ind i F_{ℝ}(ϕ(U)) hvor W er en åben mængde i ℝ og U er en åben mængde i X.

Lad V være en åben omegn i ℝ^{2} omkring (0, 0) og sæt

f′ : V → ℝ; (x, y) ↦ y

f′ er en koordinatfunktion og er C^{∞}. Sæt U = V ∩ X og f = f′|_{U}. Ifølge definition er f ∈ F_{X}(U). Da ϕ^{−1} er en diffeomorfi fra ℝ til X kan ϕ^{−1} skrives som

ϕ^{−1}(x) = (h(x), |h(x)|) ∀x ∈ ℝ

hvor h er en invertibel funktion fra ℝ til ℝ og h og h^{−1} er C^{∞}. Vi kan antage at ϕ^{−1}(0) = (0, 0), dvs. (0, 0) ∈ ϕ(U) og skrive

f ∘ ϕ^{−1}(x) = |h(x)| ∀x ∈ ϕ(U)

Da ϕ er en diffeomorfi og f ∈ F_{X}(U) er f ∘ ϕ^{−1} ∈ F_{ℝ}(ϕ(U)), dvs. |h(x)| er C^{∞} i en omegn af 0. Da h er kontinuert gælder specielt at

lim_{x→0^{+}} |h(x)| = lim_{x→0^{−}} |h(x)|

Men da h lever på X = {(x, |x|)|x ∈ ℝ} og h(0) = 0 så har grænsværdierne forskellige fortegn eller er begge 0, dvs. de er nødt til at være 0 begge to. Men det strider mod at h og h^{−1} er C^{∞}.

Opgave 5. Consider the half open real line X = [0, +∞[. Define a functional structure F_{1} by taking f ∈ F_{1}(U) ⇔ f(x) = g(x^{2}) for some C^{∞} function g on {x|x ∈ U ∨ −x ∈ U}. Define another functional structure F_{2} by taking f ∈ F_{2}(U) ⇔ f is the restriction to U of some C^{∞} function on an open subset of ℝ. Prove F_{1} = F_{2}.

Bemærkning: Her er et eller andet galt. For hvis U =]1, 2[ og f ∈ F_{1}(U) så skulle findes g : {x|x ∈]1, 2[∨ − x ∈]1, 2[} → ℝ således at f(x) = g(x^{2}). Især skulle gælde f(1, 5) = g((1, 5)^{2}) = g(2, 25), men g er ikke defineret på 2, 25. Vi lader g derfor være defineret på \{x|\sqrt{x} ∈ U ∨ \sqrt{−x} ∈ U\}.

Løsning:

\xymatrix{ & ℝ \ar[ddl]_{g} & ℝ \ar[ddr]^{h_{1}} \\  & X \ar[u]_{x^{2}} \ar[dl]^{f} \ar[r]^{ϕ} & X \ar[u]^{i} \ar[dr]_{h} \\ ℝ &  &  & ℝ}

Vi vil finde en diffeomorfi mellem (X, F_{1}) og (X, F_{2}), dvs. en kontinuert bijektiv afbildning ϕ : X → X som opfylder

h ↦ h ∘ ϕ foerer F_{2}(U) ind i F_{1}(ϕ^{−1}(U))

f ↦ f ∘ ϕ^{−1} foerer F_{1}(U) ind i F_{2}(ϕ(U))

for en åben mængde U i X.

Sæt ϕ : X → X; x ↦ x^{2}. Den er kontinuert og bijektiv med inverse ϕ^{−1} : X → X; x ↦ \sqrt{x}. Lad U være en åben mængde i X.

Antag f ∈ F_{1}(U), så er f(x) = g(x^{2}) for en C^{∞} afbildning g : \{x|\sqrt{x} ∈ U ∨ \sqrt{−x} ∈ U\} → ℝ. Bemærk \{x|\sqrt{x} ∈ U ∨ \sqrt{−x} ∈ U\} = ϕ(U) ∪ (−ϕ(U)). Så er

f ∘ ϕ^{−1}(x) = g((ϕ^{−1}(x))^{2}) = g((\sqrt{x})^{2}) = g(x)

for x ∈ ϕ(U), dvs. f ∘ ϕ^{−1} er en restriktion af den C^{∞} funktion g som er definiret på en åben mængde i ℝ. Dvs. f ∘ ϕ^{−1} ∈ F_{2}(U).

Antag h ∈ F_{2}(U), så er h = h_{1}|_{U} hvor h_{1} : U′ → ℝ er en C^{∞} funktion fra en åben mængde U′ i ℝ. Vi kan udvide h_{1} til en C^{∞} funktion h_{2} på U ∪ (−U). Hvis U og −U er disjunkte kan vi sætte

h_{1}(x) = \{ \begin{matrix}h(x) x ∈ U \\ h(−x) x ∈ −U \end{matrix}

Hvis U ∩ (−U) = {0} så kan vi udvide h_{1} med hjælp af Taylor følger så den er uændret på U. Vi sætter

h_{2}(x) = \{ \begin{matrix}h_{1}(x) x ∈ U \\ h_{1}(0) + h′_{1}(0)x + \frac{h′′_{1}(0)}{2!}x^{2} + … x ∈] − ϵ, 0] \end{matrix}

Vi udvider videre til vi har fået h_{2} : U ∪ (−U) → ℝ. Dvs. vi får h_{2} : U ∪ (−U) → ℝ som en C^{∞} funktion.

f ∘ ϕ(x) = h(x^{2}) = h_{2}(x^{2})

∀x ∈ \sqrt{U} = ϕ^{−1}(U) så f ∘ ϕ ∈ F_{1}(ϕ^{−1}(U)).

Dermed har vi vist at (X, F_{1}) og (X, F_{2}) er diffeomorfe, dvs. F_{1} = F_{2}.

Opgave2. Let X be a copy of the real line R an let ϕ : X → R be ϕ(x) = x^{3}. Taking ϕ as a chart, this defines a smooth structure on X. Prove or disprove the following statements:

1. X is diffeomorphic to R;

2. the identity map X → R is a diffeomorphism;

3. ϕ together with the identity map comprise an atlas;

4. on the one-point compactification X^{+} of X, ϕ and ψ give an atlas

where ψ(x) = 1/x, for n ≠ 0, ∞ and ψ(∞) = 0. Løsning: X er diffeomorf med ℝ.

1.

\xymatrix{ & X \ar[dl]_{h} \ar[d]_{ϕ} \ar[r]^{f} & ℝ \ar[dr]^{g} \\ ℝ & ℝ \ar[l]^{h∘ϕ^{−1}} &  & ℝ}

Sæt f : X → ℝ; x ↦ x^{3}. f er bijektive og kontinuert med f^{−1}(x) = \sqrt[3]{x}. For at vise f er en diffeomorfi skal vi vise at

g ↦ g ∘ f foerer F_{ℝ}(U) ind i F_{X}(f^{−1}(U))

og

h ↦ h ∘ f^{−1} foerer F_{X}(V) ind i F_{ℝ}(f(V))

hvor U er en åben mængde i ℝ og V er en åben mængde i X.

Lad g ∈ F_{ℝ}(U) dvs. g : U → ℝ er C^{∞}. Vi vil vise at g ∘ f ∈ F_{X}(f^{−1}(U)), dvs. at g ∘ f ∘ ϕ^{−1} : f^{−1}(U) → ℝ er C^{∞}. Men g ∘ f ∘ ϕ^{−1} = g (da f ∘ ϕ^{−1} = id) som er C^{∞}.

Lad h ∈ F_{X}(V), dvs. h ∘ ϕ^{−1} : V → ℝ er C^{∞}. Da er h ∘ f^{−1} = h ∘ ϕ^{−1} ∘ ϕ ∘ f^{−1} også C^{∞} da h ∘ ϕ^{−1} er C^{∞} og ϕ ∘ f^{−1} = id.

Dermed er vist at f er en diffeomorfi så X og ℝ er diffeomorfe.

2. id : X → ℝ er ikke en diffeomorfi. id_{ℝ} ∈ F_{ℝ}(U). Hvis id : X → ℝ var en diffeomorfi skulle id : X → ℝ (dvs. id_{X→ℝ} ∘ id_{ℝ→ℝ} ) også være indeholdt i F_{X}(U) dvs. id ∘ ϕ^{−1} skulle være C^{∞}. Men id ∘ ϕ^{−1}(x) = \sqrt[3]{x} som ikke er C^{∞} i 0.

3. {ϕ, id} udgør ikke en atlas. Hvis {ϕ, id} var en atlas skulle id∘ϕ^{−1} være C^{∞}. Men id ∘ ϕ^{−1}(x) = \sqrt[3]{x} og den er ikke C^{∞} i 0.

4. {ϕ, ψ} udgør en atlas. Vi viser at ϕ og ψ opfylder 1)-3) i definition 2.1 side 68-69.

(a) Vi har at ϕ er et kort men skal vise at ψ er et kort. Vi bæmærker at

ψ : X^{+}\{0} → R; x ↦ 1/x (x ≠ ∞), ∞ ↦ 0

ψ^{−1} : R → X^{+}\{0}; x ↦ 1/x (x ≠ 0), 0 ↦ ∞

Det er klart at for åbne mængder U i ℝ som ikke indeholder 0 er ψ^{−1}(U) en åben mængde i X^{+}\{0}. Til at vise at ϕ er kontinuert er derfor nok at vise at ψ^{−1}(]a, b[) er en åben mængde i X^{+}\{0} hvor ]a, b[ er en åben mængde i ℝ omkring 0.

ψ^{−1}(]a, b[) =] − ∞, 1/a[ ∪ ]1/b, ∞[ ∪ {∞}

er åben i X^{+} da X\ψ^{−1}(]a, b[) = [1/a, 1/b] er kompakt, og dermed åben i X^{+}\{0} med delrums topologien. Derfor er ψ kontinuert.

Det er klart at for en åben mængde U i X^{+}\{0} som ikke indeholder ∞ er ϕ(U) åben i ℝ. Til at vise at ψ^{−1} er kontinuert er nok at vise at ψ(] − ∞, a[ ∪ ]b, +∞[ ∪ {∞}) er en åben mængde i ℝ.

ψ(] − ∞, a[ ∪ ]b, +∞[ ∪ {∞}) =]1/a, 1/b[

som er åben i ℝ. Så ψ^{−1} er kontinuert.

Dermed er vist at ψ er et kort.

(b) Da ψ : X^{+}\{0} og ϕ : X^{+}\{∞} = ℝ er det klart at ethvert punkt i X^{+} er indeholdt i domainet for et eller andet kort.

(c) Vi kigger på koordinatskifterne.

ψ ∘ ϕ^{−1} : X^{+}\\{0, ∞\} → ℝ; x ↦ \frac{1}{\sqrt[3]{x}}

som er C^{∞} på sit definitionsmængde.

ϕ ∘ ψ^{−1} : X^{+}\\{0, ∞\} → ℝ; x ↦ \frac{1}{x^{3}}

som er C^{∞} på sit definitionsmængde.

Da ϕ og ψ opfylder 1)-3) i definitionen er {ϕ, ψ} en atlas for X^{+}.