Om de reelle tal — supplerende noter til 2AN

1 Supremum og infimum

I disse noter tænker vi os, at vi har fået de reelle tal forærende, og at de reelle tal er et såkaldt ordnet legeme med supremumsegenskaben (se Aksiom 1.2 nedenfor). Man kan faktisk bevise, at de reelle tal med disse egenskaber findes, f.eks. ved at tage udgangspunkt i de naturlige tal, som man så må antage, at vi har fået forærende...

At ℝ er et ordnet legeme vil sige, at ℝ er udstyret med regneoperationerne + og · samt en ordning ≤, og at der gælder en lang stribe af (naturlige og velkendte) aksiomer herfor.

Definition 1.1 (Begrænsede delmængder af ℝ) En delmængde A af de reelle tal ℝ kaldes opad begrænset, hvis der findes et reelt tal s så x ≤ s for alle x ∈ A, og s kaldes i givet fald en øvre grænse eller en majorant for A. Tilsvarende kaldes A nedad begrænset, hvis der findes et reelt tal m så m ≤ x for alle x ∈ A, og tallet m kaldes da en nedre grænse eller en minorant for A. Hvis A både er opad og nedad begrænset, da kaldes A begrænset.

Ovenstående definition af begrænsethed stemmer overens med definition fra Metriske Rum (s. 1.7 øverst), hvorefter A kaldes begrænset hvis der findes en kugle K(a, r) så A ⊆ K(a, r) = ]a − r, a + r [. For hvis A ⊆ ]a − r, a + r[ , da gælder a − r ≤ x ≤ a + r for alle x ∈ A, hvilket gør A nedad og opad begrænset. Omvendt, hvis der findes reelle tal m og s så m ≤ x ≤ s for alle x ∈ A, da er A ⊆ K(a, r) når a = (m + s)/2 og r > (s − m)/2.

Aksiom 1.2 (Supremum) Enhver ikke-tom opad begrænset delmængde A af ℝ har en mindste øvre grænse som benævnes sup A. Med andre ord, sup A er et reelt tal som opfylder

(i) x ≤ sup A for alle x ∈ A, og

(ii) hvis s er et reelt tal, som opfylder x ≤ s for alle x ∈ A, så er sup A ≤ s.

Det følger af Supremum Aksiomet, at enhver ikke-tom nedad begrænset delmængde A af ℝ har en største nedre grænse, som benævnes inf A; og at inf A er et reelt tal, som opfylder:

(i) inf A ≤ x for alle x ∈ A, og

(ii) hvis m er et reelt tal, som opfylder m ≤ x for alle x ∈ A, så er m ≤ inf A.

Hvis A ikke er opad begrænset, da sættes sup A = ∞, og tilsvarende sættes inf A = −∞, hvis A ikke er nedad begrænset. Endelig sætter man sup ∅ = −∞ og inf ∅ = ∞.

Eksempel 1.3 Der gælder

sup [a, b] = sup [a, b[ = b, sup ℤ = ∞, inf [a, b] = inf ]a, b] = a, inf ℤ = −∞.

Bemærkning 1.4 Det fremgår af Eksempel 1.3, at sup A og inf A ikke altid tilhører A. Vi har derimod følgende trøstepræmie: Hvis A er en ikke-tom opad begrænset mængde, da kan man til ethvert ε > 0 finde x ∈ A så

sup A − ε < x ≤ sup A.  (1.1)

Benyt nemlig egenskab (ii) i Aksiom 1.2 til at indse, at der ikke kan gælde x ≤ sup A−ε for alle x ∈ A, og at der derfor findes x ∈ A, så sup A − ε < x. Det følger af (i) i Aksiom 1.2, at x ≤ sup A.

Tilsvarende, hvis A er nedad begrænset, så findes til hvert ε > 0 et element x ∈ A så

inf A ≤ x < inf A + ε.  (1.2)

En følge (x_{n})_{n=1}^{∞} i ℝ siges at være voksende hvis x_{1} ≤ x_{2} ≤ x_{3} ≤ ⋯, og den siges at være aftagende, hvis x_{1} ≥ x_{2} ≥ x_{3} ≥ · · ·. Til enhver følge (x_{n})_{n=1}^{∞} kan vi se på den tilhørende delmængde {x_{1}, x_{2}, x_{3}, … } af ℝ. Denne mængde indholder mindre information end følgen selv, f.eks. er mængden af elementer i følgerne

(1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, …), (1, 2, 2, 2, 2, 2, …), (2, 1, 1, 1, 1, 1, …)

alle tre tilfælde lig med {1, 2}.

Følgen (x_{n})_{n=1}^{∞} siges at være opad begrænset, nedad begrænset, hhv. begrænset hvis den tilhørende mængde {x_{1}, x_{2}, x_{3}, … } har denne egenskab.

De tre næste resultater er kendt fra Matematik 1.

Sætning 1.5 Enhver opad begrænset voksende følge (x_{n})_{n=1}^{∞} af reelle tal er konvergent. Tilsvarende er enhver nedad begrænset aftagende følge (x_{n})_{n=1}^{∞} af reelle tal konvergent.

Bevis: Mængden {x_{n} | n ∈ ℕ} er pr. antagelse opad begrænset og har derfor et supremum, så det reelle tal a = sup{x_{n} | n ∈ ℕ} findes. Vi viser, at lim_{n→∞} x_{n} = a. Lad ε > 0 være givet. Ifølge (1.1) findes et naturligt tal N så a − ε < x_{N} ≤ a. Da følgen er voksende, har vi a − ε < x_{N} ≤ x_{n} ≤ a for alle n ≥ N, og dermed |x_{n} − a| < ε for alle n ≥ N. Dette viser lim_{n→∞} x_{n} = a.

Beviset for den anden påstand er analogt. (Alternativt kan denne påstand indses ved at benytte første del af beviset på den voksende følge (−x_{n})_{n=1}^{∞}). □

Sætning 1.6 (Arkimedes’ princip) Til et hvert reelt tal x findes et helt tal n således at x ≤ n.

Denne sætning kan vises ved at benytte Supremum Aksiomet. Som korollar hertil har vi bl.a.:

Korollar 1.7 For ethvert par af reelle tal a < b findes et rationalt tal r i det åbne interval ] a, b [ .

2 Cauchyfølger i metriske rum

Vi samler her nogle begreber, som tages op i §5 i “Metriske Rum”.

Definition 2.1 (Cauchyfølger) En følge (x_{n})_{n=1}^{∞} i et metrisk rum (M, d) siges at være en Cauchyfølge hvis

∀ε > 0 ∃N ∈ ℕ ∀n, m ∈ ℕ : n, m ≥ N ⟹ d(x_{n}, x_{m}) < ε.

Det vises nedenfor, at alle konvergente følger er Cauchy, og at det modsatte ikke (altid) gælder. I en perfekt verden ville Cauchyfølger altid være konvergente, men det metriske rum M kan i nogen tilfælde være mindre perfekt ved at have “huller”, så den forventede grænseværdi for visse Cauchyfølger mangler.

Sætning 2.2 Enhver konvergent følge (x_{n})_{n=1}^{∞} i et metrisk rum M er en Cauchyfølge.

Bevis: Antag (x_{n})_{n=1}^{∞} er konvergent med grænsepunkt a ∈ M. Lad ε > 0. Find N ∈ ℕ så |x_{n} − a| < ε/2 for alle n ≥ N. Da har vi

n, m ≥ N ⟹ |x_{n} − x_{m}| = |x_{n} − a + a − x_{m}| ≤ |x_{n} − a| + |a − x_{m}| < ε/2 + ε/2 = ε,

hvilket viser, at (x_{n})_{n=1}^{∞} er en Cauchyfølge. □

Eksempel 2.3 De metriske rum ]0, 1] og ℚ med den sædvanlige metrik d har ikkekonvergente Cauchyfølger. I rummet ]0, 1] er følgen (1/n)_{n=1}^{∞} Cauchy men ikke konvergent (da 0 ∉ ]0, 1]).

Man kan finde en følge (x_{n})_{n=1}^{∞} af rationale tal, så x_{n} → \sqrt{2}. F.eks. kan man vælge x_{n} i intervallet ]\sqrt{2} − 1/n, \sqrt{2} + 1/n[ , jvf. Korollar 1.7. Men så er (x_{n})_{n=1}^{∞} en Cauchyfølge i ℚ som ikke er konvergent (i ℚ).

Lemma 2.4 Enhver Cauchyfølge i et metrisk rum er begrænset.

Bevis: Lad (x_{n})_{n=1}^{∞} være en Cauchyfølge. Der skal findes en kugle K(a, r) i M, så x_{n} ∈ K(a, r) for alle n ∈ ℕ. Benyt Cauchy egenskaben til at finde N ∈ ℕ så d(x_{n}, x_{m}) < 1 for alle n, m ≥ N. Sæt a = x_{1} og sæt

r = 1 + max{d(x_{2}, x_{1}), d(x_{3}, x_{1}), …, d(x_{N−1}, x_{1}), d(x_{N}, x_{1})} ∈ ℝ.

Da er d(x_{n}, x_{1}) ≤ r − 1 < r for n = 2, 3, …, N − 1; og for n ≥ N har vi

d(x_{n}, x_{1}) ≤ d(x_{n}, x_{N}) + d(x_{N}, x_{1}) < 1 + d(x_{N}, x_{1}) ≤ r.

Alt ialt er x_{n} ∈ K(a, r) for alle n ∈ ℕ. □

Definition 2.5 (Fortætningspunkt) Lad (M, d) være et metrisk rum og lad (x_{n})_{n=1}^{∞} være en følge i M. Et punkt a ∈ M siges at være et fortætningspunkt for (x_{n})_{n=1}^{∞} hvis mængden {n ∈ ℕ | x_{n} ∈ K(a, r)} er uendelig for alle r > 0.

Det kan vises, at hvis a er fortætningspunkt for mængden {x_{1}, x_{2}, x_{3}, … }, så er a fortætningspunkt for følgen (x_{n})_{n=1}^{∞}. Det modsatte gælder ikke: f.eks. er både 0 og 1 fortætningspunkter for følgen (0, 1, 0, 1, 0, 1, …), mens mængden {0, 1} ikke har noget fortætningspunkt.

Husk at udsagnene x_{n} ∈ K(a, r) og d(x_{n}, a) < r er ækvivalente.

Sætning 2.6 Lad (x_{n})_{n=1}^{∞} være en følge i et metrisk rum M og lad a ∈ M. Da er nedenstående tre betingelser ækvivalente:

(i) a er et fortætningspunkt for følgen (x_{n})_{n=1}^{∞}.

(ii) ∀r > 0 ∀N ∈ ℕ ∃n ≥ N : x_{n} ∈ K(a, r).

(iii) Der findes en delfølge (x_{n_{k}})_{k=1}^{∞} af (x_{n})_{n=1}^{∞} så x_{n_{k}} → a for k → ∞.

Bevis: (i) ⇒ (ii). Antag a er fortætningspunkt for (x_{n})_{n=1}^{∞}. Lad r > 0 og N ∈ ℕ være givet. Da gælder

{n ∈ ℕ | x_{n} ∈ K(a, r)} ⊈ {1, 2, …, N − 1},

da mængden til venstre pr. antagelse er uendelig. Derfor findes n ≥ N i mængden til venstre, og for dette n har vi x_{n} ∈ K(a, r).

(ii) ⇒ (iii). Vi benytter (ii) til at finde n_{1} < n_{2} < n_{3} < ⋯ så d(x_{n_{k}}, a) < 1/k: Find først n_{1} ≥ 1 så d(x_{n_{1}}, a) < 1. Herefter, når n_{1}, n_{2}, …, n_{k−1} er fundet, så brug (ii) igen til at finde n_{k} ≥ n_{k−1} + 1 opfyldende d(x_{n_{k}}, a) < 1/k. Da vil x_{n_{k}} → a for k → ∞ som ønsket.

(iii) ⇒ (i). Antag der findes en delfølge (x_{n_{k}})_{k=1}^{∞} så x_{n_{k}} → a for k → ∞. Lad r > 0. Da findes K ∈ ℕ så x_{n_{k}} ∈ K(a, r) for alle k ≥ K. Men så har vi

{n_{K}, n_{K+1}, n_{K+2}, … } ⊆ {n ∈ ℕ | x_{n} ∈ K(a, r)},

hvilket viser, at mængden på højre hånd er uendelig, og dermed, at a er et fortætningspunkt. □

Grænsepunktet for en konvergent følge er et fortætningspunkt og det eneste fortætningspunkt for følgen. Cauchyfølger er konvergente hvis og kun hvis de har et fortætningspunkt:

Lemma 2.7 Hvis a er et fortætningspunkt for en Cauchyfølge (x_{n})_{n=1}^{∞} så vil x_{n} → a for n → ∞.

Bevis: Lad ε > 0. Find N ∈ ℕ så d(x_{n}, x_{m}) < ε/2 for alle n ≥ N. Benyt nu Sætning 2.6 (ii) til at finde n_{0} ≥ N så d(x_{n_{0}}, a) < ε/2. For alle n ≥ N gælder

d(x_{n}, a) ≤ d(x_{n}, x_{n_{0}}) + d(x_{n_{0}}, a) < ε/2 + ε/2 = ε,

og dette viser, at lim_{n→∞} x_{n} = a. □

3 Limes superior og limes inferior

Til enhver reel talfølge (x_{n})_{n=1}^{∞} knyttes størrelserne limes superior, lim sup_{n→∞} x_{n}, og limes inferior, lim inf_{n→∞} x_{n}, (som enten er reelle tal, eller som er lig med −∞ eller ∞).

Betragt størrelserne

t_{n} = inf_{k≥n} x_{k} = inf{x_{n}, x_{n+1}, x_{n+2}, … }, s_{n} = sup_{k≥n} x_{k} = sup{x_{n}, x_{n+1}, x_{n+2}, … }.

Bemærk at t_{n} og s_{n} tilhører ℝ ∪ {−∞, ∞} og at

t_{1} ≤ t_{2} ≤ t_{3} ≤ ⋯ ≤ s_{3} ≤ s_{2} ≤ s_{1}.  (3.1)

(At (t_{n})_{n=1}^{∞} er voksende og (s_{n})_{n=1}^{∞} er aftagende skyldes, at vi tager infimum hhv. supremum over mindre og mindre mængder; og for n, m ∈ ℕ har vi t_{n} ≤ x_{k} ≤ s_{m} for alle k ≥ max{n, m}.) Definer

lim sup_{n→∞} x_{n} =^{def} inf_{n∈ℕ}s_{n} = inf_{n∈ℕ} sup_{k≥n} x_{k},  lim inf_{n→∞} x_{n} =^{def} sup_{n∈ℕ}t_{n} = sup_{n∈ℕ} inf_{k≥n} x_{k}.  (3.2)

Da følgerne (s_{n})_{n=1}^{∞} og (t_{n})_{n=1}^{∞} er monotone, er de faktisk konvergente, hvis de tilmed er begrænsede (Sætning 1.5), og i det tilfælde har vi

lim sup_{n→∞} x_{n} = lim_{n→∞} s_{n} = lim_{n→∞} sup_{k≥n} x_{k},  lim inf_{n→∞} x_{n} = lim_{n→∞} t_{n} = lim_{n→∞} inf_{k≥n} x_{k}.

Nogle gange benyttes den kortere skrivemåde lim sup x_{n} hhv. lim inf x_{n}.

Eksempel 3.1

(1). Lad x_{n} = n. Her er s_{n} = sup{x_{k} | k ≥ n} = ∞ og t_{n} = inf{x_{k} | k ≥ n} = n for alle n, og altså er lim sup_{n→∞} x_{n} = ∞ og lim inf_{n→∞} x_{n} = sup_{n∈ℕ} n = ∞.

(2). Lad x_{n} = 1/n. Her er s_{n} = sup{x_{k} | k ≥ n} = 1/n og t_{n} = inf{x_{k} | k ≥ n} = 0, og dermed bliver lim sup_{n→∞} 1/n = inf_{n∈ℕ} 1/n = 0 og lim inf_{n→∞} 1/n = sup_{n∈ℕ} 0 = 0.

(3). Lad x_{n} = (−1)^{n}. Her er s_{n} = sup{x_{k} | k ≥ n} = 1 og t_{n} = inf{x_{k} | k ≥ n} = −1 for alle n, og dermed har vi lim sup_{n→∞} x_{n} = 1 og lim inf_{n→∞} x_{n} = −1.

(4). Lad x_{n} = −n. Her er s_{n} = sup{x_{k} | k ≥ n} = −n og t_{n} = inf{x_{k} | k ≥ n} = −∞, og dermed er lim sup_{n→∞} x_{n} = inf_{n∈ℕ}(−n) = −∞ og lim inf_{n→∞} x_{n} = −∞.

Det følger umiddelbart af (3.1) og (3.2) at

t_{1} ≤ t_{2} ≤ t_{3} ≤ ⋯ ≤ lim inf_{n→∞} x_{n} ≤ lim sup_{n→∞} x_{n} ≤ ⋯ ≤ s_{3} ≤ s_{2} ≤ s_{1}  (3.3)

for alle reelle talfølger (x_{n})_{n=1}^{∞}.

Theorem 3.2 En reel talfølge (x_{n})_{n=1}^{∞} er konvergent med grænseværdi a ∈ ℝ hvis og kun hvis

lim inf_{n→∞} x_{n} = lim sup_{n→∞} x_{n} = a.

Bevis: Som før sættes s_{n} = sup_{k≥n} x_{k} og t_{n} = inf_{k≥n} x_{k}.

Antag først, at (x_{n})_{n=1}^{∞} er konvergent med grænseværdi a ∈ ℝ. Til et vilkårligt ε > 0 findes N så |x_{n} − a| < ε for alle n ≥ N. Dermed er a − ε < x_{n} < a + ε for alle n ≥ N, hvilket sammen med (3.3) implicerer

a − ε ≤ t_{N} ≤ lim inf_{n→∞} x_{n} ≤ lim sup_{n→∞} x_{n} ≤ s_{N} ≤ a + ε.

Specielt har vi | lim inf x_{n} − a| ≤ ε og | lim sup x_{n} − a| ≤ ε. Da ε > 0 var vilkårlig, må lim sup x_{n} = lim inf x_{n} = a.

Vi skal nu vise, at lighed af limes inferior og limes superior medfører konvergens. Lad ε > 0 være givet. Ifølge antagelse har vi a = sup_{n∈ℕ} t_{n} = inf_{n∈ℕ} s_{n}. Vi kan derfor benytte (1.1) og (1.2) til at finde N_{1} og N_{2} i ℕ så a − ε < t_{N_{1}} ≤ a og a ≤ s_{N_{2}} < a + ε. Sæt N = max{N_{1}, N_{2}}. For alle n ≥ N gælder t_{N_{1}} ≤ x_{n} ≤ s_{N_{2}}, og dermed

a − ε < t_{N_{1}} ≤ x_{n} ≤ s_{N_{2}} < a + ε,

hvilket giver |x_{n} − a| < ε. □

De næste to resultater giver nyttige beskrivelser af lim inf og lim sup.

Lemma 3.3 Hvis (x_{n})_{n=1}^{∞} er en begrænset talfølge, da er lim sup x_{n} og lim inf x_{n} begge reelle tal (og altså ikke −∞ eller ∞). Mere specifikt, hvis a ≤ x_{n} ≤ b for alle n ∈ ℕ, da er

a ≤ lim inf_{n→∞} x_{n} ≤ lim sup_{n→∞} x_{n} ≤ b.  (3.4)

Bevis: Hvis (x_{n})_{n=1}^{∞} er begrænset, så findes reelle tal a og b så a ≤ x_{n} ≤ b for alle n. Vi skal derfor blot vise, at denne betingelse medfører, at (3.4) er opfyldt. Men hvis a ≤ x_{n} ≤ b, så er

a ≤ t_{n} = inf_{k≥n} x_{k} ≤ b, a ≤ s_{n} = sup_{k≥n} x_{k} ≤ b,

for alle n, hvilket videre medfører

lim inf_{n→∞} x_{n} = sup_{n∈ℕ}t_{n} ∈ [a, b],  lim sup_{n→∞} x_{n} = inf_{n∈ℕ}s_{n} ∈ [a, b].
□

Sætning 3.4 Lad (x_{n})_{n=1}^{∞} være en reel talfølge.

(i) Antag a = lim sup x_{n} er et reelt tal. Da gælder for ethvert ε > 0 at

{n ∈ ℕ | |x_{n} − a| < ε} er uendelig og {n ∈ ℕ | x_{n} ≥ a + ε} er endelig.

(ii) Antag b = lim inf x_{n} er et reelt tal. Da gælder for ethvert ε > 0 at

{n ∈ ℕ | |x_{n} − b| < ε} er uendelig og {n ∈ ℕ | x_{n} ≤ b − ε} er endelig.

Bevis: (i). Sæt s_{n} = sup_{k≥n} x_{k}, og antag a = lim sup x_{n} = inf_{n∈ℕ} s_{n} er et reelt tal. Lad ε > 0 være givet. Benyt (1.2) til at finde N ∈ ℕ så a ≤ s_{N} < a + ε. Nu er x_{n} ≤ s_{N} < a + ε for alle n ≥ N, hvilket viser

{n ∈ ℕ | x_{n} ≥ a + ε} ⊆ {1, 2, …, N − 1},

og dermed, at mængden på venstre hånd er endelig.

Antag, for at nå en modstrid, at {n ∈ ℕ | |x_{n} − a| < ε} er endelig. Så er også

{n ∈ ℕ | x_{n} > a − ε} = {n ∈ ℕ | |x_{n} − a| < ε} ∪ {n ∈ ℕ | x_{n} ≥ a + ε}

endelig, hvilket giver

M =^{def} max{n ∈ ℕ | x_{n} > a − ε} < ∞.

For n > M gælder x_{n} ≤ a − ε, og dermed a ≤ s_{M+1} ≤ a − ε, hvilket er en modstrid. Vi kan altså konkludere, at {n ∈ ℕ | |x_{n} − a| < ε} er uendelig.

Påstanden vedrørende lim inf kan vises på en tilsvarende måde. □

I tilfældet, hvor lim sup x_{n} og lim inf x_{n} begge er reelle tal (og forskellige fra hinanden), kan resultatet fra Sætning 3.4 sammenfattes i tegningen:

Det følger umiddelbart af Sætning 3.4 (og Definition 2.5), at lim sup x_{n} og lim inf x_{n} er fortætningspunkter for følgen (x_{n})_{n=1}^{∞} (når lim sup x_{n} hhv. lim inf x_{n} er reelle tal). Kombineres dette med Sætning 2.6 får vi:

Korollar 3.5 Lad (x_{n})_{n=1}^{∞} være en reel talfølge. Hvis lim sup_{n→∞} x_{n} er et reelt tal, så findes en delfølge (x_{n_{k}})_{k=1}^{∞} så

x_{n_{k}} → lim sup_{n→∞} x_{n} for k → ∞.

Der gælder tilsvarende, at lim inf_{n→∞} x_{n} er grænsepunkt for en delfølge af (x_{n})_{n=1}^{∞} hvis lim inf_{n→∞} x_{n} er et reelt tal.

Det indses endvidere fra Sætning 3.4, at lim sup x_{n} er det største fortætningspunkt for (x_{n})_{n=1}^{∞}, og lim inf x_{n} er det mindste fortætningspunkt.

Theorem 3.6 (Bolzano–Weierstrass) Enhver talfølge i et lukket begrænset interval [a, b] har et fortætningspunkt.

Bevis: Hvis (x_{n})_{n=1}^{∞} er en følge i [a, b], så er følgen begrænset, og lim sup x_{n} er et reelt tal ifølge Lemma 3.3. Vi kan nu bruge Korollar 3.5 og (og Sætning 2.6) til at indse, at lim sup x_{n} er et fortætningspunkt for (x_{n})_{n=1}^{∞}. □

Theorem 3.7 (Det almindelige konvergensprincip) Enhver Cauchyfølge i ℝ er konvergent.

Bevis: Lad (x_{n})_{n=1}^{∞} være en Cauchyfølge i ℝ. Lemma 2.4 fortæller, at (x_{n})_{n=1}^{∞} er begrænset, og vi kan derfor slutte af Theorem 3.6, at (x_{n})_{n=1}^{∞} har et fortætningspunkt c ∈ ℝ (som kan tages til at være lim sup x_{n}). Det følger nu af Lemma 2.7, at (x_{n})_{n=1}^{∞} er konvergent med grænsepunkt c. □

4 Opgaver

Opgave 1. Vis, at lim sup_{n→∞}(−x_{n}) = − lim inf_{n→∞} x_{n} for enhver talfølge (x_{n})_{n=1}^{∞}.

Opgave 2. Find lim sup og lim inf for følgerne ((−1)^{n}n^{2})_{n=1}^{∞} og ( cos(n\frac{π}{2}))_{n=1}^{∞}.

Opgave 3. For hver af nedenstående følger ønskes sup, inf, lim sup, og lim inf bestemt. Endvidere skal der i de tilfælde hvor lim sup hhv. lim inf er et reelt tal (altså ikke ∞ hhv. −∞) findes delfølger af de givne følger, som konvergerer mod lim sup hhv. lim inf.

(i) 42, 7, 7, 7, 7, …,

(ii) 1, −1, 1, −1, 1, −1, …,

(iii) 2, −1, 3/2, −1/2, 4/3, −1/3, 5/4, −1/4, …,

(iv) 0, 1, 0, 2, 0, 3, …,

(v) 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …,

(vi) 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 2/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6, . . ..

Opgave 4. Find samtlige fortætningspunkter for følgerne i Opgave 3.

Opgave 5. Konstruer en reel talfølge (x_{n})_{n=1}^{∞} som opfylder

sup_{n∈ℕ}x_{n} = 25,  lim sup_{n→∞} x_{n} = 5,  lim inf_{n→∞} x_{n} = −∞.