Matematik 2AN

Opgave 1 fra eksamenen juni 1999

Christian Aastrup 28. november 2001

1 Metriske rum

Jeg betragter det metriske rum (ℕ, d), hvor d : ℕ × ℕ → [0, ∞[ er givet ved d(x, y) = |2^{−x} − 2^{−y}|

1.1 d er en metrik på ℕ

Hvis d er en metrik på ℕ, så skal den opfylde følgende tre ting for vilkårlige x, y, z ∈ ℕ

1.1.1 M1 d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y Jeg har, at | · | i d(x, y) bevirker, at d(x, y) ≥ 0. Hvis x = y, så er det klart, at d(x, y) = 0, og hvis

d(x, y) = 0
⇓
|2^{−x} − 2^{−y}| = 0
⇓
2^{−x} = 2^{−y}
⇓
x = y

1.1.2 M2 d(x, y) = d(y, x) Dette kan indses, idet

|2^{−x} − 2^{−y}| = |2^{−y} − 2^{−x}|
1.1.3 M3  d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)  (Trekantsuligheden)

Jeg betragter venstre side af uligheden (for vilkårlige x, y, z ∈ ℕ), mens jeg husker, at | · | opfylder trekantsuligheden

d(x, y) = |2^{−x} − 2^{−y}|
= |2^{−x} − 2^{−z} + 2^{−z} − 2^{−y}|
≤ |2^{−x} − 2^{−z}| + |2^{−z} − 2^{−y}| = d(x, z) + d(z, y)

1.2 En følge i ℕ

Jeg betragter følgen (x_{n})_{n∈ℕ} givet ved x_{n} = n^{2}. Jeg vil vise, at følgen (x_{n})_{n∈ℕ} er en Cauchyfølge i (ℕ, d), altså

∀ε > 0∃N ∈ ℕ : n, m ≥ N ⇒ d(x_{n}, x_{m}) < ε

Afstanden mellem vilkårlige x_{n} og x_{m} i følgen kan vuderes

d(x_{n}, x_{m}) = |2^{−x_{n}} − 2^{−x_{m}}| = |2^{−n^{2}} − 2^{−m^{2}}| ≤ 2^{−n^{2}} + 2^{−m^{2}}

Idet lim_{k→∞} 2^{−k^{2}} = 0, har jeg

∀ε > 0∃N ∈ ℕ : k ≥ N ⇒ 2^{−k^{2}} < \frac{ε}{2}
⇓
∀ε > 0∃N ∈ ℕ : n, m ≥ N ⇒ d(x_{n}, x_{m}) ≤ 2^{−n^{2}} + 2^{−m^{2}} < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

Følgen er Cauchy. Jeg betragter betingelsen for, at (x_{n})_{n∈ℕ} er konvergent med grænseværdi a ∈ ℕ

∀ε > 0∃N ∈ ℕ : n ≥ N ⇒ d(x_{n}, a) = |2^{−n^{2}} − 2^{−a}| < ε  (1)

Idet lim_{n→∞} 2^{−n^{2}} = 0 har jeg

∀ε > 0∃N ∈ ℕ : n ≥ N ⇒ |2^{−n^{2}} − 0| < ε

Derfor kan det ses, at det a ∈ ℕ, der opfylder, at 2^{−a} = 0, er det a som opfylder (1). Men et sådant a ∈ ℕ findes ikke, og følgen (x_{n})_{n∈ℕ} kan derfor ikke være konvergent.

1.3 Kugler i (ℕ, d)

Jeg lader x ∈ ℕ, r > 0 og den åbne kugle med centrum x og radius r være givet ved

K(x, r) = {y ∈ ℕ | d(x, y) < r}

Jeg vil vise, at der for alle x ∈ ℕ gælder

K(x, 2^{−(x+1)}) = {x}

altså

∀y ∈ ℕ \ {x} : d(x, y) ≥ 2^{−(x+1)}

Der gælder for x, y ∈ ℕ hvor x ≠ y, at

\frac{d(x, y)}{2^{−(x+1)}} = \frac{|2^{−x} − 2^{−y}|}{2^{−(x+1)}}
= |\frac{2^{−x} − 2^{−y}}{2^{−(x+1)}} |
= |2^{−x+(x+1)} − 2^{−y+(x+1)}|
= |2 − 2^{x−y+1}|

For x, y ∈ ℕ og x ≠ y kan 2^{x−y+1} antage værdier i mængden

{…, 2^{−2}, 2^{−1}, 2^{0}, 2^{2}, 2^{3}, …}

hvilket medfører

|2 − 2^{x−y+1}| ≥ |2 − 1| = 1

⇓

d(x, y) ≥ 2^{−(x+1)}

1.4 Vilkårlige delmængder A ⊆ ℕ er åbne mht. d

Idet jeg har for alle x i ℕ, at

K(x, 2^{−(x+1)}) = {x}

så er alle {x} i ℕ åbne mængder, idet alle åbne kugler er åbne. En vilkårlig delmængde A af ℕ har formen

A = ⋃_{x∈A}{x}

Idet alle {x} er åbne, giver Sætning 2.6 mig at A er åben.

Alternativt kan man sige, at (ℕ, d) er ækvivalent med (ℕ, d̃), hvor d̃ er den diskrete metrik, idet ℕ er en diskret mængde^{1}. Alle delmængder under den diskrete metrik er åbne, og ækvivalente metrikker fastlægger samme system af åbnede mængder, så derfor må alle delmængder af ℕ under d må også være åbne.

1Det er blevet afsløret ved en øvelsestime