Matematik 2AN

Opgave 2 fra eksamenen juni 1999

Christian Aastrup

12. december 2001

1 Hilbertrum

Jeg lader H være et uendeligtdimensionalt Hilbertrum, og (e_{n})_{n∈ℕ} være en ortonormalbasis. Ved

X = \overline{span \{e_{2n}|n ∈ ℕ\}}
Y = \overline{span \{e_{2n−1}|n ∈ ℕ\}}

defineres to afsluttede underrum af H.

1.1 En vektor i H

Jeg vil vise, at

x = ∑_{n=1}^{∞} n^{− \frac{3}{4}} e_{n}

er en vektor i H, altså vise at rækken er konvergent i H. Jeg har, at (n^{− \frac{3}{4}} e_{n})_{n∈ℕ} er et ortogonalt sæt, idet

∀ n, m ∈ ℕ : n ≠ m ⇒ ⟨n^{− \frac{3}{4}} e_{n}, m^{− \frac{3}{4}} m_{n}⟩ = (nm)^{− \frac{3}{4}} ⟨e_{n}, e_{m}⟩ = 0

Sætning 1.10 giver mig nu, at x konvergerer i H, altså x ∈ H hvis

∑_{n=1}^{∞} ∥n^{− \frac{3}{4}} e_{n}∥^{2} < ∞  (1)

Jeg beregner

∑_{n=1}^{∞} ∥n^{− \frac{3}{4}} e_{n}∥^{2} = ∑_{n=1}^{∞} |n^{− \frac{3}{4}} |^{2} ∥e_{n}∥^{2}

= ∑_{n=1}^{∞} |n^{− \frac{3}{4}} |^{2}

= ∑_{n=1}^{∞} n^{− \frac{3}{2}}  (2)

idet ∥e_{n}∥ = 1 for alle n. Jeg kan benytte Integralkriteriet til at afgøre om rækken (2) er konvergent, idet rækken klart er positiv og aftagende. Jeg betragter

∫_{1}^{∞} n^{− \frac{3}{2}} dn = 2 < ∞

hvilket giver, at (2) er konvergent, og (1) dermed er opfyldt. Jeg kan nu slutte, at x ∈ H.

1.2 Projektion af x på X

Projektionen af x på X er givet ved

u = ∑_{n=1}^{∞} ⟨x, e_{2n}⟩ e_{2n}

= ∑_{n=1}^{∞} ⟨∑_{i=1}^{∞} i^{− \frac{3}{4}} e_{i}, e_{2n}⟩ e_{2n} = ∑_{n=1}^{∞} ∑_{i=1}^{∞} ⟨i^{− \frac{3}{4}} e_{i}, e_{2n}⟩ e_{2n}

= ∑_{n=1}^{∞} ∑_{i=1}^{∞} i^{− \frac{3}{4}} ⟨e_{i}, e_{2n}⟩ e_{2n} = ∑_{n=1}^{∞}(2n)^{− \frac{3}{4}} ⟨e_{2n}, e_{2n}⟩ e_{2n}

= ∑_{n=1}^{∞}(2n)^{− \frac{3}{4}} e_{2n}

Tredje lighedstegn gælder idet ⟨·, ·⟩ : H → ℂ er kontinuert, og ved det femte lighedstegn har jeg benyttet, at kun diagonalleddene svarende til i = 2n bidrager til summen på grund af ortogonalitetsantagelsen.

1.3 X ⊆ Y^{⊥} & Y ⊆ X^{⊥}

Jeg vil vise, at X ⊆ Y^{⊥} og Y ⊆ X^{⊥}. For vilkårlige x ∈ X og y ∈ Y, gælder der for passende λ_{1}, λ_{2} …, ∈ ℂ at

x = ∑_{n=1}^{∞} λ_{2n}e_{2n}  ∑_{n=1}^{∞} |λ_{2n}|^{2} < ∞

y = ∑_{n=1}^{∞} λ_{2n−1}e_{2n−1}  ∑_{n=1}^{∞} |λ_{2n−1}|^{2} < ∞

Jeg har nu

∀ (x, y) ∈ X × Y : ⟨x, y⟩ = ⟨∑_{n=1}^{∞} λ_{2n}e_{2n}, ∑_{m=1}^{∞} λ_{2m−1}e_{2m−1}⟩

= ∑_{n=1}^{∞} ∑_{m=1}^{∞} λ_{2n}λ_{2m−1} ⟨e_{2n}, e_{2m−1}⟩ = 0

Det sidste lighedtegn kommer idet ∀ n, m ∈ ℕ : 2n ≠ 2m − 1. Jeg har nu

(∀ x ∈ X∀ y ∈ Y) : x⊥y ⇒ X ⊆ Y^{⊥} ∧ Y ⊆ X^{⊥}

1.4 x = h + k

Jeg vil gøre rede for at enhver vektor x ∈ H kan skrives entydigt på formen

x = h + k

hvor h ∈ X og k ∈ Y.

1.4.1 x = h + k eksisterer for alle x ∈ H

Jeg betragter en vilkårlig vektor x ∈ H, den opfylder for en passende følge (ψ_{n})_{n=1}^{∞}, hvor ψ_{i} ∈ ℂ for alle i ∈ ℕ, at

x = ∑_{n=1}^{∞} ψ_{n}e_{n}  ∑_{n=1}^{∞} |ψ_{n}|^{2} < ∞

Jeg kan finde projektionen af x på X analogt med 1.2

h = ∑_{n=1}^{∞} ψ_{2n}e_{2n}

og ligeledes projektionen af x på y

k = ∑_{n=1}^{∞} ψ_{2n−1}e_{2n−1}

Betragter nu h + k

(∑_{n=1}^{∞} ψ_{2n}e_{2n}) + (∑_{n=1}^{∞} ψ_{2n−1}e_{2n−1}) = ∑_{n=1}^{∞} (ψ_{2n}e_{2n} + ψ_{2n−1}e_{2n−1})

= ∑_{n=1}^{∞} ψ_{n}e_{n}
= x

Fremstillingen x = h + k findes altså

1.4.2 Entydighed af x = h + k for alle x ∈ H

Idet X ⊆ Y^{⊥} & Y ⊆ X^{⊥} har jeg

(∀ h ∈ X\{0}∀ k ∈ Y \{0}) : h ≠ −k

Dette gælder, idet

∀ l ∈ X ∩ Y : l ∈ X ∩ X^{⊥} ⇒ ∥l∥^{2} = ⟨l, l⟩ = 0 ⇔ l = 0

Jeg antager nu, at jeg har to fremstillinger af et x ∈ H, således at

x = h + k
x = h′ + k′

hvor h, h′ ∈ X og k, k′ ∈ Y, og hvor

h′ ≠ h ∧ k′ ≠ k

Betragter x − x

0 = x − x = (h + k) − (h′ + k′) = (h − h′) + (k − k′)  (3)

Jeg har, at

h − h′ ≠ 0 ⇒ h − h′ ∈ X\{0}
k − k′ ≠ 0 ⇒ k − k′ ∈ Y \{0}

hvilket giver mig, at h − h′ ≠ −(k − k′) hvilket er i modstrid med (3), fremstilligen x = h + k kan ikke være tvetydig. Jeg konkluderer derfor, at fremstillingen x = h + k er entydig.

1.5 X = Y^{⊥} & Y = X^{⊥}

Jeg betragter en vilkårlig vektor v ∈ Y^{⊥} ⊆ H. Den opfylder

∀ y ∈ Y : ⟨y, v⟩ = 0

Hvilket giver at projektionen af v på Y er

∑_{n=1}^{∞} ⟨v, e_{2n−1}⟩ e_{2n−1} = 0

idet jeg har e_{2n−1} ∈ Y for alle n ∈ ℕ og der dermed gælder, at ⟨v, e_{2n−1}⟩ = 0 for alle n ∈ ℕ. Jeg har fra 1.4.1, at v kan skrives således

v = proj_{X}(v) + proj_{Y} (v)
= proj_{X}(v) + 0
= proj_{X}(v) ∈ X

Analogt kan jeg skrive ethvert w ∈ X^{⊥} som

w = proj_{X}(w) + proj_{Y} (w)
= 0 + proj_{Y} (w)
= proj_{Y} (w) ∈ Y

Dette betyder, at X ⊇ Y^{⊥} & Y ⊇ X^{⊥}, hvilket sammenholdt med 1.3 giver

X = Y^{⊥} ∧ Y = X^{⊥}