Mat2AN, afleveringsopgave 8

Christian Wulff-Nilsen, hold 4

15. november 2001

Opgave 4(i)

Lad M = [0, 1] × [0, 1] være et metrisk delrum af R^{2} med normen

||(x, y)||_{∞} = max{|x|, |y|}.

Det oplyses, at

T (x, y) = (e^{− \frac{1}{4} xy}, cos (\frac{x + y}{2} ))

definerer en Lipschitz-afbildning T : M → M med Lipschitz-konstant C < 1. Det skal vises, at ligningssystemet

\{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{4} xy} = x \\ cos (\frac{x+y}{2} ) = y \end{matrix}

har præcis en løsning (a, b) ∈ M.

Lad d være den af normen || · ||_{∞} inducerede metrik.Da R^{2} er fuldstændigt, og da M er en afsluttet delmængde af R^{2}, giver sætning 5.3, at (M, d) er fuldstændigt.

Da T er en kontraktion af M, giver sætning 7.8, at T har præcis et fixpunkt i M, dvs. præcis et punkt (a, b) ∈ M, så

( \begin{matrix}e^{− \frac{1}{4} ab} \\ cos & (\frac{a+b}{2}) \end{matrix} ) = T ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) ,

hvilket viser det ønskede.

Opgave 4(ii)

Det oplyses, at for alle s, t ∈ [0, 1] gælder

| cos(s) − cos(t)| ≤ (sin 1)|s − t|
|e^{−s} − e^{−t}| ≤ |s − t|.

Det skal vises, at C = max\{\frac{1}{2}, sin 1\}.

Lad (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) ∈ M være givet. Der fås

d(T (x_{1}, y_{1}), T (x_{2}, y_{2})) = ||T (x_{1}, y_{1}) − T (x_{2}, y_{2})||_{∞} =

max \{|e^{− \frac{1}{4} x_{1}y_{1}} − e^{− \frac{1}{4} x_{2}y_{2}} | , |cos (\frac{x_{1} + y_{1}}{2} ) − cos (\frac{x_{2} + y_{2}}{2} )|\} ≤

max \{|\frac{1}{4}x_{1}y_{1} − \frac{1}{4}x_{2}y_{2}| , (sin 1) |\frac{x_{1} + y_{1}}{2} − \frac{x_{2} + y_{2}}{2} |\} =

max \{\frac{1}{4}|x_{1}y_{1} − x_{2}y_{2}|, \frac{sin 1}{2}|x_{1} + y_{1} − x_{2} − y_{2}|\} ≤

max \{\frac{1}{4}|x_{1}y_{1} − x_{2}y_{1} − x_{2}y_{2} + x_{2}y_{1}|, \frac{sin 1}{2}(|x_{1} − x_{2}| + |y_{1} − y_{2}|)\} ≤

max \{\frac{1}{4}|(x_{1} − x_{2})y_{1} + x_{2}(y_{1} − y_{2})|, \frac{sin 1}{2}2 max\{(|x_{1} − x_{2}|, |y_{1} − y_{2}|\}\} ≤

max \{\frac{1}{4}(|x_{1} − x_{2}|y_{1} + x_{2}|y_{1} − y_{2}|), sin 1 · max\{(|x_{1} − x_{2}|, |y_{1} − y_{2}|\}\} ≤

max \{\frac{1}{4}(|x_{1} − x_{2}| + |y_{1} − y_{2}|), sin 1||(x_{1}, y_{1}) − (x_{2}, y_{2})||_{∞}\} ≤

max \{\frac{1}{4}2 max\{|x_{1} − x_{2}|, |y_{1} − y_{2}|\}, sin 1 · d((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}))\} =

max \{\frac{1}{2}||(x_{1}, y_{1}) − (x_{2}, y_{2})||_{∞}, sin 1 · d((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}))\} =

max \{\frac{1}{2}d((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})), sin 1 · d((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}))\} =

max \{\frac{1}{2}, sin 1\} d((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})),

som ønsket. Den femte ulighed følger af, at 0 ≤ x_{2}, y_{1} ≤ 1.