Matematik 2AN

Opgave 4 fra eksamenen januar 2001

Christian Aastrup

26. november 2001

1 Banachs fixpunktssætning & Lipschitz

Jeg lader (M, ∥ · ∥) = ([0, 1]^{2}, ∥ · ∥_{∞}), hvor

∥(x, y)∥_{∞} = max{|x|, |y|}

Jeg definerer afbildningen T : [0, 1]^{2} → [0, 1]^{2} ved foreskriften

T (x, y) = (e^{− \frac{1}{4} xy}, cos (\frac{x+y}{2} ))

Jeg antager, at afbildningen er Lipschitzkontinuert med konstant C < 1.

1.1 Et ligningssystem hvor T (x, y) = (x, y)

Jeg vil vise, at ligningssystemet

e^{− \frac{1}{4} xy} = x
cos (\frac{x+y}{2} ) = y

har netop én løsning. Dette er ækvivalent med at vise, at afbildningen T har et og kun et fixpunkt, da fixpunkterne for T vi være løsningerne til systemet. Da afbildningen er Lipschitzkontinuert med konstant C < 1 på ([0, 1]^{2}, ∥ · ∥_{∞}) som er fuldstændigt, er den en ægte kontraktion på et Banachrum. Banachs fixpunktsætning giver mig nu, at T har netop et fixpunkt a ∈ [0, 1]^{2} og at følgen (x_{n})_{n=1}^{∞} i hvor x_{n} = T (x_{n−1}) og x_{0} ∈ [0, 1]^{2} opfylder

lim_{n→∞} x_{n} = a

Jeg kan approksimere a numerisk

a ≈ (0.8589006372, 0.7083568443)

1.2 Lipschitzafbildning

Jeg bemærker, at

∀a, b ∈ [0, 1] : |a − b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b| ≤ 2 max{|a|, |b|}  (1)

Funktionen [0, 1] ∋ x ↦ e^{−x} er kontinuert differentiabel med en begrænset differentialkvotient. Den er iflg. Opgave 3.3 Lipschitzkontinuert, så

|e^{−s} − e^{−t}| ≤ sup_{x∈[0,1]} \{|\frac{d}{dx}e^{−x}|\} |s − t|
⇓
|e^{−s} − e^{−t}| ≤ |s − t|  (2)

Funktionen [0, 1] ∋ x ↦ cos x er kontinuert differentiabel med en begrænset differentialkvotient. Den er iflg. Opgave 3.3 Lipschitzkontinuert, så

| cos s − cos t| ≤ sup_{x∈[0,1]} \{|\frac{d}{dx} cos x|\} |s − t|
⇓
| cos s − cos t| ≤ (sin 1)|s − t|  (3)

Jeg vil vise, at T er Lipschitz med C = max\{\frac{1}{2}, sin 1\}. Jeg kalder T ’s koordinatfunktioner for T_{1} og T_{2}, hvor

T_{1}(x, y) = e^{\frac{1}{4} xy}
T_{2}(x, y) = cos (\frac{x+y}{2} )

1.2.1 T_{1} er Lipschitz Hvis jeg benytter mig af (2) så har jeg

|T_{1}(x′, y′) − T_{1}(x′′, y′′)| = |e^{− \frac{1}{4} x′y′} − e^{− \frac{1}{4} x′′y′′}|
≤ |\frac{1}{4}x′y′ − \frac{1}{4}x′′y′′| = \frac{1}{4}|x′y′ − x′′y′′|
≤ \frac{1}{4}|x′y′ − x′′y′′| ≤ \frac{1}{4}(|x′||y′ − y′′| + |y′′||x′ − x′′|)
≤ \frac{1}{4}(|x′ − x′′| + |y′ − y′′|) ≤ \frac{1}{4}|2 max\{x′ − x′′, y′ − y′′\}|
= \frac{1}{2} max\{|x′ − x′′|, |y′ − y′′|\} = \frac{1}{2}∥(x′ − x′′, y′ − y′′)∥_{∞}

T_{1} er Lipschitzkontinuert med C = \frac{1}{2}

1.2.2 T_{2} er Lipschitz Hvis jeg benytter mig af (3) og (1) så har jeg

|T_{2}(x′, y′) − T_{2}(x′′, y′′)| = |cos (\frac{x′+y′}{2} ) − cos (\frac{x′′+y′′}{2} )|
≤ (sin 1) |\frac{x′+y′}{2} − \frac{x′′+y′′}{2} | = (sin 1) |\frac{(x′−x′′)+(y′−y′′)}{2} |
≤ (sin 1) |\frac{2 max\{x′−x′′,y′−y′′\}}{2} | = (sin 1)∥(x′ − x′′, y′ − y′′)∥_{∞}

T_{2} er Lipschitzkontinuert med C = sin 1

1.2.3 T er Lipschitz Betragter jeg ∥T (x′, y′) − T (x′′, y′′)∥_{∞} = max{|T_{1}(x′, y′) − T_{1}(x′′, y′′)|, |T_{2}(x′, y′) − T_{2}(x′′, y′′)|} så kan jeg ud fra 1.2.1 og 1.2.2 slutte, at

∥T (x′, y′) − T (x′′, y′′)∥_{∞} ≤ max\{\frac{1}{2}, sin 1\}∥(x′ − x′′, y′ − y′′)∥_{∞}

Altså, at T er Lipschitz med C = max\{\frac{1}{2}, sin 1\} = sin 1 ≈ 0.841