Matematik 2AN

Opgave 1 fra eksamenen januar 1997

Christian Aastrup

12. november 2001

1 Fortætningspunkter

Jeg lader (X, d_{X}) og (Y, d_{Y}) være metriske rum og f : X → Y være en kontinuert afbildning.

1.1 Fortætningspunkt i Y

Jeg antager, at x ∈ X er et fortætningspunkt for følgen (x_{n})_{n=1}^{∞} i X. Dette betyder, at der findes en delfølge (x_{n_{k}})_{k=1}^{∞} af (x_{n})_{n=1}^{∞}, hvor

lim_{k→∞} x_{n_{k}} = x

Når jeg ser på delfølgen (x_{n_{k}})_{k=1}^{∞} giver følgekarakteriseringen af kontinuerte afbildninger (Sætning 3.1), at

lim_{k→∞} f (x_{n_{k}}) = f(x)

Nu har jeg, at følgen (f(x_{n}))_{n=1}^{∞} i Y har en delfølge (f(x_{n_{k}}))_{k=1}^{∞}, der konvergerer mod f(x) ∈ Y, så er f(x) et fortætningspunkt.

1.2 Fortætningspunkt i X × X

Jeg antager, at x ∈ X er et fortætningspunkt for følgen (x_{n})_{n=1}^{∞} i X. Dette betyder, at der findes en delfølge (x_{n_{k}})_{k=1}^{∞} af (x_{n})_{n=1}^{∞}, hvor

lim_{k→∞} x_{n_{k}} = x

Når jeg ser på delfølgen (x_{n_{k}})_{k=1}^{∞} som er konvergent i X giver Sætning 4.3, at delfølgen ((x_{n_{k}}, x_{n_{k}}))_{k=1}^{∞} er konvergent i X × X, og

lim_{k→∞}(x_{n_{k}}, x_{n_{k}}) = (x, x)

hvilket medfører, at følgen ((x_{n}, x_{n}))_{n=1}^{∞} i X × X har et fortætningspunkt i

(x, x) ∈ X × X

1.3 Ingen fortætningspunkter i ℝ^{2}

Jeg antager, at X = Y = ℝ udstyret med den sædvanelige metrik, og jeg lader følgerne (x_{n})_{n=1}^{∞} og (y_{n})_{n=1}^{∞} være givet ved

x_{n} = \{ \begin{matrix}n & hvis n er lige \\ 0 & hvis n er ulige \end{matrix}  y_{n} = \{ \begin{matrix}n & hvis n er ulige \\ 0 & hvis n er lige \end{matrix}

Begge følger har den konstante og dermed konvergente følge (0)_{n=1}^{∞} som delfølge. 0 er derfor et fortætningspunkt for (x_{n})_{n=1}^{∞} og (y_{n})_{n=1}^{∞}. Jeg ser nu på følgen (z_{n})_{n=1}^{∞} = ((x_{n}, y_{n}))_{n=1}^{∞} i ℝ^{2}. Jeg vil vise, at der ikke findes noget fortætningspunkt for følgen. Idet

(z_{n})_{n=1}^{∞} = (0, 1), (2, 0), (0, 3), (4, 0) …

har jeg, at

∀n, m ∈ ℕ : n ≠ m ⇒ d(z_{n}, z_{m}) ≥ 1  (1)

fordi

∀a, b ∈ ℕ : a ≠ b ⇒ \{ \begin{matrix}d((0, a), (0, b)) = |a − b| ≥ 1 \\ d((a, 0), (b, 0)) = |a − b| ≥ 1 \end{matrix}

∀a, b ∈ ℕ : d((0, a), (b, 0)) = \sqrt{a^{2} + b^{2}} > a ≥ 1

Jeg betragter vilkårligt a ∈ ℝ^{2}. Punktet a vil være et fortætningspunkt for (z_{n})_{n=1}^{∞} hvis

∀r > 0 : {n ∈ N|z_{n} ∈ K(a, r)} er en uendelig mængde

og a vil ikke være et fortætningspunkt hvis

∃r > 0 : {n ∈ N|z_{n} ∈ K(a, r)} er en endelig mængde eller tom

Hvis jeg vælger r = \frac{1}{2} og a ∈ ℝ^{2} vilkårligt, kan der ske to ting

1. Jeg har, at der for alle n ∈ ℕ gælder, at d(a, z_{n}) ≥ \frac{1}{2}, hvilket medfører, at

mængden

\{n ∈ N|z_{n} ∈ K (a, \frac{1}{2})\} = ∅

Så kan a ikke være et fortætningspunkt for (z_{n})_{n=1}^{∞}.

2. Jeg har, at der eksisterer i ∈ ℕ således, at d(a, z_{i}) < \frac{1}{2}, hvilket giver, at z_{i} ∈ K(a, \frac{1}{2}). Men nu giver (1) og Kuglelemmaet, at

i ≠ j ⇒ d(z_{i}, z_{j}) ≥ 1 ⇒ z_{j} ∉ K(z_{i}, 1) ⊇ K (a, \frac{1}{2})

hvilket medfører, at

\{n ∈ N|z_{n} ∈ K (a, \frac{1}{2})\} = \{i\}

som klart er en endelig mængde, og så kan a ikke være et fortætningspunkt for (z_{n})_{n=1}^{∞}.

Vilkårligt a ∈ ℝ^{2} kan altså ikke være et fortætningspunkt for (z_{n})_{n=1}^{∞}. Idet ℝ^{2} er en afsluttet mængde, har følgen (z_{n})_{n=1}^{∞} ingen fortætningspunkter.