Matematik 2AN

Opgave 2 (a) og (b) fra eksamenen januar 1998

Christian Aastrup

28. november 2001

1 Hilbertrum

Jeg lader H betegne Hilbertrummet L_{2}([0, π]) med indre produkt givet ved

⟨f, g⟩ = \frac{2}{π} ∫_{0}^{π} f(x)\overline{g(x)}dx

og den tilhørende norm være betegnet ∥ · ∥. Følgen (e_{n})_{n∈ℕ_{0}} defineres til at være e_{0}(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} og e_{n}(x) = cos nx for n ∈ ℕ og x ∈ [0, π].

1.1 En vektor i H

Jeg vil vise, at rækken

f = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n^{2}+1}e_{n}

er konvergent i H og dermed en vektor i rummet H. Sætning 1.10 giver, at rækken er konvergent hvis og kun hvis

∑_{n=0}^{∞} ∥\frac{1}{n^{2}+1}e_{n}∥^{2} = ∑_{n=0}^{∞} |\frac{1}{n^{2}+1} |^{2} < ∞

Jeg beregner

∑_{n=0}^{∞} |\frac{1}{n^{2}+1} |^{2} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n^{4}+2n^{2}+1}

= 1 + ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{4}+2n^{2}+1}

≤ 1 + ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{4}}
= 1 + \frac{π^{4}}{90} < ∞

Jeg slutter, at f ∈ H.

1.2 ⟨f, cos^{3}⟩

Jeg vil beregne ⟨f, cos^{3}⟩, hvor cos^{3} er funktionen hvor x ↦ (cos x)^{3}. Jeg betragter dog først cosinus

cos x = \frac{e^{ix}+e^{−ix}}{2}
⇓
(cos x)^{3} = (\frac{e^{ix}+e^{−ix}}{2} )^{3}
= \frac{e^{3ix}+3e^{ix}+3e^{−ix}+e^{−3ix}}{8}
= \frac{3}{4} (\frac{e^{ix}+e^{−ix}}{2} ) + \frac{1}{4} (\frac{e^{3ix}+e^{−3ix}}{2} )
= \frac{3}{4} cos x + \frac{1}{4} cos(3x) = \frac{3}{4}e_{1}(x) + \frac{1}{4}e_{3}(x)

cos^{3} kan skrives som en endelig linear-kombination af basisvektorene; cos^{3} ∈ H. f og cos^{3}’s indre produkt er givet ved

⟨f, cos^{3}⟩ = ⟨f, \frac{3}{4}e_{1} + \frac{1}{4}e_{3}⟩
= ⟨f, \frac{3}{4}e_{1}⟩ + ⟨f, \frac{1}{4}e_{3}⟩
= \frac{3}{4} ⟨f, e_{1}⟩ + \frac{1}{4} ⟨f, e_{3}⟩
= \frac{3}{4} ⟨∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n^{2}+1}e_{n}, e_{1}⟩ + \frac{1}{4} ⟨∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n^{2}+1}e_{n}, e_{3}⟩

= \frac{3}{4} ∑_{n=0}^{∞} ⟨\frac{1}{n^{2}+1}e_{n}, e_{1}⟩ + \frac{1}{4} ∑_{n=0}^{∞} ⟨\frac{1}{n^{2}+1}e_{n}, e_{3}⟩

= \frac{3}{4} ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n^{2}+1} ⟨e_{n}, e_{1}⟩ + \frac{1}{4} ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n^{2}+1} ⟨e_{n}, e_{3}⟩
= \frac{3}{4} · \frac{1}{1^{2}+1} + \frac{1}{4} · \frac{1}{3^{2}+1} = \frac{2}{5}

Det næstsidste lighedstegn gælder idet

⟨e_{n}, e_{m}⟩ = \{ \begin{matrix}1 & n = m \\ 0 & n ≠ m \end{matrix}