Opgave 4.1 i Metriske Rum

Gunnar Restorff

Sætning 1 (Sætning 4.3 i MR) Lad (M, d) være det metriske produktrum af (M_{1}, d_{1}) og (M_{2}, d_{2}). Så gælder

(a) For G_{1} ∈ G(M_{1}) og G_{2} ∈ G(M_{2}) er G_{1} × G_{2} ∈ G(M_{1} × M_{2}).

(b) For F_{1} ∈ F(M_{1}) og F_{2} ∈ F(M_{2}) er F_{1} × F_{2} ∈ F(M_{1} × M_{2}).

(c) For A_{1} ⊆ M_{1} og A_{2} ⊆ M_{2} er (A_{1} × A_{2})^{∘} = A_{1}^{∘} × A_{2}^{∘} og \overline{A_{1} × A_{2}} = \overline{A_{1}} × \overline{A_{2}}.

(d) En følge x_{n} = (x_{n1}, x_{n2}), n = 1, 2, 3, … i M_{1} × M_{2} konvergerer mod x = (x_{1}, x_{2}), hvis og kun hvis (x_{n1})_{n=1}^{∞} konvergerer mod x_{1} i M_{1} og (x_{n2})_{n=1}^{∞} konvergerer mod x_{2} i M_{2}.

Bevis: Som bemærket efter sætningen i lærebogen, bygger beviset på følgende observation. Lad x = (x_{1}, x_{2}) ∈ M og r > 0 være givne. Da er for y = (y_{1}, y_{2}) ∈ M

y ∈ K(x, r) ⟺ max{d_{1}(x_{1}, y_{1}), d_{2}(x_{2}, y_{2})} = d(x, y) < r ⟺ d_{1}(x_{1}, y_{1}) < r ∧ d_{2}(x_{2}, y_{2}) < r
⟺ y_{1} ∈ K_{1}(x_{1}, r) ∧ y_{2} ∈ K_{2}(x_{2}, r) ⟺ y ∈ K_{1}(x_{1}, r) × K_{2}(x_{2}, r).

Altså er K(x, r) = K_{1}(x_{1}, r) × K_{2}(x_{2}, r).

(c): Lad A_{1} ⊆ M_{1} og A_{2} ⊆ M_{2} være givne. Da er for x = (x_{1}, x_{2}) ∈ M

x ∈ \overline{A_{1}} × \overline{A_{2}} ⟺ x_{1} ∈ \overline{A_{1}} ∧ x_{2} ∈ \overline{A_{2}}

⟺ (∀r > 0 : K_{1}(x_{1}, r) ∩ A_{1} ≠ ∅) ∧ (∀r > 0 : K_{2}(x_{2}, r) ∩ A_{2} ≠ ∅)

⟺^{(∗)} ∀r > 0(K_{1}(x_{1}, r) ∩ A_{1} ≠ ∅ ∧ K_{2}(x_{2}, r) ∩ A_{2} ≠ ∅)

⟺ ∀r > 0 : (K_{1}(x_{1}, r) × K_{2}(x_{2}, r)) ∩ (A_{1} × A_{2}) ≠ ∅

⟺ ∀r > 0 : K(x, r) ∩ (A_{1} × A_{2}) ≠ ∅

⟺ x ∈ \overline{A_{1} × A_{2}}.

Overvej biimplikationen mærket med (∗)! Altså har vi at \overline{A_{1} × A_{2}} = \overline{A_{1}} × \overline{A_{2}}. Endvidere er

∁(A_{1} × A_{2})^{∘} = \overline{∁(A_{1} × A_{2})} = \overline{(∁A_{1} × M_{2}) ∪ (M_{1} × ∁A_{2})} = \overline{∁A_{1} × M_{2}} ∪ \overline{M_{1} × ∁A_{2}}
= (\overline{∁A_{1}} × \overline{M_{2}}) ∪ (\overline{M_{1}} × \overline{∁A_{2}}) = (∁A_{1}^{∘} × M_{2}) ∪ (M_{1} × ∁A_{2}^{∘}) = ∁(A_{1}^{∘} × A_{2}^{∘}),

hvor vi har brugt opgave 2.5 i MR, det lige viste, samt at der om vilkårlige B_{1} ⊆ M_{1}, B_{2} ⊆ M_{2} gælder, at ∁(B_{1} ×B_{2}) = (∁B_{1} × M_{2}) ∪ (M_{1} × ∁B_{2}) (overvej!). Dvs. at vi har vist, at (A_{1} ×A_{2})^{∘} = A_{1}^{∘} × A_{2}^{∘}.

(a) og (b): Fås direkte af (c). Kan alternativt vises nemt ved brug af kontinuiteten af π_{1} og π_{2} samt sætning 3.2 og 3.3.

(d): Da projektionsafbildningerne er kontinuerte (se s. 4.3 nederst), følger ”kun hvis”-delen umiddelbart af sætning 3.1.

Lad x_{n} = (x_{n1}, x_{n2}), n = 1, 2, 3, … være en følge i M_{1} × M_{2}, således at (x_{n1})_{n=1}^{∞} konvergerer mod x_{1} i M_{1} og (x_{n2})_{n=1}^{∞} konvergerer mod x_{2} i M_{2}. Lad endvidere x = (x_{1}, x_{2}) ∈ M. Givet ε > 0 findes N_{1}, N_{2} ∈ ℕ, så ∀n ≥ N_{i} : d_{i}(x_{ni}, x_{i}) ≤ ε for i = 1, 2. Sæt N = max{N_{1}, N_{2}}, så er d(x_{n}, x) = max(d_{1}((x_{n1}, x_{1}), d_{2}((x_{n2}, x_{2})) ≤ ε for alle n ≥ N. Da ε > 0 var vilkårligt, konvergerer (x_{n})_{n=1}^{∞} altså mod x i M. □

Sætning 2 Lad (M, d) være det metriske produktrum af (M_{1}, d_{1}) og (M_{2}, d_{2}), og lad (X, d_{X}) være et metrisk rum. Lad f : X → M_{1} × M_{2}, og lad π_{i} : M_{1} × M_{2} → M_{i}, i = 1, 2 betgne projektionsafbildningerne (se s. 4.3).

Da er f kontinuert, hvis og kun hvis f_{1} = π_{1} ∘ f og f_{2} = π_{2} ∘ f begge er kontinuerte.

Bevis: Sammenlign med sætning 3.12. Antag først at f er kontinuert. Da π_{1} og π_{2} begge er kontinuerte (se s. 4.3 nederst), følger umiddelbart af sætning 3.5, at f_{1} = π_{1} ∘ f og f_{2} = π_{2} ∘ f begge er kontinuerte.

Antag nu istedet, at f_{1} = π_{1} ∘ f og f_{2} = π_{2} ∘ f begge er kontinuerte. Lad x ∈ X og ε > 0 være givne. Så findes δ_{1}, δ_{2} > 0 så f_{1}(K_{X}(x, δ_{1})) ⊆ K_{1}(f_{1}(x), ε) og f_{2}(K_{X}(x, δ_{2})) ⊆ K_{2}(f_{2}(x), ε). Sæt δ = min{δ_{1}, δ_{2}}, så er

f(K_{X}(x, δ)) = f_{1}(K_{X}(x, δ)) × f_{2}(K_{X}(x, δ)) ⊆ K_{1}(f_{1}(x), ε) × K_{2}(f_{2}(x), ε) = K(f(x), ε).

Da ε > 0 og x ∈ X var vilkårlige, er f således kontinuert. □

Sætning 3 Lad (M, d) være det metriske produktrum af (M_{1}, d_{1}) og (M_{2}, d_{2}). Da er O ⊆ M_{1} × M_{2} åben i M_{1} × M_{2}, hvis og kun hvis den er forening af mængder på formen U × V med U ∈ G(M_{1}), V ∈ G(M_{2}).

Bevis: Antag at O = ⋃_{i∈I} U_{i} × V_{i}, hvor U_{i} ∈ G(M_{1}), V_{i} ∈ G(M_{2}), i ∈ I. Da er U_{i} × V_{i} åben i M for hvert i ∈ I ifølge sætning 4.3(c). Så det følger umiddelbart af sætning 2.6(iii), at O er åben i M.

Antag nu at O ⊆ M er åben i M. For hvert x = (x_{1}, x_{2}) ∈ O findes et r_{x} > 0 så x ∈ K_{1}(x_{1}, r_{x}) × K_{2}(x_{2}, r_{x}) = K(x, r_{x}) ⊆ O. Derfor er (overvej!)

O = ⋃_{x=(x_{1},x_{2})∈O} K_{1}(x_{1}, r_{x}) × K_{2}(x_{2}, r_{x}).

□

Sætning 4 Lad (M, d) være det metriske produktrum af (M_{1}, d_{1}) og (M_{2}, d_{2}). Lad endvidere A_{1} ⊆ M_{1} og A_{2} ⊆ M_{2}. Så er

∂(A_{1} × A_{2}) = (∂(A_{1}) × \overline{A_{2}}) ∪ (\overline{A_{1}} × ∂(A_{2})).

Bevis:

∂(A_{1} × A_{2}) = \overline{A_{1} × A_{2}} \ (A_{1} × A_{2})^{∘} = (\overline{A_{1}} × \overline{A_{2}}) \ (A_{1}^{∘} × A_{2}^{∘})

=^{(∗)} ((\overline{A_{1}} \ A_{1}^{∘}) × \overline{A_{2}}) ∪ (\overline{A_{1}} × (\overline{A_{2}} \ A_{2}^{∘})) = (∂(A_{1}) × \overline{A_{2}}) ∪ (\overline{A_{1}} × ∂(A_{2})),

overvej lighedstegnet mærket med (∗)! □