Opg. 5.5:

(M_{1} × M_{2}, d) er fuldstændig hvis og kun hvis (M_{1}, d_{1}) og (M_{2}, d_{2}) er fuldstændige.

Bevis: ’⇒’ Antag at M_{1} × M_{2} er fuldstændig. Lad (x_{n}) være en Cauchy følge i M_{1}. For at vise at M_{1} er fuldstændig skal vi vise den er konvergent.

Vælg et a ∈ M_{2} og betragt ((x_{n}, a)) i M_{1} × M_{2}. Bemærk at

d((x_{n}, a), (x_{m}, a)) = d_{1}(x_{n}, x_{m})

så ((x_{n}, a)) er en Cauchy følge da (x_{n}) er det. Da er M_{1} × M_{2} er fuldstændig er ((x_{n}, a)) konvergent. Sætning 4.3d) giver så at (x_{n}) er konvergent hvilket skulle vises.

Tilsvarende ses at M_{2} er fuldstændig. ’⇐’ Antag at M_{1} og M_{2} begge er fuldstændige. Lad ((x_{n}, y_{n})) være en Cauchy følge i M_{1} × M_{2}. Vi skal vise den er konvergent.

Bemærk at

d_{1}(x_{n}, x_{m}) ≤ d((x_{n}, y_{n}), (x_{m}, y_{m}))

så (x_{n}) er Cauchy da ((x_{n}, y_{n})) er det. Tilsvarende ses at (y_{n}) er Cauchy. Da M_{1} er fuldstændig er (x_{n}) derfor konvergent, og da M_{2} er fuldstændig er (y_{n}) konvergent. Sætning 4.3d) giver så at ((x_{n}, y_{n})) er konvergent.

Se Gunnars besvarelse for anvendelse på sætning 5.8.