Kommentarer til opgave 5.5 i Metriske Rum:

Sidste del af opgaven var der meget få, som gennemførte – nemlig at vise sætning 5.8 ud fra resultatet:

Sætning 1 Lad (M_{1} × M_{2}, d) være det metriske produktrum af de to metriske rum (M_{1}, d_{1}) og (M_{2}, d_{2}). Da er (M_{1} × M_{2}, d) fuldstændigt, hvis og kun hvis (M_{1}, d_{1}) og (M_{2}, d_{2}) begge er fuldstændige.

Bevis: Beviset overlades til læseren som en opgave! □

Først viser vi følgende ofte brugte – men sjælden beviste – resultat:

Lemma 2 Lad A og B være to vilkårlige ikke-tomme mængder og lad f : A × B → ℝ være en vilkårlig funktion. Da er følgende tre størrelser ens:

r = sup{f(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} = sup_{(a,b)∈A×B} f(a, b),
s = sup {sup{f(a, b) | a ∈ A} | b ∈ B} = sup_{b∈B} sup_{a∈A} f(a, b), og
t = sup {sup{f(a, b) | b ∈ B} | a ∈ A} = sup_{a∈A} sup_{b∈B} f(a, b).

Dvs. at r = s = t. Det tilsvarende udsagn, hvor alle supremumer er erstattet af infimumer, gælder også.

Bevis: For hvert a′ ∈ A og b′ ∈ B er klart s ≥ sup_{a∈A} f(a, b′) ≥ f(a′, b′). Dvs. s ≥ sup_{(a,b)∈A×B} f(a, b) = r. For hvert b′ ∈ B er på den anden side sup{f(a, b′) | a ∈ A} ≤ sup{f(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} = r. Dvs. s = sup {sup{f(a, b) | a ∈ A} | b ∈ B} ≤ r. Altså er r = s. Pga. symmetri er også r = t.

Udsagnet vedrørende infimum følger direkte af foregående ved brug af reglen inf_{c∈C} c = − sup_{c∈C}(−c) for envher mængde C ⊆ ℝ (overvej!). □

Hvis (M_{1}, d_{1}), …, (M_{k}, d_{k}) er metriske rum, så er det metriske produktrum (M_{1} × ⋯ × M_{k}, d) givet ved, at d((x_{1}, …, x_{k}), (y_{1}, …, y_{k})) = max_{i=1,...k} d_{i}(x_{i}, y_{i}). Pga. Lemma 2 ses imidlertid, at dette er præcis det samme som det metriske produktrum af (M′, d′) og (M′′, d′′), hvor (M′, d′) hhv. (M′′, d′′) er det metriske produkt af (M_{1}, d_{1}), …, (M_{ℓ}, d_{ℓ}) hhv. (M_{ℓ+1}, d_{ℓ+1}), …, (M_{k}, d_{k}) hvor 1 ≤ ℓ ≤ k − 1 (overvej!). Der gælder altså en slags associativ lov.

Korollar 3 Lad (M_{1}, d_{1}), …, (M_{k}, d_{k}) være metriske rum og lad (M_{1} ×⋯×M_{k}, d) betegne det metriske produktrum af disse. Da er (M_{1} × ⋯ × M_{k}, d) fuldstændigt, hvis og kun hvis alle de metriske rum (M_{1}, d_{1}), …, (M_{k}, d_{k}) er fuldstændige.

Bevis: Følger let af Sætning 1 ved induktion (prøv selv!). □

Sætning 4 Rummet C([a, b], ℝ^{k}) er et Banach rum under den uniforme norm ∥ · ∥_{u}, som jo er givet ved ∥f∥_{u} = sup_{x∈[a,b]} ∥f(x)∥_{∞} for f ∈ C([a, b], ℝ^{k}).

Bevis: Der er faktisk ikke vist i noterne, at (C([a, b], ℝ^{k}), ∥·∥_{u}) er et normeret rum. Ved at lave oplagte modifikationer i beviset for at B([a, b], ℝ) er et normeret rum, ses let, at B([a, b], ℝ^{k}) er et normeret rum. Det ses let, at C([a, b], ℝ^{k}) er et underrum heraf (da enhver kontinuert funktion på det kompakte interval [a, b] er begrænset).

Lad (E, ∥ · ∥_{×}) være produktrummet af (C([a, b], ℝ), ∥ · ∥_{u}) k gange med sig selv. En funktion i C([a, b], ℝ^{k}) er fuldstændig fastlagt ved dens koordinatfunktioner. Vi definerer nu en afbildning Φ : (E, ∥ · ∥_{×}) → (C([a, b], ℝ^{k}), ∥ · ∥_{u}) ved, at Φ(f_{1}, …, f_{k}) er funktionen f, hvis koordinatfunktioner er π_{1} ∘ f = f_{1}, …, π_{k} ∘ f = f_{k} – denne afbildning Φ er pga. sætning 3.12 veldefineret! Da er Φ surjektiv, thi givet f ∈ C([a, b], ℝ^{k}) er Φ(π_{1} ∘ f, …, π_{k} ∘ f) = f per definition af Φ. Endvidere er Φ en isometri, thi lad (f_{1}, …, f_{k}) ∈ E være givet og sæt f = Φ(f_{1}, …, f_{k}), da er (pga. lemma 2)

∥f∥_{u} = sup_{x∈[a,b]} ∥f(x)∥_{∞} = sup_{x∈[a,b]} max_{i=1,... ,k} |f_{i}(x)| = max_{i=1,... ,k} sup_{x∈[a,b]} |f_{i}(x)| = max_{i=1,... ,k} ∥f_{i}∥_{u} = ∥(f_{1}, …, f_{k})∥_{×}.

Da (C([a, b], ℝ), ∥ · ∥_{u}) er fuldstændigt, følger umiddelbart af korollar 3, at (E, ∥ · ∥_{×}) er fuldstændigt. Af sætning 5.6 følger nu, at (C([a, b], ℝ^{k}), ∥ · ∥_{u}) er fuldstændigt – da Φ er en surjektiv isometri (faktisk er Φ en isometrisk isomorfi – dvs. en bijektiv, isometrisk, lineær afbildning).

Ovenstående bevis er ret formelt. Man kunne også bare vha. sætning 3.12 identificere rummene (C([a, b], ℝ)^{k} og C([a, b], ℝ^{k}). Men man skal i hvert fald redegøre for, at de to normer er ens (altså produktnormen og den uniforme norm)! □