Peano’s kurve - projekt i Matematik 2AN

1 Indledning

Formålet med dette projekt er at vise, at fuldstændighed af funktionsrummet C([a, b], ℝ^{k}) mht. normen ∥ · ∥_{u} fører til eksistensen af overraskende funktioner. Et eksempel herpå er Peano’s kurve, som er en kontinuert og surjektiv funktion φ: [0, 1] → [0, 1]^{2}. Populært sagt kan vi opfatte Peano’s kurve som en opskrift på en vandretur af varighed f.eks. en time igennem en kvadratisk park således at man i løbet af denne time besøger samtlige punkter i parken! Eller sagt på en anden måde, hvis man skal lede efter en krukke med guld, som er placeret et ukendt sted i Sahara, så skal man blot tage en Peano kurve φ: [0, 1] → A, hvor arealet A passer med Sahara, og så gennemløbe kurven t ↦ φ(t) indenfor et tidsrum, som er i overensstemmelse med ens kondital. Der er dog det problem, at funktionen φ ikke er differentiabel, og at man skal løbe uendelig hurtigt for at kunne følge kurven t ↦ φ(t).

Projektet består dels i at sætte sig ind i Peano’s konstruktion (altså at læse og forstå beskrivelsen gengivet nedenfor), og dels i at besvare 8 spørgsmål herom.

2 Kontruktionen af Peano’s kurve

Vi konstruerer en følge af kontinuerte, stykkevis lineære funktioner f_{0}, f_{1}, f_{2}, f_{3}, …: [0, 1] → [0, 1]^{2}. Disse funktioner ligger dermed specielt i Banachrummet C([0, 1], ℝ^{2}). Funktionerne vælges sådan, at følgen (f_{n})_{n=0}^{∞} er Cauchy og derfor konvergent mod en funktion φ ∈ C([0, 1], ℝ^{2}).

Trin 0: Funktionen f_{0} : [0, 1] → [0, 1]^{2} er givet ved f_{0}(t) = (t, t). Kurven for f_{0} er givet ved:

Figur 1

Kurven gennemløbes med konstant hastighed, og f_{0} er således bestemt ved kurven.

Trin 1: Kurven for funktionen f_{1} : [0, 1] → [0, 1]^{2} er givet ved:

Figur 2

Kurven gennemløbes med konstant hastighed, og f_{1} er derfor bestemt ved kurven. Enhedskvadratet [0, 1]^{2} er her inddelt i 9 delkvadrater, og hvert delkvadrat gennemløbes diagonalt af kurven for f_{1}. Vi noterer nedenfor funktionsværdierne for f_{1} i “knækpunkterne”:

f_{1}(0) = f_{0}(0) = (0, 0), f_{1}(\frac{1}{9}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}), f_{1}(\frac{2}{9}) = (0, \frac{2}{3}), f_{1}(\frac{3}{9}) = (\frac{1}{3}, 1), f_{1}(\frac{4}{9}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}), f_{1}(\frac{5}{9}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}), f_{1}(\frac{6}{9}) = (\frac{2}{3}, 0), f_{1}(\frac{7}{9}) = (1, \frac{1}{3}), f_{1}(\frac{8}{9}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}), f_{1}(1) = f_{0}(1) = (1, 1).

Det er praktisk at indføre en notation for kvadraterne i Figur 2. Hver af de 9 kvadrater er af formen

K_{1}^{(m)} = [\frac{k−1}{3}, \frac{k}{3}] × [\frac{l−1}{3}, \frac{l}{3}], m = 1, 2, …, 9,

for passende k, l = 1, 2, 3 (som afhænger af m). Kvadraterne nummereres som i Figur 2 således, at

f_{1}([\frac{m−1}{9}, \frac{m}{9}]) ⊆ K_{1}^{(m)} for m = 1, 2, …, 9.

Spørgsmål 1. Bestem et funktionsudtryk for f_{1}(t) gyldigt for t ∈ [0, 1/9], hhv. for t ∈ [5/9, 6/9].

Trin 2: Kurven for funktionen f_{2} : [0, 1] → [0, 1]^{2} er i figuren nedenfor trukket op med fed streg (gennemløbsretningen fremgår af nummereringen af delkvadraterne):

Figur 3

Her er enhedskvadratet [0, 1]^{2} inddelt i 81 = 9^{2} delkvadrater, og hvert delkvadrat gennemløbes diagonalt og med konstant hastighed af f_{2}. Hvert af de 9^{2} kvadrater er af formen

K_{2}^{(m)} = [\frac{k−1}{3^{2}}, \frac{k}{3^{2}} ] × [\frac{l−1}{3^{2}}, \frac{l}{3^{2}} ], m = 1, 2, …, 9^{2},

for passende k, l = 1, 2, …, 3^{2} (som afhænger af m). Delkvadraterne K_{2}^{(m)} nummereres som i Figur 3 således at

f_{2}([\frac{m−1}{9^{2}}, \frac{m}{9^{2}} ]) ⊆ K_{2}^{(m)} for m = 1, 2, …, 9^{2}.

Læg mærke til, at f_{2}(m/9) = f_{1}(m/9) for m = 0, 1, …, 9 (altså f_{2} stemmer overens med f_{1} på “knækpunkterne” for f_{1}), og

f_{2}([\frac{m−1}{9}, \frac{m}{9}]) ⊆ K_{1}^{(m)} for m = 1, 2, …, 9.

Spørgsmål 2. Find samtlige t ∈ [0, 1] for hvilke f_{2}(t) = (\frac{4}{9}, \frac{6}{9}) hhv. f_{2}(t) = (\frac{5}{18}, \frac{7}{18}).

Trin (n + 1): Den kontinuerte funktion f_{n+1} : [0, 1] → [0, 1]^{2} konstrueres udfra funktionen f_{n}: [0, 1] → [0, 1]^{2} på samme måde, som f_{1} fremkommer fra f_{0}, og som f_{2} fremkommer fra f_{1}. Til den allerede fundne funktion f_{n} hører en inddeling af kvadratet [0, 1]^{2} i 9^{n} delkvadrater K_{n}^{(m)} af formen [\frac{k−1}{3^{n}}, \frac{k}{3^{n}}] × [\frac{l−1}{3^{n}}, \frac{l}{3^{n}}] for passende k, l = 1, 2, …, 3^{n}. Videre har vi

f_{n}([\frac{m−1}{9^{n}}, \frac{m}{9^{n}} ]) ⊆ K_{n}^{(m)}, m = 1, 2, …, 9^{n}.

Restriktionen f_{n}|_{[\frac{m−1}{9^{n}} , \frac{m}{9^{n}} ]} er en ret linie (af en af de fire typer gengivet i Figur 4), og vi

definerer f_{n+1} på intervallet [\frac{m−1}{9^{n}}, \frac{m}{9^{n}}] ved “Peano kontruktionen” som vist i Figur 4:

f_{n}|_{[\frac{m−1}{9^{n}} , \frac{m}{9^{n}} ]} f_{n+1}|_{[\frac{m−1}{9^{n}} , \frac{m}{9^{n}} ]}

Figur 4

I alle fire tilfælde løber både f_{n}|_{[\frac{m−1}{9^{n}} , \frac{m}{9^{n}} ]} og f_{n+1}|_{[\frac{m−1}{9^{n}} , \frac{m}{9^{n}} ]} i kvadratet K_{n}^{(m)}, dvs.

f_{n+1}([\frac{m−1}{9^{n}}, \frac{m}{9^{n}} ]) ⊆ K_{n}^{(m)}, m = 1, 2, …, 9^{n}.

Ved kontruktionen af f_{n+1} bliver kvadratet [0, 1]^{2} inddelt i 9^{n+1} delkvadrater K_{n+1}^{(m)} af formen [\frac{k−1}{3^{n+1}} , \frac{k}{3^{n+1}} ] × [\frac{l−1}{3^{n+1}} , \frac{l}{3^{n+1}} ] for passende k, l = 1, 2, …, 3^{n+1}, og

f_{n+1}([\frac{m−1}{9^{n+1}}, \frac{m}{9^{n+1}} ]) ⊆ K_{n+1}^{(m)}, m = 1, 2, …, 9^{n+1}.

Spørgsmål 3. Bestem for hvert n ∈ ℕ et funktionsudtryk for f_{n}(t) gyldigt for t ∈ [0, 1/9^{n}]. Bestem f′_{n}(1/(2·9^{n})).

Spørgsmål 4. Bestem f_{3}(1/7). [Vink: Benyt at 1/7 = 1/9 + 2/81 + (5 + 1/7)/729.]

Opsummering: Hver af funktionerne f_{n}: [0, 1] → [0, 1]^{2} er kontinuerte. For hvert n er kvadratet [0, 1]^{2} inddelt i 9^{n} delkvadrater K_{n}^{(m)}, m = 1, 2, …, 9^{n}, og der gælder:

(i) K_{n}^{(m)} = [\frac{k−1}{3^{n}}, \frac{k}{3^{n}}] × [\frac{l−1}{3^{n}}, \frac{l}{3^{n}}] for passende k, l = 1, 2, …, 3^{n} (som afhænger af m)

(ii) ⋃_{m=1}^{9^{n}} K_{n}^{(m)} = [0, 1]^{2} for alle n ∈ ℕ.

(iii) f_{r}([\frac{m−1}{9^{n}}, \frac{m}{9^{n}} ]) ⊆ K_{n}^{(m)} for alle r ≥ n og for alle m = 1, 2 …, 9^{n}.

Spørgsmålene nedenfor kan (og skal!) besvares ved at benytte opsummeringen ovenfor (uden iøvrigt at henvise til hvordan funktionerne f_{n} er konstrueret). Rummet ℝ^{2} udstyres med normen ∥ · ∥_{∞}. Bemærk, at diam(K_{n}^{(m)}) = 3^{−n} for alle n og m. Du behøver ikke at vise denne påstand eller nogen af påstandene i opsummeringen. Vi begynder i Spørgsmål 5 med at definere Peano’s funktion φ. Du kan finde en definition af normen ∥ · ∥_{u} s. 5.4 i “Metriske Rum”.

Spørgsmål 5. Vis, f.eks. ved at bruge (i) og (iii) i opsummeringen, at

∥f_{r}(t) − f_{n}(t)∥_{∞} ≤ 3^{−n} for alle t ∈ [0, 1] og for alle 1 ≤ n < r.

Vis herefter, at ∥f_{r} − f_{n}∥_{u} ≤ 3^{−n} når r > n. Vis at følgen (f_{n})_{n=1}^{∞} er en Cauchyfølge i C([0, 1], ℝ^{2}). Gør endelig rede for, at der findes en kontinuert funktion φ: [0, 1] → ℝ^{2} så f_{n} → φ for n → ∞ mht. normen ∥ · ∥_{u}.

Spørgsmål 6. Gør rede for, at φ([0, 1]) er en delmængde af [0, 1]^{2}, og at φ([0, 1]) er afsluttet.

I næste spørgsmål vises det, at φ: [0, 1] → [0, 1]^{2} er surjektiv.

Spørgsmål 7. Gør rede for, at

φ([\frac{m−1}{9^{n}}, \frac{m}{9^{n}} ]) ⊆ K_{n}^{(m)} for alle n og for alle m = 1, 2 …, 9^{n}.

Vis herefter, at hvis x ∈ [0, 1]^{2}, så er

d(x, φ([0, 1])) ≤ 3^{−n} for alle n ∈ ℕ.

Vis endelig at x ∈ φ([0, 1]). [Vink: Benyt (ii) i opsummeringen og Opgave 3.6 i “Metriske Rum”.]

Spørgsmål 8. Gør rede for, at der for hvert k ∈ ℕ findes en kontinuert surjektiv afbildning ψ_{k}: [0, 1]^{k} → [0, 1]^{k+1}. Vis herefter, at der for hvert k ∈ ℕ findes en kontinuert surjektiv afbildning φ_{k}: [0, 1] → [0, 1]^{k}.

Den obligatoriske del af projektet ender her! Nysgerrige sjæle kan læse efterskriftet til projektet og/eller prøve kræfter med det ikke-obligatoriske spørgsmål nedenfor (hvor man igen skal kigge på kontruktionen af funktionerne f_{n}):

Spørgsmål 9. Find t ∈ [0, 1] så φ(t) = (0, 1) og find t ∈ [0, 1] så φ(t) = (1, 0). Find fire værdier af t ∈ [0, 1] for hvilke φ(t) = (1/3, 2/3).

3 Efterskrift

Det overraskende ved eksistensen af Peano’s funktion φ ligger bl.a. i, at mængden [0, 1]^{2} forekommer at være “større” end mængden [0, 1]. Det er den på en måde også jvf. Sætning 3.1 nedenfor. Endvidere er de to metriske rum [0, 1] og [0, 1]^{2} ikke homeomorfe (man kan ikke finde en homeomorfi g: [0, 1] → [0, 1]^{2}). Dette fører også med sig, at man ikke kan finde en kontinuert surjektiv afbildning f: [0, 1] → [0, 1]^{2} som er injektiv!

Sætning 3.1 Der findes ingen kontinuert injektiv funktion h: [0, 1]^{2} → [0, 1].

Bevis: Beviset føres indirekte. Antag der findes en kontinuert injektiv funktion h: [0, 1]^{2} → [0, 1]. Vi viser, at dette fører til en modstrid. Beviset herfor bygger på et sammenhængsargument (som ikke er dækket af det nuværende pensum i 2AN, men som f.eks. tages op i kurset 3GT.) Mere konkret skal vi bruge, at hvis C ⊆ [0, 1]^{2} er en sammenhængende kurve (f.eks. et liniestykke eller en cirkelbue), så er billedet h(C) et delinterval af [0, 1]. Vi kan finde to sådanne sammenhængende kurver C_{1} og C_{2} beliggende i [0, 1]^{2} sådan at C_{1} ∩ C_{2} består af netop to punkter. (C_{1} kan vælges til at være et liniestykke, og C_{2} kan vælges til at være en cirkelbue — prøv selv!) Da h er injektiv gælder

h(C_{1} ∩ C_{2}) = h(C_{1}) ∩ h(C_{2}).

Mængden på venstre side af lighedstegnet har netop to elementer, og mængden på højre side af lighedstegnet er fællesmængden af to intervaller. Men fællesmængden af to intervaller kan aldrig bestå af netop to elementer (fællesmængden af to intervaller er enten tom, består af netop et element, eller er uendelig). Vi har altså opnået den ønskede modstrid. □

Sætning 3.2 De metriske rum [0, 1] og [0, 1]^{2} er ikke homeomorfe.

Bevis: Hvis [0, 1] og [0, 1]^{2} var homeomorfe, så ville der eksistere en homeomorfi g: [0, 1] → [0, 1]^{2}, og g^{−1} : [0, 1]^{2} → [0, 1] ville da være en kontinuert injektiv afbildning. Men sådan en findes ikke ifølge Sætning 3.1. □

Sætning 3.3 Enhver kontinuert surjektiv afbildning f: [0, 1] → [0, 1]^{2} må nødvendigvis være ikke-injektiv.

Bevis: Antag, for at nå en modstrid, at f: [0, 1] → [0, 1]^{2} er kontinuert, surjektiv og injektiv. Da er f en kontinuert bijektiv afbildning, og da [0, 1] er kompakt giver 5. Hovedsætning om kompakte mængder (Sætning 6.14 i “Metriske Rum”), at f er en homeomorfi. Men en sådan findes ikke ifølge Sætning 3.2. □