Københavns Universitet Eksamen ved det Naturvidenskabelige Fakultet, vinter 2001–2002

Matematik 2AN — 10. januar 2002

3 timers skriftlig prøve. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavesættet består af 10 opgaver og er på 3 sider. Opgaverne er vægtet med pointtal, og summen af pointtal er 200.

Notation: Når intet andet er anført (dvs. i alle opgaver på nær Opgave 4), så udstyres ℝ og ℂ med den sædvanlige metrik d(x, y) = |x − y|.

Opgave 1 (45 point). Afgør om nedenstående påstande er sande eller falske. Giv et kort argument i hvert tilfælde. Hvis der optræder et M, så angiver dette et metrisk rum (med metrik d).

(i) Hvis f: ℝ → M er kontinuert, og hvis F er en afsluttet delmængde af M, så er f^{−1}(F) en afsluttet delmængde af ℝ.

(ii) For enhver kontinuert funktion f: ℝ → M gælder det, at f( ]0, 10[ ) er en åben delmængde af M.

(iii) ℚ (udstyret med den sædvanlige metrik d(x, y) = | x − y|) er fuldstændigt.

(iv) Funktionen f: ℝ → ℝ givet ved f(x) = sin(x) er uniformt kontinuert.

(v) Enhver delmængde af et fuldstændigt metrisk rum er fuldstændigt.

(vi) Der findes et kompakt metrisk rum M og en kontinuert funktion f: M → ℝ, som er på (= surjektiv).

(vii) Fourierrækken for funktionen f(x) = \sqrt{sin(x)^{2} + 5} konvergerer uniformt imod f.

(viii) Rummet C([−1, 1], ℂ) udstyret med den uniforme norm ∥ · ∥_{u} er fuldstændigt.

(ix) Rummet C([−1, 1], ℂ) udstyret med normen ∥ · ∥_{2} givet ved ∥f∥_{2} = ( ∫_{−1}^{1} |f(t)|^{2} dt)^{1/2} er fuldstændigt.

Svar: (i). Sand. (Sætning 3.3 i MR). (ii). Falsk. Tag M = ℝ og f(x) = sin(x). Da er f( ]0, 10[ ) = [−1, 1], som ikke er åben. (iii). Falsk. Jvf. nederst s. 5.1 i MR (eller Sætning 5.3 i MR). (iv). Sand. Idet \frac{d}{dx} sin(x) = cos(x) har vi | sin(x)−sin(y)| = | cos(ξ)(x−y)| ≤ |x−y| (ifølge middelværdisætningen). Så sin(x) er en kontraktion og dermed uniformt kontinuert. (v). Falsk. Kun afsluttede delmængder af fuldstændige metriske rum er fuldstændige (Sætning 5.3 i MR). (vi). Falsk. f(M) er kompakt ifølge Sætning 6.9 i MR, og da ℝ ikke er kompakt (da ℝ ikke er begrænset), kan vi ikke have f(M) = ℝ. (vii). Sand. f er 2πperiodisk og C^{1}. Derfor konvergerer Fourierrækken for f uniformt mod f ifølge Sætning 2.8 i HR. (viii). Sand. Sætning 5.7 (b) eller Sætning 5.8 i MR. (ix). Falsk. Funktionsfølgen (f_{n}) givet ved

f_{n}(t) = \begin{cases}0, & −1 ≤ t ≤ 0, \\ nt, & 0 < t ≤ 1/n, \\ 1, & 1/n < t ≤ 1, \end{cases}

er Cauchy, men ikke konvergent, i (C([−1, 1], ℝ), ∥ · ∥_{2}).

Opgave 2 (15 point). I denne opgave udstyres ℝ × ℝ med produktmetrikken. Betragt delmængden A = [0, 1[ ×]0, 1] af ℝ × ℝ. Bestem det indre, afslutningen, og randen af A.

Svar: Benyt Sætning 4.3 (c) i MR. Vi får da

A^{∘} = [0, 1[^{∘}×]0, 1]^{∘} = ]0, 1[ ×]0, 1[ , \overline{A} = \overline{[0, 1 [} × \overline{]0, 1]} = [0, 1] × [0, 1].

Endelig er

∂A = \overline{A} \A^{∘} = (\{0, 1\} × [0, 1]) ∪ ([0, 1] × \{0, 1\}).

Opgave 3 (15 point). I denne opgave udstyres ℝ^{2} med den sædvanlige metrik, dvs. metrikken hørende til normen ∥ · ∥_{2}. Lad F være en delmængde af ℝ, og sæt

A = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} ∈ F }.

Gør rede for, at A er en afsluttet delmængde af ℝ^{2}, hvis F er afsluttet. [Vink: Kig på funktionen f(x, y) = x^{2} + y^{2}.]

Gør dernæst rede for, at A er kompakt, hvis F er kompakt.

Svar: Idet (x, y) ∈ f^{−1}(F) ⇔ f(x, y) ∈ F ⇔ x^{2}+y^{2} ∈ F ⇔ (x, y) ∈ A, har vi A = f^{−1}(F), og derfor er A afsluttet, hvis F er afsluttet (Sætning 3.3 i MR).

Hvis F er kompakt, så er F afsluttet og begrænset. Derfor er A afsluttet (ifølge ovenstående). Find R så F ⊆]−R, R [. Da er A ⊆ K((0, 0), R), hvilket viser, at A er begrænset. Alt ialt har vi, at A er kompakt (Sætning 6.6 i MR).

Opgave 4 (20 point). Lad d: ℝ × ℝ → ℝ være givet ved

d(x, y) = | e^{ix} − e^{iy}|.

Besvar nedenstående tre spørgsmål. Du skal angive (gerne korte) begrundelser for dine svar.

(i) Er d en metrik på ℝ?

(ii) Er d en metrik på M = ]0, 2π]?

(iii) Sæt igen M = ]0, 2π], og lad x_{n} = 1/n ∈ M. Er følgen (x_{n})_{n=1}^{∞} konvergent i (M, d)?

Svar: (i). Nej. d(0, 2π) = |e^{0} − e^{2πi}| = 0 og 0 ≠ 2π.

(ii). Ja. d(x, y) ≥ 0 for alle x, y ∈ M og d(x, x) = 0. Hvis d(x, y) = 0, så er e^{ix} = e^{iy}, men da t ↦ e^{it} er injektiv på M, så er x = y. Det er klart, at d(x, y) = d(y, x). Endelig,

d(x, y) = |e^{ix} − e^{iy}| = |e^{ix} − e^{iz} + e^{iz} − e^{iy}| ≤ |e^{ix} − e^{iz}| + |e^{iz} − e^{iy}| = d(x, z) + d(z, y).

(iii). Ja. x_{n} → 2π for n → ∞, thi

lim_{n→∞} d(x_{n}, 2π) = lim_{n→∞} |e^{i/n} − e^{i2π}| = lim_{n→∞} |e^{i/n} − 1| = 0.

Opgave 5 (15 point). Gør rede for, at rækken

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} cos(n^{3}x), x ∈ ℝ,

konvergerer uniformt mod en funktion f: ℝ → ℝ, og gør rede for, at f er kontinuert.

Svar: Sæt f_{n}(x) = \frac{1}{n^{2}} cos(n^{3}x). Da er ∥f_{n}∥_{u} ≤ 1/n^{2}. Dermed er

∑_{n=1}^{∞} ∥f_{n}∥_{u} ≤ ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} < ∞.

Vi kan derfor benytte majorantkriteriet (Sætning B.2 i HR) til at konkludere, at ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) er absolut konvergent for alle x ∈ ℝ (hvorved sumfunktionen f = ∑_{n=1}^{∞} f_{n} er defineret), og at ∑_{n=1}^{N} f_{n} → f uniformt for N → ∞. Da ∑_{n=1}^{N} f_{n} er kontinuert for hvert N, følger det af Sætning 3.16 i MR, at grænsefunktionen f er kontinuert.

Opgave 6 (15 point). Lad H være et Hilbertrum med ortonormalbasis (e_{n})_{n=1}^{∞}. Gør rede for, at rækken

x = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{3^{n}} e_{n}

er konvergent i H. Bestem ∥x∥.

Svar: Sætning 1.10 i HR giver, at den uendelige række er konvergent, hvis og kun hvis ∑_{n=1}^{∞} ∥\frac{1}{3^{n}} e_{n}∥^{2} < ∞. Men

∑_{n=1}^{∞} ∥\frac{1}{3^{n}} e_{n}∥^{2} = ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1}{3^{n}} )^{2}∥e_{n}∥^{2} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{9^{n}} = \frac{1/9}{1 − 1/9} = 1/8 < ∞.

Det følger videre af Sætning 1.10, at

∥x∥ = ( ∑_{n=1}^{∞} ∥\frac{1}{3^{n}} e_{n}∥^{2})^{1/2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}.

Opgave 7 (25 point). Betragt funktionen f: [−π, π] → ℝ givet ved

f(x) = \begin{cases}1, & 0 ≤ x ≤ π/2, \\ 0, & ellers. \end{cases}

(i) Bestem Fourierkoefficenterne c_{0}(f) og c_{1}(f).

(ii) Gør rede for, at Fourierrækken ∑_{n∈ℤ} c_{n}(f)e_{n} for f konvergerer punktvis mod en funktion g: [−π, π] → ℝ, og bestem g.

(iii) Bestem ∑_{n∈ℤ} |c_{n}(f)|^{2}. [Vink: Spørgsmålet kan besvares uden først at beregne Fourierkoefficienterne c_{n}(f).]

Svar: (i).

c_{0}(f) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{π/2} 1 dx = 1/4,
c_{1}(f) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{π/2} e^{−ix} dx = \frac{1}{2π} [\frac{1}{−i}e^{−ix}]_{0}^{π/2} = \frac{i}{2π} (e^{−iπ/2} − 1) = \frac{i}{2π} (−i − 1) = \frac{1 − i}{2π}.

(ii). Benyt Korollar 2.4 i HR. Bemærk, at f(−π) = f(π), så f kan udvides til en 2πperiodisk funktion f: ℝ → ℂ. Funktionen f er stykkevist kontinuert: I intervallet [−π, π] har f diskontinuiteter ved t = 0 og t = π/2, og grænserne

lim_{t→0−} f(t) = 0, lim_{t→0+} f(t) = 1, lim_{t→π/2−} f(t) = 1, lim_{t→π/2+} f(t) = 0,

findes. Endvidere er f differentiabel (i [−π, π]) med f′(t) = 0, bortset fra i punkterne t = 0 og t = π/2, og her haves

lim_{t→0+} f′(t) = 0, lim_{t→0−} f′(t) = 0, lim_{t→π/2+} f′(t) = 0, lim_{t→π/2−} f′(t) = 0.

Som bemærket til forelæsningerne implicerer eksistensen af ovenstående grænser, at grænseværdierne f′_{±}(0) og f′_{±}(π/2) findes. Korollar 2.4 giver derfor, at s_{N}(f)(t) → g(t) for alle t ∈ [−π, π], hvor

g(t) = \begin{cases}0, & −π ≤ t < 0, \\ 1/2, & t = 0, \\ 1, & 0 < t < π/2, \\ 1/2, & t = π/2, \\ 0, & π/2 < t ≤ π. \end{cases}

(iii). Vi benytter Parseval’s ligning:

∑_{n∈ℤ}|c_{n}(f)|^{2} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |f(x)|^{2} dx = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{π/2} 1 dx = 1/4.

Opgave 8 (15 point). Gør rede for, at differentialligningen

\frac{dx}{dt} = 1 + x^{4}, (t, x) ∈ ℝ^{2}

har netop én maximal løsning, som opfylder begyndelsesbetingelsen x(0) = 1. (Løsningen skal ikke bestemmes.)

Svar: Eksistens og entydighed af maximal løsning følger af Sætning 7.12 i MR, hvis funktionen f(t, x) = 1 + x^{4} opfylder en lokal Lipschitz betingelse. Ifølge Lemma 7.13 i MR er dette opfyldt, hvis f: ℝ^{2} → ℝ er kontinuert (klart opfyldt!), og hvis den partielle afledede

\frac{∂}{∂x}f(t, x) = 4x^{3}

findes og er kontinuert. Dette ses også at være opfyldt.

Opgave 9 (20 point). Lad X og Y være metriske rum, lad f: X → Y være en kontinuert afbildning og udstyr X × Y med produktmetrikken. Vis at mængden

G(f) = {(x, f(x)) | x ∈ X}

er afsluttet i X × Y.

Svar: Det er ifølge Sætning 2.10 i MR nok at vise, at hvis ((x_{n}, y_{n}))_{n=1}^{∞} er en følge i G(f), som opfylder (x_{n}, y_{n}) → (x, y) ∈ X × Y, da vil (x, y) ∈ G(f).

Da (x_{n}, y_{n}) ∈ G(f), har vi y_{n} = f(x_{n}). Af Sætning 4.3 (d) i MR har vi videre, at x_{n} → x og f(x_{n}) → y for n → ∞. Da f er kontinuert, får vi f(x_{n}) → f(x) for n → ∞. Men så må y = f(x) (da en følge højst kan have ét grænsepunkt). Dette giver endelig, at (x, y) = (x, f(x)) ∈ G(f), som ønsket.

Opgave 10 (15 point). Betragt Schwartzfunktionen ψ: ℝ → ℝ givet ved

ψ(x) = xe^{−x^{2}/2}.

Bestem den Fouriertransformerede ψ̂(k). (Dine mellemregninger skal fremgå af besvarelsen — det er ikke tilstrækkeligt blot at angive svaret med henvisning til et tabelopslag eller en udregning foretaget af din lommeregner.) [Vink: Du må gratis benytte, at φ̂ = φ, hvor φ(x) = e^{−x^{2}/2}.]

Svar: Vi benytter Sætning 2.7 i de supplerende noter “Om Fubinis Sætning og Fouriertransformationen” til at finde

ψ̂(k) = F(ψ)(k) = F(xφ)(k) = iF(φ)′(k) = iφ′(k) = −ike^{−k^{2}/2}.