Københavns Universitet Eksamen ved det Naturvidenskabelige Fakultet, vinter 2001–2002

Matematik 2AN — 10. januar 2002

3 timers skriftlig prøve. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavesættet består af 10 opgaver og er på 3 sider. Opgaverne er vægtet med pointtal, og summen af pointtal er 200.

Notation: Når intet andet er anført (dvs. i alle opgaver på nær Opgave 4), så udstyres ℝ og ℂ med den sædvanlige metrik d(x, y) = |x − y|.

Opgave 1 (45 point). Afgør om nedenstående påstande er sande eller falske. Giv et kort argument i hvert tilfælde, gerne i form af en reference til lærebøgerne. Hvis der optræder et M, så angiver dette et metrisk rum (med metrik d).

(i) Hvis f: ℝ → M er kontinuert, og hvis F er en afsluttet delmængde af M, så er f^{−1}(F) en afsluttet delmængde af ℝ.

(ii) For enhver kontinuert funktion f: ℝ → M gælder det, at f( ]0, 10[ ) er en åben delmængde af M.

(iii) ℚ (udstyret med den sædvanlige metrik d(x, y) = | x − y|) er fuldstændigt.

(iv) Funktionen f: ℝ → ℝ givet ved f(x) = sin(x) er uniformt kontinuert.

(v) Enhver delmængde af et fuldstændigt metrisk rum er fuldstændigt.

(vi) Der findes et kompakt metrisk rum M og en kontinuert funktion f: M → ℝ, som er på (= surjektiv).

(vii) Fourierrækken for funktionen f(x) = \sqrt{sin(x)^{2} + 5} konvergerer uniformt imod f.

(viii) Rummet C([−1, 1], ℂ) udstyret med den uniforme norm ∥ · ∥_{u} er fuldstændigt.

(ix) Rummet C([−1, 1], ℂ) udstyret med normen ∥ · ∥_{2} givet ved ∥f∥_{2} = ( ∫_{−1}^{1} |f(t)|^{2} dt)^{1/2} er fuldstændigt.

Opgave 2 (15 point). I denne opgave udstyres ℝ × ℝ med produktmetrikken. Betragt delmængden A = [0, 1[ ×]0, 1] af ℝ × ℝ. Bestem det indre, afslutningen, og randen af A.

Opgave 3 (15 point). I denne opgave udstyres ℝ^{2} med den sædvanlige metrik, dvs. metrikken hørende til normen ∥ · ∥_{2}. Lad F være en delmængde af ℝ, og sæt

A = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} ∈ F }.

Gør rede for, at A er en afsluttet delmængde af ℝ^{2}, hvis F er afsluttet. [Vink: Kig på funktionen f(x, y) = x^{2} + y^{2}.]

Gør dernæst rede for, at A er kompakt, hvis F er kompakt.

Opgave 4 (20 point). Lad d: ℝ × ℝ → ℝ være givet ved

d(x, y) = | e^{ix} − e^{iy}|.

Besvar nedenstående tre spørgsmål. Du skal angive (gerne korte) begrundelser for dine svar.

(i) Er d en metrik på ℝ?

(ii) Er d en metrik på M = ]0, 2π]?

(iii) Sæt igen M = ]0, 2π], og lad x_{n} = 1/n ∈ M. Er følgen (x_{n})_{n=1}^{∞} konvergent i (M, d)?

Opgave 5 (15 point). Gør rede for, at rækken

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} cos(n^{3}x), x ∈ ℝ,

konvergerer uniformt mod en funktion f: ℝ → ℝ, og gør rede for, at f er kontinuert.

Opgave 6 (15 point). Lad H være et Hilbertrum med ortonormalbasis (e_{n})_{n=1}^{∞}. Gør rede for, at rækken

x = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{3^{n}} e_{n}

er konvergent i H. Bestem ∥x∥.

Opgave 7 (25 point). Betragt funktionen f: [−π, π] → ℝ givet ved

f(x) = \begin{cases}1, & 0 ≤ x ≤ π/2, \\ 0, & ellers. \end{cases}

(i) Bestem Fourierkoefficenterne c_{0}(f) og c_{1}(f).

(ii) Gør rede for, at Fourierrækken ∑_{n∈ℤ} c_{n}(f)e_{n} for f konvergerer punktvis mod en funktion g: [−π, π] → ℝ, og bestem g.

(iii) Bestem ∑_{n∈ℤ} |c_{n}(f)|^{2}. [Vink: Spørgsmålet kan besvares uden først at beregne Fourierkoefficienterne c_{n}(f).]

Opgave 8 (15 point). Gør rede for, at differentialligningen

\frac{dx}{dt} = 1 + x^{4}, (t, x) ∈ ℝ^{2}

har netop én maximal løsning, som opfylder begyndelsesbetingelsen x(0) = 1. (Løsningen skal ikke bestemmes.)

Opgave 9 (20 point). Lad X og Y være metriske rum, lad f: X → Y være en kontinuert afbildning og udstyr X × Y med produktmetrikken. Vis at mængden

G(f) = {(x, f(x)) | x ∈ X}

er afsluttet i X × Y.

Opgave 10 (15 point). Betragt Schwartzfunktionen ψ: ℝ → ℝ givet ved

ψ(x) = xe^{−x^{2}/2}.

Bestem den Fouriertransformerede ψ̂(k). (Dine mellemregninger skal fremgå af besvarelsen — det er ikke tilstrækkeligt blot at angive svaret med henvisning til et tabelopslag eller en udregning foretaget af din lommeregner.) [Vink: Du må gratis benytte, at φ̂ = φ, hvor φ(x) = e^{−x^{2}/2}.]