Matematisk Afdeling 7. november 2001 Institut for Matematiske Fag Mikael Rørdam

Halvvejstest i 2AN

Besvares på 60 minutter.

Opgave 1. Afgør om nedenstående påstande er sande eller falske. Giv korte begrundelser.

(i) Alle kompakte metriske rum er fuldstændige.

(ii) Alle fuldstændige metriske rum er kompakte.

(iii) Funktionen f: ℝ → ℝ givet ved f(t) = t^{3} er uniformt kontinuert.

(iv) Funktionen g: [0, 5] → ℝ givet ved g(t) = \sqrt[3]{t} er uniformt kontinuert.

(v) Hvis A er en åben delmængde af et metrisk rum M, og B er en afsluttet delmængde af M, så er A\B åben.

Opgave 2. I det metriske rum ℝ, udstyret med den sædvanlige metrik d(x, y) = |x − y|, betragtes delmængden

M = [−7, 2[ ∪{3} ∪ [5, 10[ ,

som udstyres med metrikken d fra ℝ (“den inducerede metrik”). I M betragtes delmængden

A = [1, 2[ ∪{3} ∪ [5, 6] ⊆ M.

Bestem det indre, A^{∘}, og afslutningen, \overline{A}, af A relativt til M.

Opgave 3. Betragt rummet C([0, 1], ℝ) udstyret med den sædvanlige uniforme norm ∥ · ∥_{u}, og lad f_{n} ∈ C([0, 1], ℝ) være givet ved

f_{n}(t) = ∑_{j=1}^{n} \frac{1}{j^{2}} t^{2}, t ∈ [0, 1].

Bestem ∥f_{n+1} − f_{n}∥_{u}. Vis herefter, at (f_{n})_{n=1}^{∞} er en Cauchy følge i C([0, 1], ℝ). Er følgen (f_{n})_{n=1}^{∞} konvergent? (Grænsen skal i givet fald ikke bestemmes.)

Opgave 4. Lad (M, d) være et metrisk rum, og lad K_{1} og K_{2} være kompakte delmængder af M. Vis at foreningsmængden K_{1} ∪ K_{2} er kompakt.