Matematisk Afdeling 21. august 2001 Institut for Matematiske Fag Mikael Rørdam

Mat 2AN — Analyse – E01 — Ugeseddel nr. 1

Kursets hjemmeside: Den meste information om kurset vil være at finde på kursets

hjemmeside http://www.math.ku.dk/∼rordam/2AN.html, som løbende vil blive opdate-

ret.

Forelæsningerne i uge 36: Her gennemgås §1 i MR (Christian Berg: Metriske rum) om metriske og normerede rum.

1. obligatoriske hjemmeopgave — afleveres i uge 38: Opgave 1.3 i MR.

Øvelserne i uge 37: Her regnes opgaverne: 1.1, 1.2, 1.4, 1.5 [Vælg a = 1/6 og r = 1/3 for det metriske rum [0, 1], og vælg a = (0, 0) og r = 1 for det metriske rum ℝ^{2} (med tre forskellige metrikker)], 1.6, 1.11^{†} i MR og de tre supplerende opgaver nedenfor.

Opgaver mærket med ^{†} er særligt udfordrende.

Opgave 1: Lad X = {x, y, x} være en mængde med tre punkter, x, y og z.

(i) Gør rede for, at der findes en metrik d på X, som opfylder:

d(x, y) = a,  d(y, z) = b,  d(z, x) = c,

hvis og kun hvis a, b og c er reelle tal som opfylder

a > 0, b > 0, c > 0, a + b ≥ c, b + c ≥ a, c + a ≥ b.

[figure: x; y; z; c; b; a]

(ii) Gør rede for, at der findes en metrik d på X som opfylder d(x, y) = 1, d(y, z) = 3 og d(z, x) = c hvis og kun hvis 2 ≤ c ≤ 4.

(iii) Antag nu, at a, b og c opfylder ulighederne i (i). Vis at der findes tre (indbyrdes forskellige) punkter x_{0}, y_{0} og z_{0} i planen ℝ^{2} således at

∥x_{0} − y_{0}∥_{2} = a,  ∥y_{0} − z_{0}∥_{2} = b,  ∥z_{0} − x_{0}∥_{2} = c.

Opgave 2: Lad X være en mængde, og lad d_{1} og d_{2} være metrikker på X. Sæt

d_{3}(x, y) = max{d_{1}(x, y), d_{2}(x, y)},  d_{4}(x, y) = min{d_{1}(x, y), d_{2}(x, y)},  x, y ∈ X.

Vis at d_{3} er en metrik på X. Vis ved et eksempel, at d_{4} ikke altid er en metrik (benyt f.eks. Opgave 1 til at konstruere et modeksempel).

Opgave 3: Lad [a, b] være et delinterval af den reelle akse ℝ (og antag a < b). Lad ℝ^{+} betegne mængden af ikke-negative reelle tal.

(i) Lad f: [a, b] → ℝ^{+} være en kontinuert funktion som opfylder ∫_{a}^{b} f(x)dx = 0. Vis at f(x) = 0 for alle x ∈ [a, b]. [Vink: Antag der findes x_{0} ∈ [a, b] så f(x_{0}) > 0. Vis at så findes ε > 0 og δ > 0 så f(x) ≥ ε for alle x ∈ [a, b] ∩ [x_{0} − δ, x_{0} + δ]. Benyt dette til at vise, at ∫_{a}^{b} f(x)dx > 0.]

(ii) Lad C([a, b]) være vektorrummet af kontinuerte funktioner f: [a, b] → ℂ. Gør rede for, at der ved

∥f∥_{1} = ∫_{a}^{b} |f(x)|dx

defineres en norm på C([a, b]). [Vink: Benyt bl.a. spørgsmål (i).]

(iii) Kig nu på tilfældet, hvor [a, b] = [0, 1]. Sæt f_{n}(t) = t^{1/n} og f(t) = 1 for t ∈ [0, 1]. Vis at f_{n} → f mht. ∥ · ∥_{1}, og at der ikke gælder f_{n} → f mht. ∥ · ∥_{u}