Matematisk Afdeling 25. november 2001 Institut for Matematiske Fag Mikael Rørdam

Mat 2AN — Analyse – E01 — Ugeseddel nr. 12

Forelæsningerne i uge 47: §1 i HR om Hilbertrum blev læst færdigt. (Jeg gennemgik kun sidste halvdel af Sætning 1.16 — læs selv første halvdel.) Vi fortsatte i uddelte supplerende noter om Lebesgue integralet. (Disse noter kan også hentes fra kursets hjemmeside.) Formålet hermed er at etablere Hilbertrummet L_{2}([a, b]). Vi nåede frem til og med Sætning 1.10 (om Borelfunktioner).

Hovedemner fra sidste uges forelæsning: Repetition af definitionen af span{x_{i} | i ∈ ℕ} (og mere generelt span(A)) i Hilbertrum. Repetition af afsluttede (og ikke-afsluttede) underrum i Hilbertrum. Ortonormale sæt og ortonormalbaser for Hilbertrum. Herunder den vigtige konvergente række u = ∑_{j=1}^{∞}(x, e_{j}) e_{j} for x ∈ H hørende til et ortonormalt sæt (e_{j})_{j∈ℕ}. Beviserne for Sætning 1.13, 1.14 og 1.15. Separable Hilbertrum og sætning om eksistens af tællelige ortonormalbaser i separable Hilbertrum (Sætning 1.16).

Introduktion til Lebesgue integralet (Sætning 1.3 om integration efter x- hhv. y-aksen). Borelmængder, Lebesguemålet og Borelfunktioner.

Forelæsningerne i uge 48: De supplerende noter om Lebesgue integralet læses færdigt, og vi fortsætter i HR §2 om Fourierrækker.

Trykfejl i supplerende noter om Lebesgue integralet: I næstsidste linie side 5 skal “f_{−}(t) = min{−f(t), 0}” rettes til “f_{−}(t) = max{−f(t), 0}”. Betingelse (m3) skal ændres til:

(m3) m( ]a, b[ ) = b − a for alle a, b ∈ ℝ med a < b.

12. og sidste obligatoriske hjemmeopgave — afleveres i uge 50: Opgave 3 (a), (b),

(c) og (d) fra 2AN eksamenen juni 1999.

Øvelserne i uge 49: Opgave 4, 5, 6, 7 og 8 i de supplerende noter om Lebesgue integralet (+ opgaverne fra sidste ugeseddel, som I ikke nåede at regne). Regn endvidere den supplerende opgave, og opgave 2.1, 2.2 og 2.14 i HR.

Opgave 1: Vis at der ikke findes noget indre produkt (·, ·)_{u} på C([0, 1], ℂ), som opfylder

(f, f)_{u} = ∥f∥_{u}^{2}, f ∈ C([0, 1], ℂ),

hvor ∥ · ∥_{u} som sædvanligt er givet ved ∥f∥_{u} = sup{|f(t)| | t ∈ [0, 1]}. [Vink: Paralellogramidentiteten!]