Matematisk Afdeling 30. november 2001 Institut for Matematiske Fag Mikael Rørdam

Mat 2AN — Analyse – E01 — Ugeseddel nr. 13

Forelæsningerne i uge 48: De supplerende noter om Lebesgue integralet blev læst færdigt. Jeg fortsatte med en introduktion til Fourierrækker svarende til §2.1 i HR.

Hovedemner fra sidste uges forelæsning: Lebesgue integralet af positive Borelfunktioner, Lebesgue integralet af integrable reelle og komplexe Borelfunktioner (herunder begrebet integrabilitet og rummene L(I, ℝ) og L(I, ℂ)). Egenskaber ved Lebesgue integralet, især de to konvergenssætninger: Lebesgues sætning om monoton konvergens og Lebesgues sætning om majoriseret konvergens. Nulmængder og “næsten overalt”. Rummene L_{2}(I) og L_{2}(I) (herunder ækvivalensklasser af funktioner mht. ækvivalensrelationen “∼”, og det vigtige faktum, at L_{2}(I) er et Hilbertrum).

Hilbertrummet L_{2}([−π, π]), det ortonormale sæt (e_{n})_{n∈ℤ} givet ved e_{n}(x) = e^{inx}, Fourierkoefficienterne

c_{n}(f) = (f, e_{n}) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(x)e^{−inx} dx, f ∈ L_{2}([−π, π]),

(c_{n}(f) er også defineret for f ∈ L_{1}([π, π]) = L([π, π], ℂ)), og den tilhørende Fourierrække ∑_{n∈ℤ} c_{n}(f)e_{n}.

Forelæsningerne i uge 49: Her læses §§2.2–2.3 i HR om punktvis og uniform konvergens af Fourierrækker. Beviset for Dinis test (Sætning 2.2) gennemgås ikke (ihvertfald ikke i detaljer!).

Status over obligatoriske afleveringsopgaver og projekt: Husk, at det er et krav for at kunne indstille sig til eksamenen i 2AN, at du har fået godkendt projekt og mindst 9 ud af de 12 obligatoriske afleveringsopgaver (eller at du har fået godkendt opgave- og projektdelen af 2AN i et tidligere semester, og at dette er registreret af din instruktor).

Alle tilmeldte 2AN studerende vil midt i næste uge (uge 49) få tilsendt en email med oplysning om, hvor de står mht. godkendelse af opgaver og projekt. Studerende, som i uge 51 ikke har opfyldt de obligatoriske krav, vil blive frameldt eksamenen.

Øvelserne i uge 50: Her regnes eventuelle hængepartier fra Ugeseddel 12 samt opgaverne 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.8, (2.9), (2.10), (2.15) fra HR, og eksamensopgaverne Januar 00: opgave 4, Juni 96: opgave 2 og Januar 98: opgave 3. (Opgaverne 2.3 og 2.5 har været omtalt til forelæsningerne.)

Opgaver i parantes regnes hvis tiden tillader det.