Matematisk Afdeling 7. december 2001 Institut for Matematiske Fag Mikael Rørdam

Mat 2AN — Analyse – E01 — Ugeseddel nr. 14

Forelæsningerne i uge 49: Her blev §§2.2–2.3 i HR om punktvis og uniform konvergens af Fourierrækker gennemgået. Beviserne for Riemann–Lebesgues’ Lemma (Sætning 2.1), Dinis test (Sætning 2.2) og Sætning 2.9 blev ikke gennemgået. Disse beviser er ikke pensum, men sætningerne skal kendes og er pensum. Jeg gennemgik også Appendix B i følgende reviderede form:

Sætning B2. Lad (f_{n})_{n=1}^{∞} være en følge i B(M, ℂ) og sæt s_{N} = ∑_{n=1}^{N} f_{n}. Antag at ∑_{n=1}^{∞} ∥f_{n}∥_{u} < ∞. Da er rækken ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) absolut konvergent for alle x ∈ M (hvorved sumfunktionen ∑_{n=1}^{∞} f_{n} er defineret), og s_{N} → f uniformt for N → ∞.

Forelæsningerne i uge 50: Jan Philip Solovej holder disse forelæsninger, da jeg er bortrejst til en konference. Han vil fortælle om Fouriertransformationen (efter supplerende noter, som lægges på nettet d. 8/12 (sent), og som uddeles til forelæsningen d. 11/12).

Øvelserne i uge 51: Opgave 6.4, 6.5, 6.8^{∗}, 6.9 i HR de 2 supplerende opgaver, og eksamensopgaverne Juni 00: opgave 3, og Januar 01: opgave 2. Benyt gerne supplerende opgave 1 til besvarelsen af opgaverne i HR. (^{∗}) Erstat vinket i Opgave 6.8 med “Benyt inversionsformlen og opgave 6.5 til at vise, at ...”.

Opgaver i parantes regnes hvis tiden tillader det.

Opgave 1. Lad f ∈ L_{1}(ℝ). Vis at

F(f)(k) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{∞} f(x) cos(kx) dx = \sqrt{\frac{2}{π}} ∫_{0}^{∞} f(x) cos(kx) dx,

hvis f er lige (dvs. hvis f(−x) = f(−x) for alle x ∈ ℝ), og at

F(f)(k) = \frac{−i}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{∞} f(x) sin(kx) dx = −i\sqrt{\frac{2}{π}} ∫_{0}^{∞} f(x) sin(kx) dx,

hvis f er ulige (dvs. hvis f(−x) = −f(x) for alle x ∈ ℝ). [Vink: Bemærk først, at

∫_{−∞}^{∞} f(x)e^{−ikx} dx = ∫_{−∞}^{∞} f(−x)e^{ikx} dx.]

Opgave 2. Lad f ∈ S(ℝ) være givet. Benyt inversionsformlen til at vise at F^{2}(f)(x) = f(−x). Vis herefter, at F^{4}(f) = f. Sæt

f_{n} = \frac{1}{4}(f + (−i)^{n}F(f) + (−1)^{n}F^{2}(f) + i^{n}F^{3}(f)), n = 0, 1, 2, 3.

Vis at F(f_{n}) = i^{n}f_{n} for n = 0, 1, 2, 3, og at f = f_{0} + f_{1} + f_{2} + f_{3}.