Matematisk Afdeling 7. september 2001 Institut for Matematiske Fag Mikael Rørdam

Mat 2AN — Analyse – E01 — Ugeseddel nr. 2

Forelæsningerne i uge 36: §1 i MR om metriske og normerede rum blev gennemgået; dog blev Kuglelemma 1.6 og beviset for Sætning 1.11 udskudt til næste uge.

Hovedemner fra sidste uges forelæsning: Definition af metriske og normerede rum. Bemærk at ethvert normeret rum også er et metrisk rum ved fastsættelsen: d(x, y) = ∥x − y∥. Eksempler på metriske og normerede rum. Punktfølger i metriske rum (herunder især konvergens). Funktionsrummene F(M, ℝ) og B(M, ℝ) (og deres komplekse analoger), og sup-normen

∥f∥_{u} = sup{|f(x)| | x ∈ M}

på B(M, ℝ). Kugler K(a, r) i metriske rum.

Forelæsningerne i uge 37: Her læses §1 færdigt. Vi fortsætter med en kort gennemgang af nogle mængdeoperationer (beskrevet i de supplerende noter nedenfor), og derefter tager vi fat på §2.

2. obligatoriske hjemmeopgave — afleveres i uge 39: Vis de første 4 identiteter i Opgave 2.5 i MR (dvs. (i) A ⊆ B ⇒ A^{∘} ⊆ B^{∘}, (ii) A ⊆ B ⇒ \overline{A} ⊆ \overline{B}, (iii) (A ∩ B)^{∘} = A^{∘} ∩ B^{∘}, (iv) \overline{A ∪ B} = \overline{A} ∪ \overline{B}.)

Øvelserne i uge 38: Her regnes opgaverne: 2.1, 2.2, 2.5 (den del, som ikke er omfattet af hjemmeopgaven), 2.7, og 2.11^{†} i MR. Desuden regnes Opgaven i noterne nedenfor, og der skal gives et bevis for de Morgan’s 2. regel. Gennemgå evt. også Eksempel 1–3 i noterne nedenfor. Er der mere tid, så regnes opgave 2.6 (hvis ikke der er tid, så regnes denne opgave næste uge).

Opgaver mærket med ^{†} er særligt udfordrende.

Supplerende Noter: Lidt om mængdelære.

Hvis A og B er delmængder af en mængde M, så kan vi danne A ∪ B (foreningsmængden), A∩B (snitmængden), A\B (differensmængden) og ∁A = M \A (komplementærmængden). Disse mængder kan formelt defineres således:

x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A eller x ∈ B,  (1)
x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A og x ∈ B,  (2)
x ∈ A \B ⇔ x ∈ A og x ∉ B,  (3)
x ∈ ∁A ⇔ x ∉ A.  (4)

(I det sidste udsagn antages det, at x ligger i M.) Vi kan også danne foreningen og snittet af uendelig mange delmængder af M. Hvis A_{1}, A_{2}, … er en følge af delmængder af M, så defineres

⋃_{n=1}^{∞} A_{n} = A_{1} ∪ A_{2} ∪ A_{3} ∪ ⋯,  ⋂_{n=1}^{∞} A_{n} = A_{1} ∩ A_{2} ∩ A_{3} ∩ ⋯,

ved

x ∈ ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} ⇔ ∃n ∈ ℕ : x ∈ A_{n},  (5)

x ∈ ⋂_{n=1}^{∞} A_{n} ⇔ ∀n ∈ ℕ : x ∈ A_{n}.  (6)

Mere generelt, hvis I er en vilkårlig mængde, og hvis vi for hvert i ∈ I har en delmængde A_{i} af M, så siges {A_{i}}_{i∈I} at være en familie af delmængder af M, og ⋃_{i∈I} A_{i} og ⋂_{i∈I} A_{i} defineres ved

x ∈ ⋃_{i∈I} A_{i} ⇔ ∃i ∈ I : x ∈ A_{i},  (7)
x ∈ ⋂_{i∈I} A_{i} ⇔ ∀i ∈ I : x ∈ A_{i}.  (8)

Bemærk negationerne til (7) og (8):

x ∉ ⋃_{i∈I} A_{i} ⇔ ∀i ∈ I : x ∉ A_{i},  (9)
x ∉ ⋂_{i∈I} A_{i} ⇔ ∃i ∈ I : x ∉ A_{i}.  (10)

Bevisregler: Lad A og B være to delmængder af en mængde M. Da gælder: • A ⊆ B hvis og kun hvis x ∈ A ⇒ x ∈ B for alle x ∈ M.

• A = B hvis og kun hvis x ∈ A ⇔ x ∈ B for alle x ∈ M.

• Det kan endelig bruges, at A = B hvis og kun hvis A ⊆ B og B ⊆ A.

Bemærkning. Lad (A_{i})_{i∈I} være en familie af delmængder af en mængde M og lad B være en delmægnde af M. Da gælder:

B ⊆ ⋂_{i∈I} A_{i} ⟺ ∀i ∈ I : B ⊆ A_{i},  ⋃_{i∈I} A_{i} ⊆ B ⟺ ∀i ∈ I : A_{i} ⊆ B.

Eksempel 1. Vi har følgende to identiteter:

⋂_{n=1}^{∞} ] − 1/n, 1 + 1/n[ = [0, 1],  ⋃_{n=1}^{∞} [1/n, 1 − 1/n] = ]0, 1[.

Bevis: Den første påstand kan vises således:

x ∈ ⋂_{n=1}^{∞} ] − 1/n, 1 + 1/n[ ⇔^{(6)} ∀n ∈ ℕ : x ∈ ] − 1/n, 1 + 1/n[
⇔ ∀n ∈ ℕ : −1/n < x < 1 + 1/n
⇔^{∗} 0 ≤ x ≤ 1
⇔ x ∈ [0, 1].

Overvej biimplikationen mærket med ∗. Vis selv den anden påstand. Eksempel 2. For enhver mængde A har vi A = ⋃_{x∈A}{x}. (Overvej selv hvorfor!) Eksempel 3. Der gælder:

[0, 4] \ℤ = ⋃_{n=1}^{4} ]n − 1, n[, ℝ = ⋃_{n∈ℤ}[n, n + 1[ , ∅ = ⋂_{r>0} ]0, r[.

Den mellemste identitet indses ved at bruge Archimedes princip, der implicerer, at der til ethvert reelt tal x findes et (og kun et) helt tal n så n ≤ x < n + 1. Den tredje identitet kan indses ved at antage x ∈ ⋂_{r>0} ]0, r[ og derefter søge en modstrid!

Opgave. Lad (M, d) være et metrisk rum, og definer for hvert a ∈ M og for hvert r > 0 den lukkede kugle

\underline{K}(a, r) = \{x ∈ M | d(x, a) ≤ r\}

(jvf. Opgave 2.7 i MR). Vis at

\underline{K}(a, r) = ⋂_{s ∈ ]r,∞[} K(a, s),  ⋃_{s ∈ ]0,r[} \underline{K}(a, s) = K(a, r).

Sætning — de Morgan’s regler. For enhver familie (A_{i})_{i∈I} af delmængder af en mængde M gælder:

1. ∁( ⋃_{i∈I} A_{i}) = ⋂_{i∈I} ∁A_{i},

2. ∁( ⋂_{i∈I} A_{i}) = ⋃_{i∈I} ∁A_{i}.

Bevis: Regel 1 vises nedenfor — beviset for påstand 2 er tilsvarende og overlades til læseren.

x ∈ ∁( ⋃_{i∈I} A_{i}) ⇔^{(4)} x ∉ ⋃_{i∈I} A_{i} ⇔^{(9)} ∀i ∈ I : x ∉ A_{i} ⇔^{(4)} ∀i ∈ I : x ∈ ∁A_{i} ⇔^{(8)} x ∈ ⋂_{i∈I} ∁A_{i}.