Matematisk Afdeling 17. september 2001 Institut for Matematiske Fag Mikael Rørdam

Mat 2AN — Analyse – E01 — Ugeseddel nr. 3

Ænding af forelæsningslokale: Torsdag d. 27. september er vi smidt ud af Auditorium 1 (da dette lokale skal bruges til andet formål). Istedet har vi fået Auditorium 2. Husk altså at møde op i Auditorium 2 istedet for Auditorium 1 denne torsdag.

Forelæsningerne i uge 37: §1 i MR (Kuglelemma 1.6 og beviset for Sætning 1.11) blev gennemgået. Herefter blev de supplerende noter om mængdelære fra ugeseddel 2 gennemgået. Vi fortsatte i §2 med åbne og lukkede mængder, frem til og uden §2.3.

Hovedemner fra sidste uges forelæsning: De supplerende noter omhandler især vilkårlige forenings- og snit- (= fælles-) mængde dannelser: ⋃_{i∈I} A_{i} og ⋂_{i∈I} A_{i}. I §2 blev følgende begreber fastlagt: det indre A^{∘}, randen ∂A, det ydre ydre(A), og afslutningen \overline{A} af en delmængde A af et metrisk rum M. En lang række relationer mellem disse mængder og deres komplementer blev gennemgået. En delmængde A af M kaldes åben hvis A = A^{∘} og A kaldes afsluttet (= lukket) hvis A = \overline{A}. A er åben hvis og kun hvis ∁A er afsluttet. A^{∘} blev karakteriseret som den største åbne mængde, som er indeholdt i A, og \overline{A} er den mindste afsluttede mængde, som indeholder A. Endvidere er beviserne i §2 instruktive og vigtige at lære!!

Forelæsningerne i uge 38: Her læses §2.3 om ækvivalente metrikker. §2.4 bliver nok sprunget over. Vi fortsætter med §3, som handler om kontinuerte afbildninger mellem metriske rum.

3. obligatoriske hjemmeopgave — afleveres i uge 40: Opgave 3.3.

Øvelserne i uge 39: Her regnes opgaverne: 2.3, 2.6, 3.2, 3.6, 3.7, og de fire supplerende opgaver. (Opgave 3.7 og Supplerende opgave 1 kan evt. overspringes, hvis ikke der er tid.)

Supplerende opgave 1: Lad X og Y være metriske rum og lad f, g: X → Y være kontinuerte afbildninger. Vis at {x ∈ X | f(x) = g(x)} er en afsluttet delmængde af X. (Benyt dette resultat til at give et nyt bevis for Sætning 3.4.)

Supplerende opgave 2: Lad f: X → Y være en kontinuert funktion mellem metriske rum X og Y. Lad A være en delmængde af X og lad x ∈ X. Afgør om:

(i) x ∈ \overline{A} ⇒ f(x) ∈ \overline{f(A)}.

(ii) f(x) ∈ \overline{f(A)} ⇒ x ∈ \overline{A}.

(iii) x ∈ A^{∘} ⇒ f(x) ∈ f(A)^{∘}.

(iv) f(x) ∈ f(A)^{∘} ⇒ x ∈ A^{∘}.

Supplerende opgave 3: Lad f: ℝ^{2} → ℝ være givet ved

f(x, y) = \begin{cases}xy/(x^{2} + y^{2}), & (x, y) ≠ (0, 0), \\ 0, & (x, y) = (0, 0). \end{cases}

(i) Vis at f er kontinuert i hver variabel (dvs. at funktionerne x ↦ f(x, y_{0}) og y ↦ f(x_{0}, y) er kontinuerte for alle x_{0}, y_{0} ∈ ℝ).

(ii) Find en følge (z_{n})_{n=1}^{∞} i ℝ^{2} således at z_{n} → (0, 0) mens f(z_{n}) ↛ f(0, 0), og konkluder, at f ikke er kontinuert.

Supplerende opgave 4: Lad (X, d) være et metrisk rum. For hver delmængde A af X defines indikatorfunktionen 1_{A}: X → ℝ ved

1_{A}(x) = \begin{cases}1, & x ∈ A, \\ 0, & x ∉ A. \end{cases}

(i) Vis at 1_{A} er kontinuert i alle punkter x beliggende i A^{∘} ∪ ydre(A).

(ii) Vis at 1_{A} er (overalt) kontinuert hvis og kun hvis A er clopen (= åben og afsluttet).

Repetitionsforløb i Mat1GB og Sat0B. Mat1GB holdet er skemalagt til onsdage kl. 10–12 i Bosch 11 og torsdage kl. 11–13 i A107. Første gang onsdag d. 12. september. Stat0B holdet er skemalagt til tirsdage kl. 12–14 i E35A og torsdage kl. 9–11 i Bosch 2.