3MI-eksamen — Forårspensum — 11. juni 1999

Opgave 1 — stilopgave (100 point)

Formuler og bevis Fischer’s fuldstændighedssætning

For at komme godt igang med beviset for Fischer’s sætning, oplyses det, at man begynder med en følge g_{k} ∈ L_{p}, hvorom det gælder, at ∑_{k=1}^{∞} ∥g_{k}∥_{p} < ∞. Undervejs i beviset får man brug for at kigge på funktionen

h(x) = ∑_{k=1}^{∞} |g_{k}(x)|.

Man kan endvidere gratis benytte Sætning 7.10, som siger følgende:

Lad f_{n} ∈ L(X, 𝔼, μ), n = 1, 2, …, og lad f være en målelig funktion så lim_{n} f_{n}(x) = f(x) for μ-næsten alle x ∈ X. Hvis der findes g ∈ M^{+}(X, 𝔼) med ∫ g^{p}dμ < ∞, — (vi regner ∞^{p} = ∞) —, således at |f_{n}| ≤ g μ-n.o. for ethvert n ∈ ℕ, da er f ∈ L_{p}(X, 𝔼, μ) og

∥f_{n} − f∥_{p} → 0 for n → ∞.

Et godt råd: Med til beviset for fuldstændighedssætningen hører Sætning 7.16, som udtaler sig om fuldstændighed og absolut konvergente rækker. Din besvarelse bør indeholde en formulering af denne sætning men udskyd beviset for Sætning 7.16 til sidst

Opgave 2 (5 point) Giv tre forskellige eksempler på σ-algebraer på den reelle akse ℝ.

Opgave 3 (15 point) Sæt

g(t) = ∫_{0}^{1} sin(x^{2} + t^{2})dx, t ∈ ℝ.

Gør rede for, at g er kontinuert og differentiabel, og at

g′(t) = ∫_{0}^{1} 2t cos(x^{2} + t^{2})dx.

Opgave 4 (10 point) Gør omhyggeligt rede for, at

∫_{0}^{1} ( ∫_{0}^{1} sin(\sqrt{xy + x})dx)dy = ∫_{0}^{1} ( ∫_{0}^{1} sin(\sqrt{xy + x})dy)dx.

Opgave 5 (10 point) Bestem

∫_{ℝ} ∑_{n=1}^{∞}(−1/2)^{n}1_{[n,n+1]}dm.

Der skal argumenteres omhyggeligt. Opgave 6 (15 point) Betragt det målbare rum (ℕ, P (ℕ)). Lad μ være tællemålet på (ℕ, P (ℕ)), og lad ε_{n} være Diracmålet i n på (ℕ, P (ℕ)). Gør rede for, at μ + ε_{2} + ε_{4} er et mål på (ℕ, P (ℕ)). Bestem

∫_{ℕ} fd(μ + ε_{2} + ε_{4}),

hvor f: ℕ → ℝ er givet ved f(n) = 2^{−n}. Opgave 7 (15 point) Betragt målrummet (ℝ, 𝔹(ℝ), m). Sæt f_{n} = n^{2}1_{[n,n+n^{−5}]}.

(i) Gør rede for, at f_{n} → 0 punktvis overalt. (ii) For hvilke p, 1 ≤ p < ∞, gælder f_{n} → 0 i p-middel?

Opgave 8 (10 point) Gør omhyggeligt rede for, at

lim_{n→∞} ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{x^{2} + n^{2}} cos(\sqrt{x^{2} + n^{2}})dx = 0.

Opgave 9 (20 point) Betragt delmængden E af ℝ^{2} givet ved

E = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | |x| + |y| ≤ 1}.

(i) Gør rede for, at E er en Borelmængde. (ii) Bestem snittet E_{x} for alle x i ℝ. (iii) Idet m som sædvanligt angiver Lebesguemålet på ℝ og ε_{1/2} er Diracmålet i 1/2,

ønskes (ε_{1/2} ⊗ m)(E) bestemt.