Fra Matematik 1 er det velkendt, at symmetriske matricer kan diagonaliseres i en ortonormal basis. Basisvektorerne er egenvektorer for den symmetriske matrix, og diagonalelementerne i diagonalmatricen er de tilhørende egenværdier. Mængden af disse egenvektorer kaldes spektret for matricen. I Matematik 3AN vil man til sidst i kurset have set diagonalisering af kompakte selv-adjungerede operatorer som en generalisation. Resultatet er igen, at egenvektorerne udgør en ortonormal basis for det underliggende Hilbert rum, og igen kalder man mængden af egenværdier spektret. Denne teori for kompakte operatorer vil blive repeteret i kurset.
Hovedsætningen i Matematik 4AN er en generalisation til ikke-kompakte selv-adjungerede operatorer på Hilbert rum. Den er vigtig, fordi mange af de operatorer der optræder "naturligt" netop ikke er kompakte. For eksempel er multiplikation med funktionen $x$ en begrænset operator på L2([0,1]) som ikke er kompakt. Det er let at se, at denne operator slet ingen egenvektorer har (hvis xf(x)=lambda f(x) for alle x, må f(x)=0 undtagen for x=lambda, og det medfører jo at f=0). Der er altså intet håb om at operatorens egenvektorer udgør en ortonormal basis. Når man alligevel opnår en spektralsætning som kan bruges på denne operator er det ved først at generalisere selve egenværdibegrebet.
Vi vil i kurset også se på nogle eksempler og anvendelser af denne spektralsætning, indenfor partielle differentialligninger og repræsentationsteori for grupper. Endvidere vil vi generalisere et skridt videre, idet vi vil vise en spektralsætning for kommutative C*-algebraer, hvilket vil sige at vi samtidig diagonaliserer flere operatorer (det er vigtigt indenfor matematisk fysik og operatoralgebra).
Udover symmetriske matricer i det endelig dimensionale tilfælde kan man nævne Fourierrækker, som et kendt eksempel på spektralsætningen. Et kendt resultat fra Matematik 2AN er, at funktionerne en(t)=eint udgør en ortonormal basis for Hilbertrummet af 2 pi-periodiske funktioner som er L2 på periodeintervallet, eller ækvivalent hermed, rummet af L2-funktioner på cirklen. Dette resultat kan faktisk ses som et eksempel på spektralsætningen. I Mat 4AN vil vi sætte resultatet ind i en generel ramme af repræsentationsteori for kompakte grupper, idet vi som eksempel på anvendelse af spektralsætningen vil vise den såkaldte Peter-Weyl sætning, der beskæftiger sig med rummet af L2 funktioner på en kompakt gruppe. Vi vil også studere Fouriertransformation, som er en beslægtet teori for såkaldte Fourier integraler på Rn.
I forbindelse med studiet af partielle differentialligninger er distributioner et uomgængeligt redskab. Distributioner er en slags generaliserede funktioner. Et velkendt eksempel er Diracs delta-"funktion". Vi vil introducere dem og se på hvorledes de benyttes i studiet af elliptiske differentialoperatorer.
Man kan tale om et spektrum i mange sammenhænge. Brintatomet har et spektrum, Riemannske mangfoldigheder har et spektrum, områder i Rn har et spektrum, en violinstreng eller en tromme har et spektrum. Når man taler om, at en bro eller en flyvinge har egensvingninger er der også tale om et spektrum. I alle disse tilfælde er spektret en lukket mængde af reelle tal, der i en vis forstand beskriver objektet. Spektret er i alle disse tilfælde defineret ud fra den spektralteori, der diskuteres i Matematik 4AN.
I de senere år har Matematik 4AN været alternerende udbudt i to versioner, henholdsvis rettet mod specialisering indenfor operatoralgebra (lige årstal) og partielle differentialligninger (ulige årstal). I 2003 udgaven af kurset, som gentages i år, brød jeg med denne tradition og forsøgte at gabe over lidt af hvert, plus lidt repræsentationsteori. Håbet er, at kurset dermed appelerer til flere. Prisen er naturligvis at vi ikke når at gå helt så dybt med nogen af emnerne. Til gengæld vil man (forhåbentlig) opnå et godt overblik over mulighederene for videre studier indenfor analyse.
Der vil være mulighed for at holde seminar og for at skrive fagprojekt i tilknytning til kurset.
Lærebogen: Essential Results of Functional Analysis af R.J. Zimmer. Her er hvad anmelderen skrev i Math Reviews: "This superb little book contains material for a one-semester course. It assumes familiarity with the rudiments of real-variable theory: integration and elementary facts about Banach and Hilbert spaces. The necessary background is summarized in 12 pages. The remaining 140 pages are packed with an impressive amount of high quality information: locally convex spaces, Schwartz distributions, Fourier transforms, Sobolev spaces and the embedding theorems of Sobolev and Rellich; the Krein-Milman theorem and the fixed point theorem of Kakutani-Markov, and as an application the existence of invariant measures on compact groups; the spectral theorems for compact operators on a Banach space and for bounded selfadjoint operators on a Hilbert space, as well as Gelfand's theory of commutative C*-algebras, with the Peter-Weyl theorem and the mean ergodic theorem as applications; the hypoellipticity and spectral theory of elliptic partial differential operators. In spite of the brevity of the book the proofs are written out in detail and with utmost clarity. The author consistently finds the most elegant and streamlined treatment, thus, e.g., locally convex topologies are defined by families of seminorms, and convex balanced neighborhoods of the origin figure only in the exercises, of which there is an excellent collection at the end of each of the six chapters."
Forudsætninger. Matematik 3AN er en helt nødvendig forudsætning. Endvidere forudsættes et vist kendskab til målteori, så 3MI vil være en fordel. Hvis du ikke har taget 3MI og gerne vil følge dette kursus, så skriv til mig, så kan jeg hjælpe med at finde ud af hvad du mangler.
Evaluering. Jeg vil løbende stille opgaver til skriftlig aflevering. To gange i løbet af kurset stiller jeg et et lidt større sæt af opgaver. Evaluering vil ske på grundlag af besvarelsen af de større sæt opgaver. Man kan individuelt vælge mellem bestået/ikke bestået eller 13-skalaen.
Skemaoplysninger. SIS