Topologi

Vi minder her om nogle af de mest grundlæggende topologiske begreber.

Definition 1

  En mængde X kaldes et topologisk rum   med topologien ${\cal{T}}$, såfremt der findes en familie ${\cal{T}}$ af delmængder af X, der opfylder:

• $X\in {\cal{T}}$ og $\emptyset \in{\cal{T}}$.
• $O_1,\dots,O_r\in{\cal{T}}\Rightarrow O_1\cap\dots\capO_r\in {\cal{T}}$.
• Hvis $\{O_\alpha\}_{\alpha\in A}\subseteq {\cal{T}}$, da er $\cup_{\alpha\in A}O_\alpha\in {\cal{T}}$.

Elementerne i ${\cal{T}}$ kaldes de åbne  delmængder.

Hvis $x\in X$ er en omegn om ${\pmb x}$  per definition en åben delmængde O, så $x\in O$.

Rummet X kaldes et Hausdorffsk rum  såfremt

$$\forall x_1\neq x_2\in X: \exists O_1,O_2\in {\cal{T}}:x_1\in O_1,x_2\in O_2\text{ og }O_1\cap O_2=\emptyset .$$ (1)

En mængde X kan altid gøres til et topologisk rum ved at vælge ${\cal{T}}=\{X,\emptyset \}$. Dette kaldes den trivielle topologi. I den anden yderlighed kal man vælge ${\cal{T}}$ som familien af alle delmængder. Den dur heller ikke til meget. Vi vil skrive $(X,{\cal{T}})$ når vi har situationen i Definition 1.

Definition 2

Lad $(X_1,{\cal{T}}_1)$ og $(X_2,{\cal{T}}_2)$ være topologiske rum. En afbildning $f:X_1\rightarrow X_2$ kaldes kontinuert  (med hensyn til de betragtede topologier) såfremt

$$\forall U\in {\cal{T}}_2:f^{-1}(U)\in {\cal{T}}_1.$$ (2)

Definition 3

En delfamilie $\cal{B}\subseteq {\cal{T}}$ kaldes en basis for topologien  eller en basis for de åbne mængder, såfremt ethvert $O\in{\cal{T}}$ kan skrives som foreningsmængden af visse elementer i $\cal{B}$. Rummet X siges at være anden-tællelig , såfremt der findes en tællelig basis for de åbne mængder.

Definition 4

Et topologisk rum $(X,{\cal{T}})$ siges at være usammenhængende, såfremt der findes to åbne ikke-tomme delmængder O₁,O₂ af X så

$$X=O_1\cup O_2\text{ og}O_1\cap O_2=\emptyset .$$ (3)

Hvis X ikke er usammenhængende, da kaldes X for sammenhængende .

Definition 5

Hvis $(X,{\cal{T}})$ er et topologisk rum og $Y\subset X$, definerer

$${\cal{T}}_Y=\{O\cap Y\mid O\in {\cal{T}}\}$$ (4)

en topologi på Y kaldet sportopologien .

Remark 6

For en regulær flade S i ${\Bbb R}^3$ gælder, at sportopologien præcist er den topologi man får ved at opfatte S som et metrisk rum, hvor metrikken er arvet fra det metriske rum ${\Bbb R}^3$. Som en basis for topologien kan man således vælge mængderne

$$K_S(s,r)=S\cap K(s,r)=\{s'\in S\mid \Vert s-s'\Vert<r\}$$ (5)

for $s\in S$ og r>0.