Matematik 4GE

Bogen (og dens alternativer)

I denne udgave af 4GE vil vi gennemgå Chapter II af Bredon: Topology and Geometry. Dette er ingen pixi bog, så det vil være nødvendigt at komme til og deltage aktivet i forelæsningerne. Det vil sikkert også være en god ide at konsultere andre introduktioner til differentialgeometri. F.eks. Conlon: Differentiable manifolds. A first course, Milnor: Topology from the differentiable viewpoint, Hirsch: Differential Topology (denne bog findes i huset!), V. Lundsgaard Hansens noter (de står på biblioteket), Brocker og Janich, Hirsch, Brichall og Clark, Matsushima, Warner, Peter Petersen, Oprea , eller ligefrem Spivak. Se også S.S Chern, W.H. Chen, K.S. Lam: Lectures on Differential Geometry. World Scientific.
Bogen kan købes i Naturfagsbogladen eller direkte fra Springer.

Indhold

Formålet er at blive kendt med differentiable mangfoldigheder. En cirkel i planen eller enhedskuglen i det 3-dimensionale euklidiske rum er eksempler på differentiable mangfoldigheder. Det er karakteristisk. at lokalt ser cirklen ud som en linje og kugleoverfladen ser ud som en plan. Det vil sætte os i stand til at tale om differentiable afbildninger mellem disse to objekter. Globalt er cirklen meget forskellig fra linjen og kugleoverfladen er meget forskellig fra planen.

Vi begynder med en generel introduktion til differentiable mangfoldigheder (kendskab til 3GE og 3GT vil være en stor fordel, men er ikke absoult nødvendigt) i form af lokale koordinater og (co-)tangentvektorbundtet. På dette tidspunkt vil du forstå sætningen om implicit givne funktioner og du vil for første gang få forklaret hvad et differential er.

Vi vil også komme ind på submersioner og immersioner, som er standard materiale. Lidt mindre standard er det videre emenvalg som omfatter Sards sætning (om den spredte forekomst af kritiske værdier), Whitneys indlejringssætning (der er ikke andre mangfoldighder end delmangfoldigheder er det euklidiske rum), Tubulære omegne som leder op til Thom-Pontrjagins sætning om sammenhængen mellem sfærernes homotopigrupper og cobordismer klasser af mangfoldigheder, samt transversalitet. Dette er et klassisk eksempel på løsning, eller oversættelse, af et geometrisk problem til at algebraisk-topologisk problem. (Når du har set dette eksempel og har givet så mange penge for bogen, så vil du være motiveret for at fortsætte med næste kapitel.)

Interesseret i fagprojekter?

Nyttige links

Eksamen

Hvis du juleaften 1999 kan vise mig et komplet sæt regnede og rettede opgaver, da har du bestået dette kursus.

Kursusforløb:

Forelæsningsnoter hænger et stykke tid ved min dør.

30.08 - 03.09
Første forelæsning om mandagen er aflyst, da jeg er til kongres i Schweiz. Om torsdagen giver jeg en kort introduktion til emnet og vi ser på sætningen om implicit givne funktioner og invers funktionssætning. Begge sætninger kommer vi til at bruge igen og igen.
06.09 - 10.09
Implicit given funktionssætning fortsat. Definition af differentiabel mangfoldighed og differentiabel afbildning. Eksempler.
13.09 - 17.09
Konstruktion af nye mangfodigheder fra gamle differentiable mangfoldigheder, funktionel struktur, orientering, kim af differentiable afbildninger, tangentrummet, differentialet af en afbildning.
Regn opg. 4,5 p. 71 og opg. 2 p. 76; Thorunns løsning
20.09 - 24.09
Matrix for differentialet af en differentiabel funktion, konstant rang sætningen, immersioner, submersioner og embeddings. Immersioner og embeddings af relle projektive rum i euklidiske rum.
27.09 - 01.10
Embedded delmangfoldighed. Regulære og kritiske værdier. Sards sætning (II.6), det inverse billede af en regulær værdi (II.7.4). Algebraens fundamentalsætning (II.6.4): De kritiske værdier bliver ramt af p; alle regulære værdier bliver ramt af k>0 punkter. De ortogonale matricer udgør en embedded delmangfoldighed af et euklidisk rum.
Opgaver: 1,2,3,4 p. 80 og 1,2,3 p. 82 Mads' (Chr. Sørensen) løsning.
04.10 - 8.10
Transversalitet. Topologiske vektorbundter (der er et afsnit i bogen om fiberbundter - se specielt II.13.6).
11.10 - 15.10
Differentiable vektorbundter, tangentbundtet, differentiable vektorfelter, paralelliserbare mangfoldigheder.
Opgaver: 6 p. 82 (Mortens vink: Find de vektorer der ikke kan være normalvektorer til det 3-dimensionelle underrum); 1, 2, 3 p. 86. Mortens løsning.
18.10 - 22.10
Efterårsferie
25.10 - 29.10
Normalbundtet. Transversalitet (II.15.1 - 15.2). Parakompakthed og deling af enheden (I.12.1 - I.12.9).
01.11 - 05.11
Differentiabel deling af enheden. Whitneys embedding sætning, normalbundtet og tubulære omegne (II.11.4)
Opgaver: 7 p.82; 3, 4 p. 89. Steens løsning.
08.11 - 12.11
Tubulære omegne for delmangfoldigheder af euklidiske rum givet ved ligninger (II.11.6), approksimation af kontinuerte funktioner med differentiable funktioner (II.11.7-8). Klassiske Lie grupper (Mads og Steen), defintioner og exponential afbildningen.
15.11 - 19.11
Klassiske Lie grupper (Steen, Thorunn, Mads).
22.11 - 26.11
Klassifikation af kompakte Lie grupper. Differentiable mangfoldighder med rand (efter Milnors bog, som står på biblioteket).
29.11 - 3.12
Pontrjagin-Thom konstruktionen.
Opgaver: 1, 2, 3, 4, p. 55. Einars løsning.
6.12 - 10.12
Pontrjagin-Thom konstruktionen fortsat. Pontrjagins sætning om afbildninger af diffenreatiable mangfoldighder ind i sfærer. Hopfs klassifikation af afbindniger af en n-dimensional differentiabel kompakt mangfoldighed ind i en n-dimensional sfære.
Opgaver: 5, 8, 9, 11 p. 55. Mads' (Keinicke) og Eriks løsning.
13.12 - 17.12
Sammenhængende sum af differentiable mangfoldighder (Erik). Videofilm med R. Bott.

Deltagere i kurset:

Næste semester?

Forslag til emner for mit kursus i WMY 2000: Lad mig høre dit forslag!
Jesper Michael Moeller